作業講評多“不妨”,生本評價促提升*

福建省南安第一中學 (362300) 洪麗敏

《普通高中數學課程標準(2017年版)》指出“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向”,同時指出“教學評價是數學教學活動的重要組成部分,評價應以課程目標、課程內容和學業質量標準為基本依據,日常教學活動評價,要以教學目標的達成為依據.”

數學作業是學生獲取數學知識、發展數學思維能力的一項重要的活動形式,同時也是師生之間知識交流互動的一個基本載體.數學老師對課后作業進行恰當的評價,能給學生們帶來一種滿足感,并能提高他們學習數學的自信心.因此,教師在數學作業批改時,需要通過判斷解決問題方法的合理性、創新程度、答案的準確性、寫作模式和作業的整潔度等全面評估數學課后作業的質量.當然,在數學作業講評時,教師要調整傳統“你聽我講”的形式,結合作業的反饋情況,多些“不妨……””、合理評價、激勵學生.

1 不妨在“糾錯辨析”中促“生成”

“對與錯”是學生學習效果在作業完成中的直觀呈現,“對”固然是好的,但“錯”也不失是一面教學診斷的鏡子.面對作業中存在的錯誤,教師不妨珍視錯題暴露出來的問題,合理利用,“變廢為寶”.

例1 已知函數f(x)是(-∞,+∞)上的偶函數,若對于x≥0,都有f(x+2)=-f(x),且當x∈[0,2)時,f(x)=log2(x+1),則f(-2011)+f(2012)

=( ).

A.1+log23 B.-1+log23 C.-1 D.1

學生的答案只有C或D兩種結果,且兩種答案幾乎是旗鼓相當.為什么?帶著疑問,作業講評時,筆者各自請一代表說出解題思路.

1.1 各顯身手

生1:x≥0時,由f(x+2)=-f(x)可知函數f(x)是周期為4的周期函數,又f(x)是偶函數,可推知f(x)是(-∞,+∞)上周期為4的周期函數,所以f(2012)=f(0)=0,f(-2011)=f(1)=1,故選D.

生2:由生1知f(2012)=f(0)=0,f(-2011)=f(-3)=f(3),根據條件f(3)=f(1+2)=-f(1)=-1,故選C.

聽了學生1,2的解法后,大部分同學一下子都蒙了,兩種解法都那樣“無懈可擊”.那么問題究竟出錯在哪里呢?此時,有相當一部分同學認為題目錯了.該如何判決呢?筆者并不急于作出判斷,而是把“球”踢給學生.

評注：對于作業中存在的較大面積錯誤,講評時,教師不僅要關注正確的解法,更要關注錯誤的原因(大面積的錯誤絕非偶然),此時應讓“不同聲音”得以完整呈現,以便學生在解析之后辨明是非.

1.2 辨明是非

學生通過思考討論,一部分學生建議畫圖試試.

若x∈[2,4),則x-2∈[0,2),f(x-2)=log2(x-1)=-f(x),故f(x)=-log2(x-1),故函數f(x)的圖象如圖1,由圖1可知,正確答案為C.

圖1

評注：查究錯誤之源是糾錯的重點,此時貴在引導學生領悟“如何找?”,而非“直接給”.本題“糾錯”關鍵在于讓學生學會思考――數形結合是解決函數問題的重要方法,既然“數”計算不能辨真偽,那么只能求助于“形”了.

1.3 錯因解剖

筆者抓住機會,讓學生說說解法1錯誤的原因.最后形成共識:對于偶函數f(x),f(x)在[0,+∞)上的周期為4,可以推出f(x)在(-∞,0)的周期為4,但f(x)在R上并不是周期函數.(*)

評注：讓學生學會對錯誤的原因進行辨析說理,在說理中有所思、有所得、有所悟.

1.4 因勢利導

若函數f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數,情況又如何?如圖2,我們發現上述結論(*)對奇函數f(x)仍成立.

圖2

評注：“因勢利導、乘勝追擊”是糾錯后的“強化”環節,一方面可以檢測診斷學生對錯誤的辯證認識,另一方面可以對比、遷移知識.

生本評價:教師對學生作業完成情況的多元評價,將使得作業的強化、反饋效果更上一層樓.“落紅不是無情物,化作春泥更護花.”作業中存在的錯誤,雖沒有正確答案那樣賞心悅目,但卻是教學效果的晴雨表.教師在作業講評時要善于開發利用錯誤資源,鼓勵學生暴露解題歷程,引導學生進行“糾錯辨析”,不僅明白“錯在哪里?”,更要弄清楚“為什么錯?”,最終實現“變廢為寶”.

2 不妨在“百花齊放”中促“提煉”

對于同一個題目,不同的學生由于不同的學習體驗,常出現不同的解法,形成不同的解題策略.在作業的講評中,不僅要鼓勵學生尋求不同的解法,“百花齊放”,更要善于引導學生注重提煉解題策略.

2.1 作業反饋

方法二:如圖3,可知∠CDA+∠ADB=π,則有cos∠CDA=-cos∠ADB.不妨設CD=DB=x(x>0),則BC=2x.在ΔADC與ΔADB及其ΔABC中結合余弦定理可解得b=6.(下同方法一,略)

圖3

評注：作業呈現的方法主要是方法一、二(課堂曾解決過三角形中線的問題),學生的作業反饋在筆者的意料之中,筆者欣慰之余又有所期待…

2.2 百花齊放

圖4

受生1啟發,生2認為可以把三角形補成平行四邊形.

圖5

圖6

評注：對于學生的多樣解法,筆者甚感欣慰,尤其方法三,課后筆者曾與該學生交流,“為什么這么想?”,學生說“老師您不是常說‘中點,再找中點,構造中位線’嗎?”(有的解題策略的確可以深入人心),讓筆者倍感欣慰!

2.3 提煉策略

在欣賞學生的多樣解法之余,筆者趁熱打鐵,引導學生歸納三角形中線問題的常見解題策略:

策略一:利用互補關系(如方法二),此策略可解決一般“爪形結構”情形,屬通法;

策略二:構造平行關系(如方法三、四),此策略也可解決非中點情形,屬通法;

策略三:利用中點向量形式(如方法一),屬最佳解法,也可推廣到非中點情形;

策略四:建立坐標系(如方法五),關鍵在于合理建系,也是解決三角形問題的常見策略.

評注：“提煉策略”是最容易被師生忽視的環節,也常常因為該環節的缺失,學生易陷入“雖有多種想法,但不知如何入手”、缺乏“策略性解決問題”、“只見樹木不見森林”的困境.

生本評價:教師對學生作業“百花齊放”解法的及時肯定與贊賞,可以進一步激發學生的學習熱情和探究欲望.作業講評時,教師若能引導學生對多種解法進行反思總結、甄別對比,再加以提煉,辨別通性通法和最佳解法,將使得講評的效果更佳.

3 不妨在“總結反思”促“提升”

荷蘭數學教育家弗萊登塔爾指出:反思是數學思維活動的核心和動力.反思是數學解題過程的最后階段,也是提高學生解題能力最有意義的階段.然而,這個階段常常被忽略.數學作業離不開解題,為此,教師在講評之余能否引導學生進行解題反思,在某種程度上決定了學生解題的高度.

例3如圖7,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,A1A=AB=AC,D是AB的中點.記平面B1C1D∩平面A1C1CA=l,在圖中作出l,并說明畫法.

圖7

在講評之余,筆者引導學生總結反思兩平面交線的作圖策略:

一是找兩平面的兩個交點,則可確定交線(如圖8).其作圖要點在于:先直觀找一個公共點(如點C1);再通過同一平面內的兩相交直線確定另一公共點(如本例中的直線B1D和直線AA1相交于點F).

圖8

二是構造兩平行直線(兩平行直線可確定一個平面,如圖9),其作圖要點在于構造平行關系(常見中位線形式,如本例中C1B1∥ED),需要考生較強的觀察能力.

圖9

同時要引導學生注意以上兩種方法的合理選擇.比如圖10,四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形,求作平面PAD與平面PBC的交線時,可直接過點P作直線l//AD,則有l//AD//BC,則l為所求直線(此時就不宜用方法一,AD//BC,不相交!)

圖10

進而類比思考線面平行的作圖策略:比如問題“在平面A1C1CA內過A作一直線m//平面B1C1D”.此時,學生不難把問題化歸,如圖11,先作出兩平面交線l,再作AG與交線l平行.

圖11

通過這樣的反思,學生不再“就題論題”,而是能“由例及類”,其“解題能力”得以在反思中提升.

生本評價:對于“學習解題”而言,學生完成了解題過程,并不意味一次“解題學習”的完成,對解題的真正學習是“回顧解題”.這如同知識獲得的保持階段一樣,它是解題學習的“保持階段”.“工欲善其事,先利其器.”“回顧解題”就是磨利解題武器的過程,可取得舉一反三的作用.因此,無論是解題教學還是作業講評,教師一定要留出時間,讓學生回顧解題,在解題反思中提升.

總之,數學作業講評中,教師不僅要合理評價學生的不同想法,還要學會適當放手,不妨多多創造機會讓學生“生成知識”、“提煉策略”,進而“提升能力”,最終實現“教學雙贏”.