考慮多維隨機地震作用的鋼煙囪可靠度分析

閆 龍,胡 博,姜云木,王鑫鵬

(1. 武漢工程大學 土木工程與建筑學院,湖北 武漢 430074; 2. 南寧職業技術學院 建筑工程學院,廣西 南寧 530000;3. 青島理工大學 土木工程學院,山東 青島 266520)

0 引言

煙囪是一種為熱煙氣或煙霧提供通風的結構[1],在火電、冶金等工業領域具有重要地位。精確地評估煙囪結構在地震作用下的可靠性對保證工廠人員及財產安全極其重要。地震作為破壞力巨大的自然災害之一[2-4],具有顯著的隨機性及多維性[5-6],因此,在工程實際中應充分考慮地震動的上述特性。

對于隨機地震動,模擬方法一般有譜表示、本征正交分解等[7-9]。譜表示和本征正交分解因其理論完善、計算簡單,應用較為廣泛。然而,上述方法均是在Monte Carlo方法的框架之內,通過對一系列隨機變量進行反復抽樣,最終生成滿足一定模擬精度要求的樣本。此外,模擬精度與抽樣的數量存在負相關關系,較難實現大型復雜結構抗震可靠性的精細化分析[10]。針對以上問題,姜云木等[11]、RUAN等[12]通過引入隨機函數約束形式,盡可能地降低了隨機變量個數。同時,在概率層面實現了隨機地震動的精細化模擬。

地震動的多維特性對煙囪結構的動力響應同樣至關重要。周長東等[13]以一座高240m的某鋼筋混凝土煙囪為例,將地震動分別以一維、二維和三維形式作用于其上。結果表明,三維地震動作用下煙囪發生損壞及倒塌的風險更大。田苗旺[14]分析了在一維、二維和三維地震動作用下,240 m高的鋼混煙囪結構發生倒塌概率為50%時所對應的峰值加速度依次為1.2、0.75、0.375g;結構最容易出現損傷的位置基本相同,均為結構底部(0～20 m),中部(90～120 m),中上部(160～200 m)。何鄉等[15]認為在不同性能極限狀態下,僅考慮一維地震動作用會嚴重高估工程結構的抗震性能,當考慮三維地震動作用時,結構的破壞概率將會增加。

以上均采用的是確定性方法對結構進行抗震性能分析。然而,無論是初始條件、外部激勵還是系統參數均具有強烈的隨機性。因此,結構的動力響應是一個隨機過程。結構隨機動力反應與可靠度分析是工程結構安全性評價的基礎。目前,結構動力可靠性的分析方法可大致分為兩大類:擴散過程理論[16]和跨越過程理論[17]。其中,擴散過程理論存在著求解高維偏微分方程的困難,而跨越過程理論無法確保較好的精度?？梢?傳統的可靠度分析方法難以在保持精度的同時高效地獲取結構可靠度[18]。近年來,LI等[19]提出的概率密度演化理論較好地解決了上述問題。該理論的基礎是隨機動力系統的概率守恒,通過對確定性動力時程反應進行分析,其可以捕獲結構響應的概率密度函數。

綜上,本文考慮地震災害的隨機性和多維性,選用了一種更加保守的可靠度評價指標,運用概率密度演化方法,對某廠區一座自立式鋼煙囪結構進行了動力響應分析及可靠度評價。

1 多維地震動隨機向量過程的降維模擬

對于1V-3D的多維地震動,可將其視為3V-1D的非平穩隨機向量過程X(t)=[X1(t),X2(t),X3(t)],其中,1、2、3依次表示多維地震動的x、y、z這3個方向。X(t)的雙邊演變功率譜密度矩陣可定義為

(1)

式中,Si(ω,t)和Sij(ω,t)分別為i方向分量的自演變功率譜和i,j方向分量間的互演變功率譜。其中,Sij(ω,t)可表示為

(2)

式中γij(ω)為多維地震動i,j方向分量間的相干函數。根據松島豐模型[5]可知,多維地震動不同分量間的相干函數可定義為

(3)

對演變功率譜矩陣S(ω,t)進行分解[9],進一步可得

S(ω,t)=D(ω,t)γ(ω)DT(ω,t)

(4)

(5)

式中λi(ω)、ψi(ω)依次為γ(ω)的特征值和特征向量。

綜上,根據文獻[20],可得多維地震動i方向分量的POD表達式為

(6)

式中:N為頻率截斷項數;Δω為頻率離散步長;χir(ωk)和Zir(ωk)分別為特征向量元素ψi(ω)=χir(ωk)+iZir(ωk)中的實部和虛部;{Rrk,Irk}為一組標準正交的隨機變量,且滿足以下基本條件:

(7)

根據降維理論[11-12],可將{Rrk,Irk}定義為如下的隨機函數形式為

(8)

式中:Θi(i=1,2)為區間(0,2π)上的基本隨機變量,其樣本集可表示為Θi=[2πθ1,2πθ2,...,2πθnsel],θn為區間[0,1]上均勻分布的代表性點集,可利用數論方法進行選取[21],nsel為代表性點集的數量。此外,還需要進行(s,l)→(r,k)的確定性隨機序列變換。這一確定性的一一映射變換可以通過Matlab工具箱中的rand(‘state’,1)和temp=randperm(3×N)函數來實現。如此,便可唯一確定正交隨機變量{Rrk,Irk}的值。

2 結構整體可靠度評價

POD-降維方法盡最大潛力降低了隨機變量的個數,為數論方法的應用提供了可能。數論方法選取的點集具有良好的整體均勻性,且每個代表性點的賦得概率為1/nsel,即:每個代表性樣本的賦得概率為1/nsel?；诖?可進一步地與概率密度演化理論及等價極值分布的首次超越破壞可靠度評價方法相結合,對自立式鋼煙囪結構進行整體可靠度評價。

2.1 概率密度演化理論

對于具有n個自由度的工程結構系統,在利用有限元分析求解隨機動力響應時,多自由度結構系統動力方程為

(9)

現將需要且系統涉及到的相關結構響應表示為Z(t)。對于構成的概率保守系統(Z,Θ),其包含了所有隨機性。若聯合概率密度函數pZΘ(z,θ,t)已知,則廣義概率密度演化方程可表示為[18-19]

(10)

(11)

2.2 基于極值分布的可靠度計算

與規范不同,本研究將自立式鋼煙囪結構分為若干段,將各段相對水平位移角Φj(t)作為結構整體可靠度的評價指標。由極值事件原理可知,第j段結構的可靠度可表示為

RT,j(φ0)=Pr{Φj,max<φ0} (j=1,2,…,Nr)

(12)

(13)

式中:φ0為給定的閾值;T為地震動持時;Φj,max為第j段的相對水平位移角極值。

由等價極值事件可知,結構的整體動力可靠度即為[18-19]

(14)

(15)

式中Φmax為所有段結構相對水平位移角的等價極值。

3 工程概況及分析

3.1 工程概況

某工業城市的自立式鋼煙囪結構,煙囪高60 m,底部直徑為9 m,材料為Q235,鋼材的屈服強度為235 N/mm2,彈性模量為E=2.06×106N/mm2,密度為ρ=7.85×103kg/m3。現沿高度方向將其劃分為8段,各段尺寸如表1所示。相應結構的模態結果如表2所示。自立式鋼煙囪ANSYS有限元模型如圖1所示。

表1 鋼煙囪各段尺寸Table 1 Dimension of each section of steel chimney分段范圍/m頂部直徑/m壁厚/mm[0,8]8.020(8,15]7.218(15,23]7.216(23,30]7.214(30,38]7.212(38,45]7.210(45,53]7.28(53,60]7.26表2 鋼煙筒的模態分析結果Table 2 Modal analysis results of steel chimney階數自振頻率/Hz自振周期/s一階1.29364.8571二階1.29364.8571三階1.35714.6299四階1.35714.6299五階2.11282.9739

圖1 自立式鋼煙囪有限元模型Fig.1 Finite element model of self-supporting steel chimney

3.2 多維隨機地震動模擬

進行多維地震動模擬時,本文功率譜選用經典的雙邊Kanai-Tajimi模型[21]為

(16)

式中:ωg,i和ξg,i分別為多維地震動i方向分量的場地土卓越圓頻率和阻尼比;S0,i為多維地震動i方向分量的強度因子,可表示為[22]

(17)

對于多維地震動x方向分量的功率譜參數取值,可參考文獻[23]。其它方向分量的功率譜參數與x方向分量的功率譜參數取值保持以下關系[20]:

ωg,1=1.58ωg,2=1.58ωg,3ξg,1=ξg,2=ξg,3r1=1.5r2=1.5r3

(18)

為實現地震動的非平穩特性,本文調制函數采用基于Amin-Ang建議的四段模型[24]為

(19)

式中,t0,i、t1,i、t2,i和ci依次表示多維地震動i方向分量的上升段、平穩段和衰減段的起始時間以及衰減段的衰減速度。其模型參數取值可參考文獻[25]。

本算例以II類場地,8度罕遇地震為例。截斷頻率取ωu=240 rad/s,頻率離散間隔取Δω=0.15 rad/s;模擬持時取T=25 s,時間離散間隔取Δt=0.01 s。功率譜及調制函數相關參數如表3所示。

如此,便可利用POD-降維方法進行多維地震動的模擬。生成的第50條多維地震動的代表性樣本如圖2所示。經對比發現,x方向分量與y方向分量的幅值、頻譜及持時較為一致,而z方向分量則表現出高頻分量增多、幅值減小且持時增長的現象。這符合工程實際上對多維地震動的認知。因此,可以認為本文建議的多維地震動參數模型具有一定的工程適用性。

表3 模擬參數Table 3 Simulated parameters參數方向xyz卓越圓頻率/(rad/s)17.9511.3611.36阻尼比0.720.700.72峰值加速度/(cm/s2)400400400峰值因子3.04.54.5上升段起始時間/s0.30.20平穩段起始時間/s4.44.11.2衰減段起始時間/s8.59.411.9衰減速度/(cm/s)0.200.170.16圖2 代表性樣本Fig.2 Representative samples

為了證明POD-降維方法的精確性,進一步對模擬樣本的一階、二階統計量進行分析。經計算,得到x、y、z方向的均值相對誤差均為0%,標準差相對誤差依次為4.96%、4.59%、3.74%,以上平均相對誤差均小于5%,說明所生成的多維地震加速度樣本可以用于工程實際。3種典型時刻下的功率譜模擬值和目標值的對比效果如圖3所示,可以看出,模擬值與目標值擬合良好,驗證了POD-降維方法的精確性。

圖3 不同時刻多維地震動分量功率譜與目標譜比較Fig.3 Comparison of power spectrum and target spectrum of multi-dimensional ground motion components at different times

3.3 結構動力響應及可靠度計算

將生成的多維隨機地震動場對上述自立式鋼煙囪進行233次確定性結構動力響應分析。圖4(a)和(b)依次為x方向和y方向233條代表性樣本對應的結構頂點位移的極值。由圖可知,x方向和y方向結構反應的最大極值均在0.8 m左右,對應的樣本均在第五十條附近。第一百條代表性樣本作用下結構各段頂部位移時程曲線如圖5所示。不難看出,大約在第六秒時,結構的動力響應最為強烈,這是由于輸入的多維隨機地震動激勵在第六秒時正處于峰值最大時刻。同時,頂點位移極值曲線的波動情況及代表性樣本對應的結構反應時程曲線的演化趨勢均說明了生成的多維地震激勵具有明顯的隨機性。

圖4 頂點位移極值Fig.4 Extreme value of top displacement

圖5 第一百條代表性樣本對應的結構反應Fig.5 Structural response from the 100th representative sample

參考GB 50135—2019《高聳結構設計標準》[26]中規定的將高聳結構頂部水平位移角限值作為可靠度評價指標,此處,將結構各段相對水平位移角限值作為結構整體可靠度評價指標。

首先,以結構頂點水平位移角1/50為閾值。根據GB 50011—2010《建筑抗震設計規范》[27]相關規定,對自立式鋼煙囪結構抗震設防的第三水準進行分析。運用概率密度演化理論及等價極值分布的首次超越破壞可靠度評價方法,計算罕遇地震影響中鋼煙囪結構x方向與y方向的可靠度。2個方向的可靠度均為100%,抗震性能滿足工程實際的要求,如圖6所示。進一步地,計算233條代表性樣本對應的各段相對水平位移角極值,如圖7所示。由圖可知,無論是x方向還是y方向,相對水平位移角極值的最大值出現在第五段。由此猜測,直立式鋼煙囪的薄弱部位可能將出現在該段。

圖7 各段相對水平位移角極值Fig.7 Extreme value of relative horizontal displacement angle of each segment

同樣地,以結構相對水平位移角1/50為閾值,將自立式鋼煙囪截面相對水平位移角作為結構整體可靠度評價指標,計算鋼煙囪結構各段x方向和y方向的可靠度,如圖8所示。將圖6與圖8進行對比,以各段相對水平位移角為限值的可靠度評價得到的結構整體可靠度為99.98%,低于規范中以結構頂點水平位移角限值為指標的可靠度評價。此外,由圖8可知,第五段和第六段的可靠度明顯小于其它各段,在抗震設計時應重點進行關注;若為在役結構,應在該段采取結構加固措施以確保結構的抗震安全。

圖6 累計分布函數Fig.6 Cumulative distribution function

圖8 各段累計分布函數Fig.8 Cumulative distribution function of each segment

綜上分析,除地震動特性、結構類型等客觀因素外,工程結構可靠度評價方法的主觀選擇也是極為重要的。不同可靠度評價方法所獲取的可靠度數值及相關信息的豐富程度具有差異性。

4 結論

為了從整體角度把握多維隨機地震動作用下鋼煙囪結構的抗震性能,本文運用基于隨機函數約束和數論選點的POD-降維方法,模擬了233條具有已知賦得概率的非平穩多維隨機地震動加速度時程;同時,建議了一種新的可靠度評價指標。以某工業城市的鋼煙囪結構為工程對象,對其可靠度進行分析,得到如下結論:

1)給定參數關系和多維地震動相干函數模型,由POD-維方法模擬得到的地震動樣本,其豎向分量與水平向分量相比,持時更長,幅值更小,低頻成分更多,符合工程上對多維地震動的認知。驗證了本文參數關系和相干函數模型的有效性。

2)模擬樣本的均值相對誤差和標準差相對誤差均小于4.96%,且典型時刻下功率譜模擬值與目標值對應良好,證明了POD-降維方法的精確性。同時,模擬的非平穩多維地震動代表性樣本具有已知賦得概率。這為工程實踐中在概率密度層面進行動力響應及抗震可靠性分析奠定了良好基礎。

3)與規范中僅考慮高聳結構頂部水平位移角限值相比,本文建議的可靠度評價指標更加保守。進行分段處理后,對結構整體抗震性能的把握更具精確性,可為設計施工、維修加固等工程實際提供參考。