氣相爆轟波凹面反射過程尺度效應的實驗研究

景天雨，林庚浩，李 健

（1.北京機電工程總體設計部，北京 100854；2.中國建筑科學研究院有限公司 北京構力科技有限公司，北京 100013；3.北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室，北京 100081）

0 引言

爆轟的能量釋放速率快、熱力循環效率高，在高性能航天推進領域具有很好的應用前景，其中旋轉爆轟發動機（RDE）成為目前國內外研究的熱點[1]。旋轉爆轟發動機利用爆轟過程產生推力，通常采用環形燃燒室，其原理為爆轟波在2 個圓柱形腔室壁的限制下沿周向旋轉自持傳播[2]并高速向外排出燃燒產物，從而產生推力。為了實現環形燃燒室內爆轟波穩定自持傳播，需要深入研究爆轟波沿環形管道的傳播機理，而爆轟波的凹面反射過程是其中的基本問題之一[3]。

當爆轟波在凹面楔上傳播并發生反射時，首先會出現馬赫反射（MR）；隨著爆轟波的傳播，凹面楔的壁角會不斷增大，當增大到一個臨界值時，爆轟波的反射模式會從馬赫反射向規則反射（RR）轉變（即MR→RR）。相似的反射模式轉變過程也存在于爆轟波的凸面反射，不同之處在于，隨著爆轟波的傳播，凸面楔的壁角不斷減小，反射模式會從規則反射轉變為馬赫反射（即RR→MR）。目前對于爆轟波凹面反射的研究并不多見，而對于爆轟波凸面反射的研究已較為成熟，其理論和研究方法可以作為參考。此外，爆轟波反射的很多研究都借鑒了激波反射的相關理論和方法，因此針對激波凹面反射的研究理論和方法也具有參考價值。

Ben-Dor 對激波反射現象進行了綜述，并把激波沿凹面反射的過程總結為4 個階段[4]——直接馬赫反射、穩定馬赫反射、反向馬赫反射和規則反射。Heilig[5]和Itoh 等[6]使用CCW 理論[7]計算了激波凹面反射過程中的三波點軌跡和MR→RR 臨界壁面角度，其計算結果與Geva 等[8]的實驗測量結果一致。Takayama 和Sasaki[9]對激波凹面反射MR→RR 的臨界角度進行了更為詳細的實驗研究，發現凹面楔的曲率半徑R是臨界壁面角度的主要影響因子。

與惰性激波不同，爆轟波存在更多維的空間尺度，例如反應區厚度Δ和胞格尺寸λ，這進一步增加了問題的復雜性。Yuan 等[10]通過數值模擬詳細分析了凹面楔上爆轟波的反射行為，并討論了影響爆轟波楔面反射的因素，但是未考慮爆轟波空間尺度的影響。李健等[11]利用煙膜實驗和數值模擬研究了凸面楔上爆轟波的反射問題并測量了不同條件下RR→MR 的臨界角度，發現臨界角度主要取決于爆轟波波陣面的特征尺度和凸面楔的曲率半徑。此外，根據李健等[12-13]和景天雨等[14]關于楔面爆轟波馬赫反射的研究發現，空間尺度效應對馬赫反射過程有重要影響。當前，直楔面上的爆轟波反射已經成為許多實驗和數值研究的熱門課題，但關于凹面楔上爆轟波馬赫反射行為和MR→RR 的研究仍較少；而凹面楔有助于更好地觀察爆轟波馬赫反射三波點軌跡以及MR→RR 過程。

本文針對爆轟波凹面反射問題中存在的尺度效應進行數值計算和實驗研究，通過對不同初始壓力和不同凹面楔曲率半徑下的爆轟波凹面馬赫反射的三波點軌跡以及MR→RR 過程進行對比，重點探索影響爆轟波凹面反射尺度效應的特征尺度。

1 實驗設置

實驗在矩形截面爆轟管道（長150 cm、高10 cm、寬1 cm）中進行，前端垂直焊接一圓形預爆轟管，整個實驗裝置如圖1 所示。

圖1 實驗裝置示意Fig.1 Schematic of the experimental apparatus

可燃預混氣體通過高壓電容放電產生的電火花起爆。預爆轟管中放入一段Shchelkin 螺旋，以促進爆轟波的快速形成。當使用低活性的混合氣體時，需將少量的活性氣體（2C2H2+ 5O2）同時注入到的預爆轟管以便于起爆。凹面楔塊則安裝在通道下游足夠遠的地方。實驗中使用符合化學當量比的2H2+O2+2Ar 預混氣體和3 種曲率半徑的凹面楔（R=4、6、8 cm），并改變爆轟管道內部的初始壓力（P0=15、20、30、40 kPa），實驗初始溫度T0=298 K。實驗前使用分壓法混合可燃氣體混合物，并將其靜止至少12 h 使之充分混合。實驗中采用煙膜技術記錄馬赫反射中的胞格變化。實驗后使用掃描儀獲得高分辨率的煙膜圖像，并用圖像處理軟件得到清晰的胞格結構。預混氣體熱力學和爆轟參數見表1，其中：MCJ為預混氣體達到CJ 狀態的馬赫數；γ0、γf和γCJ分別為預混氣反應前、反應后和CJ 狀態下的比熱比。

表1 預混氣體熱力學和爆轟參數Table 1 Thermodynamics and detonation parameters of premixed gases of 2H2+O2+2Ar

2 爆轟波/激波凹面反射理論模型

幾何沖擊動力學理論提供了一種簡化的方法來處理激波的反射過程。CCW 關系是一種計算激波在變傳播截面靜止氣體介質中傳播時馬赫數M和橫截面積A之間關系的計算方法。在單波陣面模型的假設下，爆轟波可被視為具有能量釋放的幾何間斷。本章根據幾何關系，給出關于馬赫桿高度Hm、壁面角度θw和馬赫桿馬赫數M0的微分形式控制方程。這個方程可以通過CCW 理論和反應CCW 理論進行求解，能夠相應得到無反應激波和CJ 爆轟波的三波點軌跡線，也可以得到MR→RR的臨界角度。

2.1 面積-馬赫數關系

CCW 理論的基礎是面積-馬赫數關系A(M)，它是約束幾何對波傳播速度影響的量度。由爆轟波的A(M)首先得出

如果假定γf=γ0=γ，且q=0，則方程退化成激波的CCW 模型。方程(1)可以用數值方法進行求解。

2.2 凹面反射幾何關系

假設馬赫桿是直線并且垂直于凹面楔的切線，則馬赫桿在任何給定時刻的強度在沿其自身所有點上都是相同的，通過圖2 所示可以得到以下幾何關系：

圖2 爆轟波/激波凹面反射CCW 理論幾何模型Fig.2 Theoretical geometry model of CCW of detonation wave/shock wave reflection on concave surface

其中：L為入射波在短時間間隔dt內傳播的距離；a0為入射波波前當地聲速；Hm為量綱為1 的馬赫桿高度；θw為壁面角度；dHm和dθw為Hm和θw的增量。

A0和A1分別為M0和M1的函數。假設dHm和dθw遠小于1，則忽略高階小量，可以將式(5)整理為微分方程

利用2.1 節中的A(M)，可求出馬赫桿的馬赫數M0，進而得到馬赫桿高度Hm和壁面角度θw的關系。

3 尺度效應

爆轟波本質為耦合了化學反應的強激波，存在多個特征尺度，具有很強的非線性特征。這導致基于激波和爆轟波的經典理論無法描述爆轟波凹面反射的完整過程和所有狀態，因此需要更為詳細的討論。本章將利用第2 章介紹的經典理論計算方法，結合爆轟波凹面反射實驗結果，從爆轟波自身尺度方面對反射過程的化學動力學機制進行討論。

3.1 馬赫反射胞格結構特征

在煙膜圖上辨認馬赫反射的三波點軌跡線有2 種方法，即觀察煙膜上胞格尺寸和形狀的變化或者觀察橫波軌跡線的曲率變化。馬赫桿本質上是一個過驅動的爆轟波，而入射爆轟波依然為CJ 爆轟波，故馬赫桿后的胞格尺寸要小于入射爆轟波后面的胞格尺寸；而且馬赫桿后的胞格形狀也會發生改變，不再是較為規則的菱形，而變為較為扭曲的形狀。因此，通過比較胞格的尺寸和形狀，大體可以獲得馬赫反射三波點的軌跡。此外，當入射波上的橫波向下傳播到馬赫桿時，其軌跡將會沿著逆時針方向發生一定的偏轉，而且該軌跡線的偏轉角會隨著楔角的增大而增大。因此，通過觀察橫波軌跡線的變化情況也可以得到一條三波點軌跡。

圖3 為2H2+O2+2Ar 氣體爆轟波在凹面上反射的煙膜圖（P0=40 kPa,R=6 cm），圖中的胞格形態和尺寸反映了不同馬赫反射類型之間的過渡。

圖3 2H2+O2+2Ar 爆轟波凹面馬赫反射煙膜圖（P0=40 kPa,R=6 cm）Fig.3 Mach reflection smoked foils of detonation wave on concave surface for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar(P0=40 kPa, R=6 cm)

從圖3 可以觀察到，凹面楔之前的胞格尺寸基本相同，說明爆轟波在傳播到凹面楔頂點之前已形成穩定的CJ 爆轟波。當爆轟波剛傳播到凹面楔上時，由于初始階段對應的壁角相對較小，跨越邊界的胞格尺寸變化不明顯，所以需通過觀察橫波軌跡線來辨認三波點軌跡。實際上，對于小楔角的馬赫反射問題，定義馬赫反射的三波點比較困難，因為馬赫桿是略微彎曲的，并不存在清晰的三波點來分割入射波、馬赫桿和反射波。當爆轟波沿著凹面楔傳播一段距離后，對應的壁角增大，跨越邊界的胞格尺寸的變化和三波點軌跡的彎曲非常明顯，因此可以結合胞格尺寸和橫波軌跡線的變化來辨認馬赫反射三波點的軌跡線。

圖3 上面的虛線是通過上述方法在煙膜圖上描出的三波點軌跡線。通過分析三波點軌跡線，可以研究爆轟波沿著凹面楔反射的全過程：當爆轟波傳播到凹面楔頂點時，對應的壁角為0 并開始形成馬赫反射，此時馬赫反射模式為直接馬赫反射，且馬赫桿的強度隨著壁角的增大而增大。本階段馬赫反射三波點的運動方向與馬赫桿所在位置的壁面切線方向夾角為正，表明馬赫桿后的流體有一個偏離凹面楔表面的方向。因此馬赫桿強度會隨著爆轟波的向前傳播而增大。隨著爆轟波的繼續傳播，凹面楔的壁角逐漸增大，導致馬赫桿后面流體運動矢量方向逐漸向對應的壁面切線方向偏移；當流體運動矢量方向平行于對應的壁面切線方向時，馬赫桿高度達到最大值，此時馬赫反射模式為穩定馬赫反射。然而，穩定馬赫反射狀態無法維持：隨著爆轟波的繼續傳播，凹面楔壁角繼續增大，馬赫桿后面流體運動矢量方向與對應的壁面切線方向夾角立即轉變為負值，馬赫桿高度開始逐漸減小，此時馬赫反射模式為反向馬赫反射。當凹面楔壁角增大到一個臨界值時，馬赫桿高度減小為0，此時反射模式由馬赫反射轉變為規則反射。圖4 展示了圖3 獲得的無量綱的三波點軌跡線，圖中紅色實線和虛線分別表示由CCW 理論（對應激波間斷）和反應CCW 理論（對應CJ 爆轟波間斷）獲得的三波點軌跡線。對比發現，在直接馬赫反射階段，三波點軌跡線趨近于CCW 理論軌跡，直到馬赫桿高度達到最大值，即穩定馬赫反射時刻，三波點軌跡開始偏離 CCW 理論軌跡并向反應CCW 理論軌跡靠近，最終的MR→RR 臨界點位于CCW 理論臨界點和反應CCW 理論臨界點之間，并且逼近反應CCW理論的結果。考慮到由于胞格不穩定性帶來的臨界點的散布，幾乎可以認為MR→RR 發生的位置與反應CCW 理論值重合。從圖中還可以看出，爆轟波的最大馬赫桿高度（穩定馬赫反射狀態）接近CCW 理論結果而大于反應CCW 理論結果，同時，達到最大馬赫桿高度（穩定馬赫反射狀態）時的壁角也小于CCW 理論結果和反應CCW 理論結果。這表明爆轟波在凹面楔上的馬赫反射存在明顯的尺度效應：壁角較小時，爆轟波的誘導寬度相對于壁角較大，爆轟波表現得更像是無反應的激波，馬赫反射對應于凍結極限；而壁角較大時，爆轟波的誘導寬度相對于壁角較小，爆轟波表現得更像是爆轟間斷，馬赫反射對應于平衡極限。上述結論與爆轟波在楔面上的馬赫反射類似，均存在尺度效應以及凍結、平衡2 個極限。

圖4 2H2+O2+2Ar 爆轟波凹面馬赫反射的三波點軌跡（R=6 cm, P0=40 kPa）Fig.4 Triple-point trajectory of Mach reflection of detonation wave on concave surface for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar (R=6 cm, P0=40 kPa )

3.2 三波點軌跡分析

圖5～圖7 為2H2+O2+2Ar 爆轟波在不同初始壓力（P0=15、20、30、40 kPa）和不同凹面楔曲率半徑（R=4、6、8 cm）條件下凹面反射的煙膜圖。

圖5 2H2+O2+2Ar 爆轟波在R=4 cm 凹面上傳播的煙膜圖Fig.5 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=4 cm for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

圖6 2H2+O2+2Ar 爆轟波在R=6 cm 凹面上傳播的煙膜圖Fig.6 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=6 cm for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

圖7 2H2+O2+2Ar 爆轟波在R=8 cm 凹面上傳播的煙膜圖Fig.7 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=8 cm for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

圖8 顯示了2H2+O2+2Ar 爆轟波在不同P0和R下的馬赫反射三波點軌跡線變化特征，圖中橫、縱坐標分別為壁角θ和量綱為1 的Hm/R，目的是比較不同曲率半徑條件下的三波點軌跡特征。從圖中可以發現，在直接馬赫反射階段，所有條件下的三波點軌跡線均接近CCW 結果（對應激波理論軌跡），而不是反應CCW 結果（對應CJ 爆轟波理論軌跡），這體現了3.1 節所述的凍結極限。當越過穩定馬赫反射狀態進入反向馬赫反射階段后，三波點軌跡均不同程度地開始偏離CCW 結果并向反應CCW 結果接近。

圖8 2H2+O2+2Ar 爆轟波三波點軌跡Fig.8 Triple-point trajectory of detonation wave for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

值得注意的是，曲率半徑R越大、胞格尺寸λ越小（或初始壓力越大）的情況下，三波點軌跡越早偏離CCW 結果，且更加接近反應CCW 結果。這是由于當爆轟波的寬度相對于馬赫桿行程較小時，波后的流動特性使得馬赫反射逐漸接近爆轟間斷的馬赫反射特征。據此可以推斷，在反向馬赫反射階段，隨著尺度比R/λ的減小，三波點軌跡接近于激波的理論結果；隨著尺度比R/λ的增大，三波點軌跡更加接近于CJ 爆轟波的理論結果。即在凹面馬赫反射問題中，存在2 個比較重要的尺度（R和λ）：λ相對于R越小，爆轟波表現得更像爆轟間斷；反之則爆轟波表現得更像無反應的惰性激波。

為了進一步研究尺度比R/λ對爆轟波凹面反射的影響，選取3 組極限情況（分別對應小尺度比、中尺度比和大尺度比）進行分析。圖9～圖11 為2H2+O2+2Ar 爆轟波在3 種不同條件下（P0=15 kPa，R=4 cm；P0=30 kPa，R=6 cm；P0=45 kPa，R=8 cm）下反射的煙膜圖，尺度比R/λ分別為3.5、12.5 和34.8，每種條件下重復3 次實驗。

圖9 2H2+O2+2Ar 爆轟波在R=4 cm 凹面上傳播的煙膜圖（P0=15 kPa）Fig.9 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=4 cm and P0=15 kPa for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

圖10 2H2+O2+2Ar 爆轟波在R=6 cm 凹面上傳播的煙膜圖（P0=30 kPa）Fig.10 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=6 cm and P0=30 kPa for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

圖11 2H2+O2+2Ar 爆轟波在R=8 cm 凹面上傳播的煙膜圖（P0=45 kPa）Fig.11 Smoked foils of detonation wave on concave surface with R=8 cm and P0=45 kPa for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

圖12 為煙膜圖（圖9～圖11）對應的馬赫反射三波點軌跡線。從圖12 可以發現，在直接馬赫反射階段，三波點軌跡均貼近CCW 理論，與尺度比R/λ的大小幾乎沒有關聯；但是在反向馬赫反射階段，小尺度比情況的三波點軌跡依然與CCW 理論結果保持一致，而大尺度比情況的三波點軌跡很快偏離CCW 理論結果，并在反向馬赫反射階段后期與反應CCW 理論結果一致，中尺度比情況的三波點軌跡介于兩理論結果之間。

圖12 胞格尺度對2H2+O2+2Ar 爆轟波的三波點軌跡的影響Fig.12 The influence of cellular scale on the triple-point trajectory of detonation wave for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

這些數據也反映出尺度比對數據散布的影響。小尺度比情況下三波點軌跡線差異較大，而大尺度比情況下三波點軌跡線幾乎重疊。然而對胞格尺度進行歸一化后發現，相同條件下的馬赫反射三波點軌跡線基本吻合，數據的散布均發生在單個胞格范圍以內。由于胞格不穩定性的存在，爆轟波波陣面會產生局部曲率變化，以至在三波點軌跡繪制和臨界壁角統計中會存在一定的數據散布情況。這種數據散布在較小尺度比情況下的影響更為顯著。

3.3 臨界角度分析

圖13 為爆轟波凹面反射臨界壁角θtr統計。從圖中可以看出，數據具有相對明顯的發散，特別是胞格尺寸較大時。同時還可以發現，臨界壁角隨著凹面曲率半徑的增大而減小，或隨著初始壓力的增大（或胞格尺寸的減小）而減小；當凹面曲率半徑固定時，臨界壁角隨著胞格尺寸λ的增大而增大。因此，可以判斷臨界壁角隨著尺度比R/λ的增大而相應減小。

圖13 2H2+O2+2Ar 爆轟波凹面反射臨界壁角Fig.13 Critical wall angle of detonation wave on concave surface reflection for a gas mixture of 2H2+O2+2Ar

圖14 反映了臨界壁角θtr與尺度比R/λ的關系，圖中紅色的直線和虛線分別表示凹面楔的CCW 理論結果和反應CCW 理論結果。對比發現，臨界壁角均位于凹面楔的反應和無反應CCW 理論獲得的臨界壁角數值之間，而且尺度比存在2 個極限狀態：當尺度比小于下臨界值時，臨界壁角接近CCW理論結果；當尺度比增大到上臨界值時，臨界壁角幾乎穩定在一個數值，并從上方接近反應CCW 理論結果。

圖14 尺度比R/λ 對應的臨界壁角Fig.14 Critical wall angle corresponding to scale ratio R/λ

4 結論

本文從空間尺度理論出發，對爆轟波凹面反射過程進行了實驗研究，重點關注了爆轟波凹面馬赫反射的三波點軌跡和從馬赫反射向規則反射轉變的臨界壁角，以及空間尺度對上述兩過程的影響規律，并得到以下結論：

1）爆轟波在凹面楔的反射過程依次經歷4 種反射模式——直接馬赫反射、平穩馬赫反射、反向馬赫反射和規則反射。前3 種反射模式均屬于馬赫反射，分別對應馬赫桿高度的增大過程、馬赫桿最大高度的瞬時狀態以及馬赫桿高度的減小過程。

2）凹面楔的馬赫反射過程主要取決于2 個長度尺度——爆轟波的胞格尺寸λ和凹面楔的曲率半徑R。當尺度比R/λ較小時，爆轟波馬赫反射三波點軌跡接近于激波馬赫反射的結果；而隨著尺度比的增大，三波點軌跡在傳播過程中會更早地偏離激波的理論軌跡。

3）臨界壁角隨著尺度比R/λ的增大而減小，而且尺度比存在2 個臨界值：當尺度比小于下臨界值時，臨界壁角接近CCW 理論預測值；當尺度比大于上臨界值時，臨界壁角接近反應CCW 理論預測值。