環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性建模與分析

尹大勇，胡 明，孟少華，高 云，吳 梅

（1.北京衛(wèi)星環(huán)境工程研究所，北京 100094； 2.浙江理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，杭州 310018）

0 引言

空間薄膜展開機(jī)構(gòu)是薄膜天線、太陽帆及太陽電池陣的重要組成部分。作為薄膜索網(wǎng)的支撐結(jié)構(gòu)，環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)主要由桿件構(gòu)成，其展開到位后的姿態(tài)和位置精度會(huì)對薄膜索網(wǎng)的工作形態(tài)產(chǎn)生影響。加工裝配誤差、連接間隙及服役環(huán)境擾動(dòng)等因素均可能導(dǎo)致機(jī)構(gòu)展開運(yùn)動(dòng)存在誤差，從而偏離預(yù)定姿態(tài)和/或位置[1]，這就是展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠性問題。機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠度是指機(jī)構(gòu)最終的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)和位置輸出相較理想情況下的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)和位置輸出的偏差值在期望誤差指標(biāo)范圍內(nèi)的概率。研究環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠性，對確保展開機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)在軌功能和性能具有重要意義。

國內(nèi)外對于空間展開機(jī)構(gòu)可靠性已有諸多研究，如：Castet 等利用威布爾擬合和非參數(shù)分析對衛(wèi)星及其子系統(tǒng)的可靠性進(jìn)行了建模分析[2]；Hogstrom等對三棱柱形空間薄膜展開單元進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真[3]；Jawale 等研究了桿件尺寸公差影響下四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度[4]；Wang 等針對關(guān)節(jié)鉸鏈間隙對運(yùn)動(dòng)精度的影響，提出了一種混合降維方法（HDRM），提高了仿真計(jì)算的效率[5]；Choi 等利用蒙特卡羅方法研究了制造公差和關(guān)節(jié)間隙不確定的機(jī)械手運(yùn)動(dòng)可靠性[6]；Ting 等針對關(guān)節(jié)間隙提出了N 桿機(jī)構(gòu)末端運(yùn)動(dòng)精度量化模型，適用于包含旋轉(zhuǎn)和棱柱形關(guān)節(jié)的單環(huán)連桿機(jī)構(gòu)[7]；劉珺蕙應(yīng)用非概率模型對星載薄膜天線展開可靠性進(jìn)行了分析，并給出了求解方法[8]；陳建軍等利用區(qū)間概率分析方法對星載展開天線結(jié)構(gòu)在不同工作階段的可靠性進(jìn)行了研究[9]；靳寧將貝葉斯網(wǎng)絡(luò)方法引入某星載薄膜天線展開系統(tǒng)多狀態(tài)可靠性分析，得到了多種失效事件概率的計(jì)算方法[10]；高靜麗采用模糊動(dòng)態(tài)貝葉斯方法對天線展開系統(tǒng)進(jìn)行了模糊可靠性建模與分析[11]；張建國等對周邊桁架式星載薄膜天線建立了非概率運(yùn)動(dòng)精度可靠性模型，推導(dǎo)出了考慮尺寸誤差及空間因素的非概率可靠性計(jì)算公式[12]；胡明等結(jié)合ADAMS 及Monte Carlo 方法對空間折疊展開機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性進(jìn)行了仿真分析，并求解了可靠度[13]。上述研究為空間薄膜展開機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性建模與仿真提供了較好的基礎(chǔ)。目前如何兼顧運(yùn)動(dòng)精度可靠性的精確建模及高效仿真是展開機(jī)構(gòu)可靠性研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題。

本文以環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)為對象，建立其運(yùn)動(dòng)精度可靠性理論模型，利用ADAMS/Insight 模塊進(jìn)行基于桿長誤差的展開機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真，并求解其運(yùn)動(dòng)精度可靠度，從可靠性角度為環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供依據(jù)。

1 展開機(jī)構(gòu)簡介

空間薄膜展開機(jī)構(gòu)中，環(huán)形桁架是最具大尺寸、輕質(zhì)化發(fā)展?jié)摿Φ慕Y(jié)構(gòu)之一，其主要由驅(qū)動(dòng)部件、同步展開機(jī)構(gòu)、緩釋裝置和鎖定裝置組成。該機(jī)構(gòu)除可以實(shí)現(xiàn)正常的折展功能之外，還需滿足以下要求：1）為保證折展動(dòng)作的確定性，折展單元自由度應(yīng)為F=1；2）無源驅(qū)動(dòng)，通過緩釋裝置實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)展開動(dòng)作，展開時(shí)間應(yīng)在90 s 以內(nèi)；3）運(yùn)動(dòng)副應(yīng)避免使用復(fù)雜連接副，一般以平面低副為主，通常采用鉸鏈連接。

環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)折展單元構(gòu)型如圖1 所示，其中：展開桿4 個(gè)，分別為AB、AF、CD和DE；支撐桿4 個(gè)，分別為AS、LR、DS和QT；其余為活動(dòng)桿件共13 個(gè)，轉(zhuǎn)動(dòng)副19 個(gè)。若以折展單元中桿AD為機(jī)架，則其折展單元自由度為

圖1 環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)折展單元構(gòu)型Fig.1 Configuration of folding unit of the annular truss space membrane deployable mechanism

式中：N為活動(dòng)桿件數(shù)；G為轉(zhuǎn)動(dòng)副數(shù)目。

為保證環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)折疊展開運(yùn)動(dòng)過程的協(xié)調(diào)性，折展單元一般采用正多邊形輪廓。本文所研究對象為由8 個(gè)折展單元構(gòu)成的展開機(jī)構(gòu)（如圖2 所示），其采用模塊化設(shè)計(jì)且每個(gè)折展單元以彈簧驅(qū)動(dòng)展開，利用電機(jī)驅(qū)動(dòng)繩索來約束彈簧驅(qū)動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)展開機(jī)構(gòu)展開過程的平穩(wěn)可控。

圖2 環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的構(gòu)型Fig.2 Configuration of the annular truss space membrane deployable mechanism

2 展開機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性理論建模

作為空間天線的支撐結(jié)構(gòu)，環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的展開到位精度決定了薄膜索網(wǎng)的工作形態(tài)。以展開到位時(shí)8 個(gè)豎直支撐桿支撐點(diǎn)的展開位置所擬合的空間圓心坐標(biāo)位置（見圖3）及半徑誤差作為特征參量，建立展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠性模型。

圖3 環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)展開到位狀態(tài)下支撐點(diǎn)擬合空間圓示意Fig.3 Schematic of the spatial circle fitted by the supporting points of the fully deployed annular truss space membrane deployable mechanism

假設(shè)空間圓的圓心坐標(biāo)(xc,yc,zc)在三個(gè)方向的位置誤差允許值為[Δx, Δy, Δz]，半徑誤差允許值為Δr；若展開到位時(shí)空間圓圓心三個(gè)方向上的位置誤差和半徑誤差均在允許范圍內(nèi)，即

則認(rèn)為可展開機(jī)構(gòu)展開可靠。式(2)中Δr為8 個(gè)支撐點(diǎn)的半徑誤差均值。

以圖1 中1#單元支撐桿下端點(diǎn)A作為展開機(jī)構(gòu)的全局坐標(biāo)系原點(diǎn)O1，支撐桿AD作為z軸。根據(jù)右手定則分別確定x、y軸方向并建立全局坐標(biāo)系O1x1y1z1，按逆時(shí)針方向?qū)ζ溆鄦卧⒕植孔鴺?biāo)系Oixiyizi，保證每個(gè)相鄰單元的局部坐標(biāo)系間夾角均為β。

設(shè)桿件AL、MN、DK和DQ的長度lAL=lMN=lDK=lDQ=50 mm，則 各 支 撐 桿 上 端 點(diǎn)Di的 坐 標(biāo)(xDi,yDi,zDi)為

式中，lAB、lTQ和lRT分別為桿件AB、TQ和RT的長度。

假設(shè)展開桿lAB的展開角度為α，則輸出運(yùn)動(dòng)參數(shù)矢量Ui=[xDi,yDi,zDi]T，輸入運(yùn)動(dòng)參數(shù)矢量V=[α]。若每個(gè)折展單元的4 根展開桿的展開輸入運(yùn)動(dòng)相同，則輸入運(yùn)動(dòng)參數(shù)矢量V=[α]，結(jié)構(gòu)參數(shù)矢量L=[lAB,lTQ,lRT]T，那么點(diǎn)Di的坐標(biāo)(xDi,yDi,zDi)的表達(dá)式分別為：

由于各支撐點(diǎn)的位置誤差計(jì)算方法相同，故選擇支撐點(diǎn)D2(xD2,yD2,zD2)進(jìn)行分析。利用一階泰勒展開，點(diǎn)D2的位置誤差表達(dá)式為

式中：u、v和w為空間圓所在平面參數(shù)，即ux+vy+wz- 1 = 0。

式(9)為超定方程組，進(jìn)行最小二乘法求解得

將8 個(gè)離散點(diǎn)坐標(biāo)分別代入式(11)，得

簡化后為

由于圓心必須在擬合圓所在平面，所以滿足

假設(shè)環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)展開到位后，8 個(gè)支撐點(diǎn)所擬合的空間圓圓心坐標(biāo)及圓半徑滿足正態(tài)分布，則x向的位置可靠度為

同理，替換成Δyc、Δzc和r，可求得相應(yīng)的可靠度，得到擬合空間圓的圓心坐標(biāo)及半徑。

據(jù)此，環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠性理論模型為

式中：Rxc、Ryc、Rzc分別為可展開機(jī)構(gòu)擬合空間圓的圓心位置在x、y、z向的可靠度；Rr為可展開機(jī)構(gòu)擬合空間圓半徑尺寸的可靠度。

3 展開機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真分析

3.1 參數(shù)化仿真模型建立

基于ADAMS 仿真平臺(tái)，建立環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的參數(shù)化模型。通過ADAMS/Insight模塊進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真[14]。結(jié)合運(yùn)動(dòng)精度可靠性模型、蒙特卡羅法及MATLAB 對仿真結(jié)果進(jìn)行處理[15-16]，求解環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)展開到位后各單元支撐點(diǎn)的空間坐標(biāo)。

利用SolidWorks 對環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)進(jìn)行三維建模，確定機(jī)構(gòu)的關(guān)鍵點(diǎn)位置，創(chuàng)建設(shè)計(jì)點(diǎn)及幾何體模型，獲取關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)。由于環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)主要由連桿鉸接而成，所以在ADAMS 中可將關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)參數(shù)化并創(chuàng)建設(shè)計(jì)點(diǎn)，同時(shí)將連桿與關(guān)鍵點(diǎn)關(guān)聯(lián)，即在修改關(guān)鍵點(diǎn)位置時(shí)，連桿的尺寸會(huì)相應(yīng)改變。

根據(jù)環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠性理論模型，在參數(shù)化模型中選取圖1 中桿件RT、AB和TQ的桿長作為設(shè)計(jì)變量（如表1 所示）；結(jié)合加工精度要求，選擇加工公差等級為IT5。

表1 桿長設(shè)計(jì)變量Table 1 Rod length design variables

根據(jù)環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的折展單元各連接桿件關(guān)系，將上述設(shè)計(jì)變量代入式(4)、式(5)和式(6)，實(shí)現(xiàn)桿件尺寸的參數(shù)化。1 個(gè)單元中桿件端點(diǎn)參數(shù)化坐標(biāo)見表2。當(dāng)設(shè)計(jì)變量發(fā)生變化時(shí)，端點(diǎn)坐標(biāo)也會(huì)隨之變化，從而實(shí)現(xiàn)桿件尺寸的自動(dòng)修改。

表2 桿件端點(diǎn)參數(shù)化坐標(biāo)Table 2 Parameterized coordinates of the rod end points

將環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的8 個(gè)單元添加轉(zhuǎn)動(dòng)副，驅(qū)動(dòng)（角速度）函數(shù)為STEP(time, 0,0d, 11.25, 1.0332d ) +STEP(time, 67.5, 0d , 78.75,-0.5166d )+STEP(time, 78.75, 0d , 90, 0d )，驅(qū)動(dòng)函數(shù)仿真曲線如圖4 所示。

圖4 空間薄膜展開機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)副的驅(qū)動(dòng)函數(shù)仿真曲線Fig.4 Drive function simulation curve of the rotating pair of the space membrane deployable mechanism

建立環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)參數(shù)化仿真試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀Ｔ诳煽啃苑抡嬖囼?yàn)之前，進(jìn)行展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)功能仿真驗(yàn)證，得到展開桿的展開角度變化曲線，如圖5(a)所示；選取圖3 所示的2#，3#，4#，5#支撐點(diǎn)對應(yīng)的豎直支撐桿，得到各豎直支撐桿展開位移與角度、展開速度和展開加速度隨時(shí)間的變化曲線，分別如圖5(b)、(c)和(d)所示。由圖可知：環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的各折展單元的位移、速度和加速度變化趨勢基本一致；且展開到位后，每個(gè)支撐單元桿展開角度相同。這表明各折展單元均能順利展開至規(guī)定的位置。

圖5 空間薄膜展開機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)功能仿真結(jié)果Fig.5 Motion function simulation results of the space membrane deployable mechanism

3.2 運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真求解

調(diào)用ADAMS/Insight 模塊，完成環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)在桿長誤差影響下的仿真設(shè)置。這里，將桿長誤差設(shè)置為服從正態(tài)分布，利用Monte Carlo 法生成隨機(jī)數(shù)。

對環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的仿真模型參數(shù)化后，添加8 個(gè)單元中各自豎直支撐桿端點(diǎn)Di的位置坐標(biāo)(xDi,yDi,zDi)作為輸出量，基于桿長的隨機(jī)尺寸進(jìn)行運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真，仿真次數(shù)為104次[17]。將輸出結(jié)果導(dǎo)出并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，1#折展單元仿真第1～10 次的結(jié)果見表3。

表3 基于ADAMS/Insight 的空間薄膜展開機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真結(jié)果Table 3 Motion accuracy reliability simulation results of space membrane deployable mechanism by ADAMS/Insight

通過上述環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠性仿真，輸出2#～8#單元豎直支撐桿上端點(diǎn)D的坐標(biāo)數(shù)據(jù)與理論標(biāo)準(zhǔn)值求解位置誤差，對其分別求解誤差參數(shù)的均值與均方差值。圖6 為可靠性仿真中單次仿真結(jié)果的對比。

圖6 折展單元豎直支撐桿D 點(diǎn)坐標(biāo)x、y、z 方向誤差對比Fig.6 Error comparison of point D coordinate in x, y and z directions for the vertical supporting rod of folding unit

基于MATLAB 將環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的8 個(gè)支撐點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)進(jìn)行空間圓擬合，104次的擬合結(jié)果如圖7 所示。

圖7 環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)支撐點(diǎn)擬合空間圓過程Fig.7 Fitting for the supporting points of annular truss membrane deployable mechanism to a spacial circle

根據(jù)最小二乘法擬合的空間圓誤差為

式中：S為殘差平方和；σS為擬合誤差。

確定允許擬合誤差為項(xiàng)目允許誤差（±1 mm）的1/10[18]，故排除擬合誤差超過0.1mm 的擬合結(jié)果，得到有效擬合結(jié)果為6369 次。

對展開機(jī)構(gòu)展開到位后的擬合空間圓圓心坐標(biāo)誤差與半徑誤差是否服從正態(tài)分布進(jìn)行擬合，利用Normplot 函數(shù)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，結(jié)果如圖8 所示，其中：紅色點(diǎn)劃線為正態(tài)分布線；藍(lán)色散點(diǎn)為數(shù)據(jù)點(diǎn)。由圖8 可知，空間圓圓心坐標(biāo)與半徑誤差不服從正態(tài)分布，不能直接計(jì)算可靠度[19]。

圖8 空間圓圓心坐標(biāo)與半徑誤差正態(tài)分布檢驗(yàn)結(jié)果Fig.8 Normal distribution test results of spacial circle center coordinate and radius error

故由式(18)計(jì)算環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠度，結(jié)果為R=RxcRycRzcRr=0.999 5×1×1×1=0.999 5。

4 結(jié)束語

本文針對環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)，完成了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性理論建模；基于ADAMS/Insight模塊建立了考慮桿長誤差的參數(shù)化仿真模型，采用蒙特卡羅法進(jìn)行了模擬試驗(yàn)；利用MATLAB 對輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行了空間圓擬合，得到了相應(yīng)的圓心坐標(biāo)及半徑，進(jìn)行了正態(tài)分布檢驗(yàn)，求解了環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠度。結(jié)果顯示：在允許誤差為±1 mm 時(shí)，環(huán)形桁架式空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度可靠度為0.999 5。上述研究結(jié)果為空間薄膜展開機(jī)構(gòu)的進(jìn)一步優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了依據(jù)。