環形桁架式空間薄膜展開機構運動精度可靠性建模與分析

尹大勇，胡 明，孟少華，高 云，吳 梅

（1.北京衛星環境工程研究所，北京 100094； 2.浙江理工大學 機械工程學院，杭州 310018）

0 引言

空間薄膜展開機構是薄膜天線、太陽帆及太陽電池陣的重要組成部分。作為薄膜索網的支撐結構，環形桁架式空間薄膜展開機構主要由桿件構成，其展開到位后的姿態和位置精度會對薄膜索網的工作形態產生影響。加工裝配誤差、連接間隙及服役環境擾動等因素均可能導致機構展開運動存在誤差，從而偏離預定姿態和/或位置[1]，這就是展開機構的運動精度可靠性問題。機構的運動精度可靠度是指機構最終的運動姿態和位置輸出相較理想情況下的運動姿態和位置輸出的偏差值在期望誤差指標范圍內的概率。研究環形桁架式空間薄膜展開機構的運動精度可靠性，對確保展開機構實現在軌功能和性能具有重要意義。

國內外對于空間展開機構可靠性已有諸多研究，如：Castet 等利用威布爾擬合和非參數分析對衛星及其子系統的可靠性進行了建模分析[2]；Hogstrom等對三棱柱形空間薄膜展開單元進行了運動精度可靠性仿真[3]；Jawale 等研究了桿件尺寸公差影響下四桿機構的運動精度[4]；Wang 等針對關節鉸鏈間隙對運動精度的影響，提出了一種混合降維方法（HDRM），提高了仿真計算的效率[5]；Choi 等利用蒙特卡羅方法研究了制造公差和關節間隙不確定的機械手運動可靠性[6]；Ting 等針對關節間隙提出了N 桿機構末端運動精度量化模型，適用于包含旋轉和棱柱形關節的單環連桿機構[7]；劉珺蕙應用非概率模型對星載薄膜天線展開可靠性進行了分析，并給出了求解方法[8]；陳建軍等利用區間概率分析方法對星載展開天線結構在不同工作階段的可靠性進行了研究[9]；靳寧將貝葉斯網絡方法引入某星載薄膜天線展開系統多狀態可靠性分析，得到了多種失效事件概率的計算方法[10]；高靜麗采用模糊動態貝葉斯方法對天線展開系統進行了模糊可靠性建模與分析[11]；張建國等對周邊桁架式星載薄膜天線建立了非概率運動精度可靠性模型，推導出了考慮尺寸誤差及空間因素的非概率可靠性計算公式[12]；胡明等結合ADAMS 及Monte Carlo 方法對空間折疊展開機構運動精度可靠性進行了仿真分析，并求解了可靠度[13]。上述研究為空間薄膜展開機構運動精度可靠性建模與仿真提供了較好的基礎。目前如何兼顧運動精度可靠性的精確建模及高效仿真是展開機構可靠性研究領域的熱點問題。

本文以環形桁架式空間薄膜展開機構為對象，建立其運動精度可靠性理論模型，利用ADAMS/Insight 模塊進行基于桿長誤差的展開機構運動精度可靠性仿真，并求解其運動精度可靠度，從可靠性角度為環形桁架式空間薄膜展開機構的優化設計提供依據。

1 展開機構簡介

空間薄膜展開機構中，環形桁架是最具大尺寸、輕質化發展潛力的結構之一，其主要由驅動部件、同步展開機構、緩釋裝置和鎖定裝置組成。該機構除可以實現正常的折展功能之外，還需滿足以下要求：1）為保證折展動作的確定性，折展單元自由度應為F=1；2）無源驅動，通過緩釋裝置實現平穩展開動作，展開時間應在90 s 以內；3）運動副應避免使用復雜連接副，一般以平面低副為主，通常采用鉸鏈連接。

環形桁架式空間薄膜展開機構折展單元構型如圖1 所示，其中：展開桿4 個，分別為AB、AF、CD和DE；支撐桿4 個，分別為AS、LR、DS和QT；其余為活動桿件共13 個，轉動副19 個。若以折展單元中桿AD為機架，則其折展單元自由度為

圖1 環形桁架式空間薄膜展開機構折展單元構型Fig.1 Configuration of folding unit of the annular truss space membrane deployable mechanism

式中：N為活動桿件數；G為轉動副數目。

為保證環形桁架式空間薄膜展開機構折疊展開運動過程的協調性，折展單元一般采用正多邊形輪廓。本文所研究對象為由8 個折展單元構成的展開機構（如圖2 所示），其采用模塊化設計且每個折展單元以彈簧驅動展開，利用電機驅動繩索來約束彈簧驅動，以實現展開機構展開過程的平穩可控。

圖2 環形桁架式空間薄膜展開機構的構型Fig.2 Configuration of the annular truss space membrane deployable mechanism

2 展開機構運動精度可靠性理論建模

作為空間天線的支撐結構，環形桁架式空間薄膜展開機構的展開到位精度決定了薄膜索網的工作形態。以展開到位時8 個豎直支撐桿支撐點的展開位置所擬合的空間圓心坐標位置（見圖3）及半徑誤差作為特征參量，建立展開機構的運動精度可靠性模型。

圖3 環形桁架式空間薄膜展開機構展開到位狀態下支撐點擬合空間圓示意Fig.3 Schematic of the spatial circle fitted by the supporting points of the fully deployed annular truss space membrane deployable mechanism

假設空間圓的圓心坐標(xc,yc,zc)在三個方向的位置誤差允許值為[Δx, Δy, Δz]，半徑誤差允許值為Δr；若展開到位時空間圓圓心三個方向上的位置誤差和半徑誤差均在允許范圍內，即

則認為可展開機構展開可靠。式(2)中Δr為8 個支撐點的半徑誤差均值。

以圖1 中1#單元支撐桿下端點A作為展開機構的全局坐標系原點O1，支撐桿AD作為z軸。根據右手定則分別確定x、y軸方向并建立全局坐標系O1x1y1z1，按逆時針方向對其余單元建立局部坐標系Oixiyizi，保證每個相鄰單元的局部坐標系間夾角均為β。

設桿件AL、MN、DK和DQ的長度lAL=lMN=lDK=lDQ=50 mm，則 各 支 撐 桿 上 端 點Di的 坐 標(xDi,yDi,zDi)為

式中，lAB、lTQ和lRT分別為桿件AB、TQ和RT的長度。

假設展開桿lAB的展開角度為α，則輸出運動參數矢量Ui=[xDi,yDi,zDi]T，輸入運動參數矢量V=[α]。若每個折展單元的4 根展開桿的展開輸入運動相同，則輸入運動參數矢量V=[α]，結構參數矢量L=[lAB,lTQ,lRT]T，那么點Di的坐標(xDi,yDi,zDi)的表達式分別為：

由于各支撐點的位置誤差計算方法相同，故選擇支撐點D2(xD2,yD2,zD2)進行分析。利用一階泰勒展開，點D2的位置誤差表達式為

式中：u、v和w為空間圓所在平面參數，即ux+vy+wz- 1 = 0。

式(9)為超定方程組，進行最小二乘法求解得

將8 個離散點坐標分別代入式(11)，得

簡化后為

由于圓心必須在擬合圓所在平面，所以滿足

假設環形桁架式空間薄膜展開機構展開到位后，8 個支撐點所擬合的空間圓圓心坐標及圓半徑滿足正態分布，則x向的位置可靠度為

同理，替換成Δyc、Δzc和r，可求得相應的可靠度，得到擬合空間圓的圓心坐標及半徑。

據此，環形桁架式空間薄膜展開機構的運動精度可靠性理論模型為

式中：Rxc、Ryc、Rzc分別為可展開機構擬合空間圓的圓心位置在x、y、z向的可靠度；Rr為可展開機構擬合空間圓半徑尺寸的可靠度。

3 展開機構運動精度可靠性仿真分析

3.1 參數化仿真模型建立

基于ADAMS 仿真平臺，建立環形桁架式空間薄膜展開機構的參數化模型。通過ADAMS/Insight模塊進行機構的運動精度可靠性仿真[14]。結合運動精度可靠性模型、蒙特卡羅法及MATLAB 對仿真結果進行處理[15-16]，求解環形桁架式空間薄膜展開機構展開到位后各單元支撐點的空間坐標。

利用SolidWorks 對環形桁架式空間薄膜展開機構進行三維建模，確定機構的關鍵點位置，創建設計點及幾何體模型，獲取關鍵點坐標。由于環形桁架式空間薄膜展開機構主要由連桿鉸接而成，所以在ADAMS 中可將關鍵點坐標參數化并創建設計點，同時將連桿與關鍵點關聯，即在修改關鍵點位置時，連桿的尺寸會相應改變。

根據環形桁架式空間薄膜展開機構的運動精度可靠性理論模型，在參數化模型中選取圖1 中桿件RT、AB和TQ的桿長作為設計變量（如表1 所示）；結合加工精度要求，選擇加工公差等級為IT5。

表1 桿長設計變量Table 1 Rod length design variables

根據環形桁架式空間薄膜展開機構的折展單元各連接桿件關系，將上述設計變量代入式(4)、式(5)和式(6)，實現桿件尺寸的參數化。1 個單元中桿件端點參數化坐標見表2。當設計變量發生變化時，端點坐標也會隨之變化，從而實現桿件尺寸的自動修改。

表2 桿件端點參數化坐標Table 2 Parameterized coordinates of the rod end points

將環形桁架式空間薄膜展開機構的8 個單元添加轉動副，驅動（角速度）函數為STEP(time, 0,0d, 11.25, 1.0332d ) +STEP(time, 67.5, 0d , 78.75,-0.5166d )+STEP(time, 78.75, 0d , 90, 0d )，驅動函數仿真曲線如圖4 所示。

圖4 空間薄膜展開機構轉動副的驅動函數仿真曲線Fig.4 Drive function simulation curve of the rotating pair of the space membrane deployable mechanism

建立環形桁架式空間薄膜展開機構參數化仿真試驗模型。在可靠性仿真試驗之前，進行展開機構的運動功能仿真驗證，得到展開桿的展開角度變化曲線，如圖5(a)所示；選取圖3 所示的2#，3#，4#，5#支撐點對應的豎直支撐桿，得到各豎直支撐桿展開位移與角度、展開速度和展開加速度隨時間的變化曲線，分別如圖5(b)、(c)和(d)所示。由圖可知：環形桁架式空間薄膜展開機構的各折展單元的位移、速度和加速度變化趨勢基本一致；且展開到位后，每個支撐單元桿展開角度相同。這表明各折展單元均能順利展開至規定的位置。

圖5 空間薄膜展開機構運動功能仿真結果Fig.5 Motion function simulation results of the space membrane deployable mechanism

3.2 運動精度可靠性仿真求解

調用ADAMS/Insight 模塊，完成環形桁架式空間薄膜展開機構在桿長誤差影響下的仿真設置。這里，將桿長誤差設置為服從正態分布，利用Monte Carlo 法生成隨機數。

對環形桁架式空間薄膜展開機構的仿真模型參數化后，添加8 個單元中各自豎直支撐桿端點Di的位置坐標(xDi,yDi,zDi)作為輸出量，基于桿長的隨機尺寸進行運動精度可靠性仿真，仿真次數為104次[17]。將輸出結果導出并進行數據處理，1#折展單元仿真第1～10 次的結果見表3。

表3 基于ADAMS/Insight 的空間薄膜展開機構運動精度可靠性仿真結果Table 3 Motion accuracy reliability simulation results of space membrane deployable mechanism by ADAMS/Insight

通過上述環形桁架式空間薄膜展開機構的運動精度可靠性仿真，輸出2#～8#單元豎直支撐桿上端點D的坐標數據與理論標準值求解位置誤差，對其分別求解誤差參數的均值與均方差值。圖6 為可靠性仿真中單次仿真結果的對比。

圖6 折展單元豎直支撐桿D 點坐標x、y、z 方向誤差對比Fig.6 Error comparison of point D coordinate in x, y and z directions for the vertical supporting rod of folding unit

基于MATLAB 將環形桁架式空間薄膜展開機構的8 個支撐點標準坐標進行空間圓擬合，104次的擬合結果如圖7 所示。

圖7 環形桁架式空間薄膜展開機構支撐點擬合空間圓過程Fig.7 Fitting for the supporting points of annular truss membrane deployable mechanism to a spacial circle

根據最小二乘法擬合的空間圓誤差為

式中：S為殘差平方和；σS為擬合誤差。

確定允許擬合誤差為項目允許誤差（±1 mm）的1/10[18]，故排除擬合誤差超過0.1mm 的擬合結果，得到有效擬合結果為6369 次。

對展開機構展開到位后的擬合空間圓圓心坐標誤差與半徑誤差是否服從正態分布進行擬合，利用Normplot 函數進行正態性檢驗，結果如圖8 所示，其中：紅色點劃線為正態分布線；藍色散點為數據點。由圖8 可知，空間圓圓心坐標與半徑誤差不服從正態分布，不能直接計算可靠度[19]。

圖8 空間圓圓心坐標與半徑誤差正態分布檢驗結果Fig.8 Normal distribution test results of spacial circle center coordinate and radius error

故由式(18)計算環形桁架式空間薄膜展開機構的運動精度可靠度，結果為R=RxcRycRzcRr=0.999 5×1×1×1=0.999 5。

4 結束語

本文針對環形桁架式空間薄膜展開機構，完成了機構運動精度可靠性理論建模；基于ADAMS/Insight模塊建立了考慮桿長誤差的參數化仿真模型，采用蒙特卡羅法進行了模擬試驗；利用MATLAB 對輸出數據進行了空間圓擬合，得到了相應的圓心坐標及半徑，進行了正態分布檢驗，求解了環形桁架式空間薄膜展開機構的運動精度可靠度。結果顯示：在允許誤差為±1 mm 時，環形桁架式空間薄膜展開機構的運動精度可靠度為0.999 5。上述研究結果為空間薄膜展開機構的進一步優化設計提供了依據。