在數學活動中感悟，在形式理解中生成

摘 要：大概念是一個概念、主題或問題，能使離散的事實和技能相互聯系并有一定的意義。它是使教學內容結構化的重要抓手。《10的認識》一課，要用十進位值制記數法這一大概念統領教學內容，具體要教清楚“新的計數單位：10個一是1個十”“位置值：十位上的‘1’表示1個十”這兩個方面。反思這一課的教學，認識到：要在數學活動中感悟大概念，在形式理解中生成大概念。

關鍵詞：小學數學；大概念；10的認識；感悟；形式理解

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確要求：“注重教學內容的結構化。”［1］大概念是一個概念、主題或問題，能使離散的事實和技能相互聯系并有一定的意義。［2］因此，大概念是使教學內容結構化的重要抓手。《10的認識》一課教學，應該用大概念來統領。

一、 教前思考

《10的認識》一課教學，常見的做法是：數出情境中的10個物體，利用學具（一一對應）擺出情境中的10個物體，借助算珠抽象出數10，然后教學10的讀寫方法，再練習鞏固。這樣的教學，沒有用記數制的大概念統領教學內容，不利于學生對“數與運算”內容的整體理解與掌握。

實際上，“10的認識”是體現十進位值制記數法的起始內容。十進位值制記數法蘊含重要的數學思想，比如按群（計數單位）計數的整體思想、利用數位（位置值）記數的直觀思想，是小學階段認識整數、小數以及進行相應的計算時起到統領、遷移作用的大概念［3］。而且，即使教師不教，學生憑借1—9的認數經驗，也知道10表示的具體數量和序數含義。學生不太清楚的正是數10體現的大概念十進位值制記數法，它具體表現在兩個方面：

一是新的計數單位：10個一是1個十。10與1—9的相同之處在于，都是由幾個一組成的，但是，10除了可以看成10個一，還可以看成1個十。學生需要將“一一對應”的“按個計數”發展為“以一當十”的“按群計數”，需要反復在“10個一”和“1個十”之間轉換，進而建立新的計數單位“十”。有了“十”，就能以“十”為單位逐一累加，得到1個十是10、2個十是20、3個十是30等，這樣就為以后學習百、千、萬等更大的計數單位打下了堅實的基礎。人們總是用上位知識來思考和說明問題，這是人類長期進化形成的本能。［4］借由10個一是1個十，形成“滿十進一”的概念，相當于制造了一個“腳手架”——雖然它只是心理上的一個表象，但它是上位表象，對下位知識的理解能起到實在的作用［5］。

二是位置值：十位上的“1”表示1個十——個位上的“0”用來占位。位置值是指不同的數位上的數代表不同的數值。它是人類歷史上“最妙的發明之一”［6］，只需要0—9這10個數字，就能表示任意自然數。10并不是“1”和“0”兩個數字的簡單組合，它完美體現了計數單位和位值原則，是記數的關鍵節點。個位上10個一，滿十進一，在十位寫“1”，對個位用“0”占位。十位上的“1”，代表1個十，相當于個位上的10個一。進一步的發展便是由一的累加過渡到十的累加等。

《10的認識》一課用大概念統領教學內容，要教清楚這兩個方面。

二、 教學實踐

（一） 在9和10的關系中引入

師 （出示9個小朋友跳舞的主題圖）

有一些小朋友在跳舞，你知道一共有多少人嗎？

生 一共有9人。

師 在計數器上擺一擺，數一數，9里面有幾個一？

生 9里面有9個一。

師 現在又來了1人，一共有多少人？

生 一共有10人。

師 在計數器上擺一擺，數一數，10里面有幾個一？

生 10里面有10個一。

師 今天我們來認識10，10怎么寫？

（學生回答后，教師板書“10”。）

師 對于10，你還有什么想說的？

生 9添上1是10。

生 10比9多1，9比10少1。

師 10和9比較，有什么相同和不同？

生 相同之處：都是由一組成的。

生 不同之處：9里面有9個一，10里面有10個一。即一的個數不同。

生 還有不同之處：9是一位數，10是兩位數，由“1”和“0”兩個數字組成。

師 你們真是善于發現！

激活學生已有的知識經驗，讓學生經歷數10的形成過程。計數單位“一”是學生的認知基礎，通過觀察9里面有幾個一予以喚醒。在計數器上撥珠，9個小朋友需要撥9個算珠，它里面有9個一，添上1個一是10個一，得出10個一是10。比較9和10，發現它們相同之處是由一組成，不同之處是一的個數不同。

（二） 在實物操作中理解“10個一是1個十”

師 請你們數出10根小棒。

師 1根小棒是1個一，10根小棒是幾個一？

生 10根小棒是10個一。

師 為了一眼看出10，可以把10根小棒捆成一捆。

（學生操作。）

師 （出示1捆小棒圖）

1捆小棒表示1個十。再把一捆小棒打開。

（學生操作。）

師 1個十里面有幾個一？

生 1個十里面有10個一。

師 老師為每個小組準備了幾樣小物品，請你選一種，數出10個打包。

（學生分組操作后匯報。）

生 10塊小橡皮裝1盒，1盒有10塊。

生 10支小蠟筆扎1捆，1捆有10支。

生 10枚一元硬幣摞在一起，1摞有10枚。

生 10個回形針串1串，1串有10個。

師 同學們會用“盒”“捆”“摞”“串”等詞語描述打包后的小物品，真了不起！聽完這些同學的匯報，你發現了什么？

生 10個同樣的物品打包成了1份。

生 10個一是1個十，1個十里面有10個一。

重視對計數單位“十”的體驗。要求學生先用小棒表示10，再把10根捆成一捆，指出是“1個十”，由此得出：10個一是1個十。接著提問：一捆與分開的10根有什么聯系？學生操作發現：1個十是10個一。然后借助多種學具，把10個一打包成“一個整體”，隱喻1個十，擴展“1個十里面有10個一”的外延。

（三） 在計數器表示中理解“十位上的‘1’表示1個十”

師 我們可以用計數器表示數，你能在計數器上表示10嗎？

（學生操作。）

師 （出示學生的表示方法，如圖1所示）

哪種方法表示的是10？

生 第②種方法表示的是10。

生 第③種方法表示的也是10。

師 第③種方法不是一個算珠嘛，怎么會表示10呢？

生 這一個算珠在十位上，代表1個十，1個十里面有10個一，所以表示10。

師 第①種方法為什么是錯的？

生 十位上有10個算珠，代表10個十。1個十是10，2個十是20，這樣數下去，10個十是100。

師 你真了不起！能推算出10個十是100。（課件演示，如圖2所示）10個十確實是100。

師 后兩種方法都表示10，你喜歡哪一種？

生 我喜歡第③種方法。

師 為什么？

生 這樣表示簡單，只需要在十位上撥一個算珠，而另一種則需要在個位上撥10個算珠。

師 第②種方法，個位上有10個算珠，可以在十位上用一個算珠表示，也就是第③種方法。這說明了什么？

生 10個一是1個十，1個十等于10個一。

讓學生在計數器上撥出10，通過兩種表示方法，理解“十位上的‘1’就是個位上的‘10’”，初步體現位置值。同時，借助進位和退位的撥珠操作，幫助學生理解10個一是1個十、1個十是10個一，體會“滿十進一”“退一作十”，強化一和十之間的關系。同時，基于學生生成，借助課件演示，滲透十與百之間的關系。

（四） 在比較中進一步感受“基于計數單位的位置值”

師 （出示圖3）

這兩個算珠表示的數相同嗎？

生 左邊的算珠表示10，右邊的算珠表示1。

師 說說為什么。

生 這兩個算珠所在的位置不同，左邊的算珠在十位上，右邊算珠在個位上。

生 十位上的一個算珠可以看作一捆小棒，也就是10；個位上的一個算珠可以看作一根小棒，還是1。

生 十位上的“1”表示1個十，也就是10；個位上的“1”表示1個一，還是1。

師 你真善于觀察！同樣一個算珠，在個位上表示1個一，在十位上表示1個十。算珠所在的位置不同，表示的數量就不一樣，這叫作“位置值”（同步板書）。從右邊起，第一位是個位，第二位是十位。想一下：十位上的一個算珠可以換個位上的幾個算珠？個位上的一個算珠再添幾個后可以換十位上的一個算珠？

生 十位上的一個算珠可以換個位上的10個算珠。

生 個位上的一個算珠再添9個后可以換十位上的一個算珠。

師 真厲害！同學們能在腦子里“撥算珠”，然后回答問題。

為了讓剛進入小學三個月的一年級學生充分感受“基于計數單位的位置值”的智慧，這里設計了兩個比較性問題。（1） 這兩個算珠表示的數相同嗎？學生在觀察時發現，雖然都是一個算珠，但是在不同的數位上，代表的數也不同，由此認識個位和十位。（2） 為什么不同數位上的同樣一個算珠表示的數不同？學生聯系小棒操作，發現個位上的數以一（根）為計數單位，十位上的數以十（捆）為計數單位。由此，學生經歷從計數單位到數位的抽象過程。

三、 教學反思

（一） 在數學活動中感悟大概念

大概念如同“認知文件夾”，為人們認識事物和建構知識提供了一個框架或結構。借助這個框架或結構，人們不僅能溝通各個事實、經驗、事物、概念之間的聯系，而且能在一個連續的整體中理解各個事實、經驗、事物、概念的意義。［7］新課標增加了一個描述過程目標的行為動詞，即感悟，并將其解釋為“在數學活動中，通過獨立思考或合作交流，獲得初步的理性認識”［8］，即強調“從感性經驗到理性認識的活動過程”［9］。數學教學中，大概念是對數學知識（概念之間的關系）的抽象概括，即“對抽象的抽象”，因而是“活”的，具有“緘默”特征，也就無法直接傳授給學生，只能靠學生在有關的數學活動中自己“感悟”［10］。

上述教學案例顯然沒有直接告知學生關于十進位值制記數法的大概念，而是分為四個環節，設計豐富的問題情境，提供充分的活動空間，讓學生經歷觀察、操作、猜測、推理、交流、反思等數學活動的過程，讓原來模糊的概念一和十等計數單位、個位和十位等數位以及“滿十進一”等關系在腦海里逐漸清晰，從而幫助學生感悟十進位值制記數法的本質屬性與獨特價值。

（二） 在形式理解中生成大概念

關于數學理解，“類型層次說”認為，有直觀理解、程序理解、抽象理解、形式理解四個類型層次。［11］

直觀理解：基于形象化的感知，常用動作表達思維過程。如，先數出10個物體，捆成一捆，是1個十；再打開看看，里面有10個一，從而理解“10個一是1個十”。

程序理解：通過程序，即解決問題的方法、步驟來表明。如，先在計數器的個位上撥10個算珠，表示10個一；再把個位上的10個算珠撥去，在十位上撥1個算珠，表示1個十，從而理解“10個一是1個十”。

抽象理解：包含概念同程序分離、不變量的構建兩個階段。如，在計數器的個位上撥10，滿十進一，所以要在十位上撥“1”；在十位上撥“1”，退一作十，所以要在個位上撥10，從而理解“10個一是1個十”。它與直觀理解的區別在于，它能運用“不變量”（如滿十進一或退一作十）說明結果的合理性，而直觀理解要借助直觀表征說明結果的合理性。

形式理解：運用“不變量”，基于邏輯推理，證明結果的合理性。抽象理解含有形式理解的水平，但是形式理解必須運用“不變量”（如滿十進一或退一作十）推理。如，得到“10個一是1個十”，像這樣一直數下去，自然會得出“10個十是一個百”“10個百是一個千”等，從而豐富“滿十進一”的內涵，擴展它的外延。

大概念的抽象與普適（一般化、形式化）程度較高。而學生在數學知識的心理表征方面存在具象性和“不靈活性”（不善于在心理表征的不同側面之間轉換）［12］。因此，教師需要精心創設情境、設計活動，蘊含學習內容，重視細節涵泳和能力訓練，幫助學生實現心理表征在不同側面之間的轉換，沿著“直觀理解—程序理解—抽象理解”的路徑達到形式理解，最終理解有關的大概念。

上述教學案例中，第二個環節屬于直觀理解，第三個環節屬于程序理解，第四個環節則包含抽象理解和形式理解。如最后解決“個位上的一個算珠再添幾個后可以換十位上的一個算珠？”這一問題時，學生要憑借“10個一是1個十”的操作表象進行思考，利用“滿十進一”這一規律，因此有抽象理解、形式理解的意味。

參考文獻：

［1］［8］ 中華人民共和國教育部．義務教育數學課程標準（2022年版）［S］．北京：北京師范大學出版社，2022：85，181.

［2］ 格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學設計（第二版）［M］.閆寒冰，等譯.上海：華東師范大學出版社，2017：77.

［3］ 帥莉.新教材下“10的認識”教學重構［J］.教育研究與評論（小學教育教學），2024（8）：7477.

［4］［5］ 孫四周.談談教學中的“理解”［J］.教育研究與評論，2022（4）：5460.

［6］ 姜榮富.讓孩子重蹈人類思維發展中的關鍵步子——數學知識的背景展開與方法論重建［J］.人民教育，2012（21）：3639.

［7］ 李松林.以大概念為核心的整合性教學［J］.課程·教材·教法，2020（10）：5661.

［9］［10］ 李樹臣.對“感悟”的認識與思考——從數學新課標的變化說起［J］.教育研究與評論（中學教育教學），2023（4）：812.

［11］ 鞏子坤．數學理解說及其理論與課程意義［J］．比較教育研究，2009（7）：3943．

［12］ 鄭毓信．國際視角下的小學數學教育［M］．北京：人民教育出版社，2004：69．

（趙 鴻，江蘇省南京市中華中學浦口雨山小學。）