離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人跟蹤控制研究

苗盛陽(yáng)，周宇生

（貴州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，貴陽(yáng) 550025）

0 引言

輪式移動(dòng)機(jī)器人是通過(guò)車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)完成運(yùn)動(dòng)任務(wù)的一類(lèi)特殊的移動(dòng)機(jī)器人，具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、運(yùn)動(dòng)靈活和能耗低等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)物料運(yùn)輸和醫(yī)療等領(lǐng)域［1－3］。在眾多的輪式移動(dòng)機(jī)器人中，有一類(lèi)被稱(chēng)為拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人，它由多個(gè)單體輪式移動(dòng)機(jī)器人連接而成［4－5］。根據(jù)相鄰2個(gè)移動(dòng)機(jī)器人連接方式的不同，拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人可分為軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人和離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人。軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人中相鄰兩車(chē)的連接點(diǎn)位于前車(chē)輪軸的中點(diǎn)［6－7］，而離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人中相鄰兩車(chē)的連接點(diǎn)位于前車(chē)尾桿的末端［8－11］。

軌跡跟蹤控制問(wèn)題是拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人控制中的一類(lèi)重要問(wèn)題，但復(fù)雜的結(jié)構(gòu)、嚴(yán)重的欠驅(qū)動(dòng)特性和非完整約束的影響，給拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)控制帶來(lái)了極大的困難［12－13］。針對(duì)軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人中掛車(chē)的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，文獻(xiàn)［14］基于李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)了速度控制器，實(shí)現(xiàn)了掛車(chē)的位置跟蹤。針對(duì)軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人中拖車(chē)和掛車(chē)沿相同軌跡運(yùn)動(dòng)控制問(wèn)題，文獻(xiàn)［15］通過(guò)增加控制輸入實(shí)現(xiàn)了對(duì)掛車(chē)的控制，并通過(guò)李雅普諾夫直接法設(shè)計(jì)了一種運(yùn)動(dòng)學(xué)控制器，實(shí)現(xiàn)了拖車(chē)和掛車(chē)沿同一軌跡運(yùn)動(dòng)。上述僅僅基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型設(shè)計(jì)控制器的方法雖然能實(shí)現(xiàn)軌跡跟蹤，但是沒(méi)有考慮機(jī)械系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，忽略了速度變化。而速度控制一般是通過(guò)力矩控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此在控制設(shè)計(jì)過(guò)程中還要考慮動(dòng)力學(xué)模型。動(dòng)力學(xué)模型是描述速度與控制輸入力矩的變化關(guān)系的模型，可采用基于機(jī)械系統(tǒng)能量的歐拉-拉格朗日方程進(jìn)行推導(dǎo)［16－17］。為了實(shí)現(xiàn)更加有效的控制，同時(shí)考慮位置跟蹤和速度跟蹤的雙環(huán)控制方法受到越來(lái)越多學(xué)者的青睞。雙環(huán)控制方法由內(nèi)環(huán)和外環(huán)2個(gè)控制器組成，該方法可將不同的控制方法結(jié)合起來(lái)，充分發(fā)揮不同控制方法的優(yōu)點(diǎn)。如文獻(xiàn)［16］提出了一種由模型預(yù)測(cè)控制方法和滑模控制方法相結(jié)合的雙環(huán)控制方法，該方法將模型預(yù)測(cè)控制的預(yù)測(cè)功能和滑模控制的魯棒性有機(jī)結(jié)合起來(lái)，實(shí)現(xiàn)了掛車(chē)精確的軌跡跟蹤。文獻(xiàn)［18］提出了一種由基于李雅普諾夫函數(shù)的速度控制器和自適應(yīng)力矩控制器組成的雙環(huán)控制方法，該方法在具有不確定因素的情況下實(shí)現(xiàn)了掛車(chē)的軌跡跟蹤控制。雙環(huán)控制方法雖然能實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)，但為拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人同時(shí)設(shè)計(jì)出2個(gè)合適的控制方法不是一件簡(jiǎn)單的事情，并且上述研究忽視了移動(dòng)機(jī)器人的潛在運(yùn)動(dòng)規(guī)律，難以精確地實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)控制。想要實(shí)現(xiàn)拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的精確軌跡跟蹤，應(yīng)充分挖掘潛在的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，并將運(yùn)動(dòng)規(guī)律和控制器的設(shè)計(jì)有效地結(jié)合起來(lái)。如文獻(xiàn)［19］提出了一種動(dòng)態(tài)軌跡跟蹤方法，該方法的核心是引入以目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)弧長(zhǎng)來(lái)表示的相對(duì)曲率，通過(guò)跟蹤目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)的相對(duì)曲率來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)軌跡的精確跟蹤。此外，對(duì)于軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人中掛車(chē)的軌跡控制問(wèn)題，文獻(xiàn)［20］給出了兩車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)相對(duì)曲率的關(guān)系，并通過(guò)最優(yōu)控制和滑模控制方法同時(shí)實(shí)現(xiàn)了拖車(chē)和掛車(chē)的運(yùn)動(dòng)控制。由于非完整約束的影響，拖車(chē)和掛車(chē)很難沿著同一軌跡運(yùn)動(dòng)。為了實(shí)現(xiàn)拖車(chē)和掛車(chē)沿同一軌跡運(yùn)動(dòng)，文獻(xiàn)［21］為軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人中的掛車(chē)增添1個(gè)被動(dòng)操舵角，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)出了拖車(chē)和掛車(chē)之間的速度關(guān)系，通過(guò)動(dòng)態(tài)跟蹤方法實(shí)現(xiàn)了拖車(chē)和掛車(chē)沿同一軌跡運(yùn)動(dòng)。

然而上述結(jié)合運(yùn)動(dòng)規(guī)律的控制方法都是針對(duì)軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人提出的。與軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人相比，離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的前車(chē)尾部有一段額外的連桿，后車(chē)與前車(chē)的連接點(diǎn)在上述連桿的末端，而軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人后車(chē)與前車(chē)的連接點(diǎn)在前車(chē)輪軸的中心，可以說(shuō)軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人是離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的一種特殊情形（即前車(chē)尾端連桿長(zhǎng)度為零）。因此，離軸拖掛模型比軸上拖掛模型復(fù)雜，且由于連接點(diǎn)離前車(chē)的中心有一定的距離，使得其運(yùn)動(dòng)規(guī)律也更加復(fù)雜。上述2個(gè)原因?qū)е码x軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)律的相關(guān)研究較少。針對(duì)離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人中掛車(chē)的軌跡跟蹤控制問(wèn)題，研究給出了拖車(chē)和掛車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡滿(mǎn)足的一個(gè)重要的曲率關(guān)系，利用此關(guān)系將掛車(chē)的軌跡跟蹤問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拖車(chē)的軌跡跟蹤問(wèn)題，并利用動(dòng)態(tài)跟蹤方法設(shè)計(jì)出比例積分反饋控制器，實(shí)現(xiàn)了掛車(chē)的精確軌跡跟蹤。

1 問(wèn)題描述

下面將介紹離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的結(jié)構(gòu)及其運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型。

1.1 結(jié)構(gòu)介紹

如圖1所示，離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人由前面的拖車(chē)、中間的剛體連桿以及跟在后面的掛車(chē)組成。通常情況下，拖車(chē)含有2個(gè)主動(dòng)的驅(qū)動(dòng)輪和1個(gè)被動(dòng)的萬(wàn)向輪。拖車(chē)在驅(qū)動(dòng)輪的轉(zhuǎn)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)自主移動(dòng)，掛車(chē)一般不含驅(qū)動(dòng)裝置，只能在拖車(chē)的拉拽下完成運(yùn)動(dòng)。為了方便起見(jiàn)，將拖車(chē)中左右2個(gè)驅(qū)動(dòng)輪的控制輸入力矩分別記作τl、τr；設(shè)拖車(chē)的質(zhì)心為點(diǎn)A，坐標(biāo)為（x1，y1），掛車(chē)的質(zhì)心為點(diǎn)B，坐標(biāo)為（x2，y2）；兩桿的連接點(diǎn)為點(diǎn)C，坐標(biāo)為（x3，y3）。拖車(chē)的運(yùn)動(dòng)方向與X軸正方向的夾角為θ1，掛車(chē)的運(yùn)動(dòng)方向與X軸正方向的夾角為θ2。離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的廣義坐標(biāo)為q＝［x1，y1，θ1，θ2］T，所以離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人是1個(gè)4自由度2輸入的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。控制目標(biāo)是在拖車(chē)上施加合適的控制輸入，在拖車(chē)的拖拽作用下實(shí)現(xiàn)掛車(chē)跟蹤目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)。此外，研究所使用的狀態(tài)變量如表1所示。

表1 模型的主要參數(shù)

圖1 離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人示意圖

1.2 運(yùn)動(dòng)學(xué)模型

將V＝［v1，w1］T看作離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的輸入向量，其中v1表示拖車(chē)的前向速度，w1表示拖車(chē)的偏航轉(zhuǎn)速。同時(shí)，用v2表示掛車(chē)的前向速度，w2表示掛車(chē)的偏航轉(zhuǎn)速。假設(shè)離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中車(chē)輪不發(fā)生側(cè)滑，則A點(diǎn)和B點(diǎn)的橫向速度為零，得到的非完整約束為：

式（1）可寫(xiě)成矩陣的形式：

其中，

并且，A點(diǎn)和B點(diǎn)的前向速度可表示為：

結(jié)合式（1）和式（3）可得：

此外，A點(diǎn)和B點(diǎn)的位置關(guān)系可表示為

對(duì)式（6）進(jìn)行關(guān)于時(shí)間t的求導(dǎo)，可得：

結(jié)合式（4）、式（5）、式（7）可得：

綜上所述，得到的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為：

該運(yùn)動(dòng)學(xué)方程也可用矩陣表示為：

其中，

根據(jù)上述分析，可進(jìn)一步得到：

1.3 動(dòng)力學(xué)模型

為了利用歐拉-拉格朗日方程計(jì)算動(dòng)力學(xué)方程，應(yīng)計(jì)算出機(jī)械系統(tǒng)各個(gè)部分的能量。假設(shè)離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人始終在平坦地面運(yùn)動(dòng)，可忽略系統(tǒng)的勢(shì)能，因此系統(tǒng)的總能量等于總動(dòng)能。首先計(jì)算出2段連桿的總能量，假設(shè)連桿為輕質(zhì)剛體連桿，質(zhì)量忽略不計(jì)，則連桿的總能量為K1＝0。

其次，拖車(chē)車(chē)身及其車(chē)輪的總能量可表示為：

此外，根據(jù)式（6），掛車(chē)車(chē)身及其車(chē)輪的總能量可表示為：

因此，拉格朗日函數(shù)L就可寫(xiě)為3部分能量的總和：

其具體表達(dá)式為：

根據(jù)非完整機(jī)械系統(tǒng)的歐拉－拉格朗日方程，離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程可寫(xiě)成：

按照狀態(tài)變量的各階導(dǎo)數(shù)，可將歐拉－拉格朗日方程進(jìn)一步整理成：

式中：M（q）為慣性矩陣；C為柯氏力矩陣；T為控制輸入力矩；X（q）為控制輸入力矩矩陣；λ為拉格朗日乘子。

其中，

由于機(jī)械系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不可避免地會(huì)受到外界環(huán)境干擾D1的影響，因此在式（21）等號(hào)兩邊同乘ST（q）可得：

矩陣M1、C1、T1、D1的具體形式如下：

2 運(yùn)動(dòng)規(guī)律

在控制過(guò)程中，離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的自由度有4個(gè)，而控制輸入只有來(lái)自拖車(chē)車(chē)輪的2個(gè)控制輸入力矩，這給離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的控制帶來(lái)了困難。若能找出拖車(chē)和掛車(chē)滿(mǎn)足的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則可通過(guò)設(shè)計(jì)控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)拖車(chē)的控制，并根據(jù)兩車(chē)滿(mǎn)足的運(yùn)動(dòng)規(guī)律間接地實(shí)現(xiàn)對(duì)掛車(chē)的控制。

定理1：兩車(chē)的前向速度和偏航轉(zhuǎn)速滿(mǎn)足如下關(guān)系。

證明：根據(jù)幾何關(guān)系，A、B、C3點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足如下的關(guān)系。

求式（32）兩式的平方和，可得：

所以拖車(chē)的前向速度v1可表示為：

當(dāng)剛體連桿繞著某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體連桿上的每一點(diǎn)的角速度都是相等的，但線(xiàn)速度不相等，線(xiàn)速度會(huì)隨著該點(diǎn)與轉(zhuǎn)動(dòng)中心的距離的不同而不同。如圖1所示，由于離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的兩桿是剛體連桿，運(yùn)動(dòng)時(shí)同一桿上的任意2點(diǎn)的偏航角和偏航轉(zhuǎn)速相等，因此A點(diǎn)和C點(diǎn)的偏航角滿(mǎn)足θ1＝θ3。根據(jù)文獻(xiàn)［20］給出的軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人拖車(chē)和掛車(chē)偏航轉(zhuǎn)速關(guān)系可得：

所以拖車(chē)和掛車(chē)的速度之間的關(guān)系滿(mǎn)足：

由式（36）可知，拖車(chē)的前向速度和偏航轉(zhuǎn)速可由掛車(chē)的前向速度和偏航轉(zhuǎn)速得到，但根據(jù)式（36）很難把v2、w2的具體表達(dá)式反解出來(lái)，所以結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，將w2代入式（33）可得：

因此，拖車(chē)與掛車(chē)之間的速度關(guān)系還可表示為：

定理2：拖車(chē)運(yùn)動(dòng)軌跡的相對(duì)曲率k1和掛車(chē)運(yùn)動(dòng)軌跡的相對(duì)曲率k2滿(mǎn)足如下的關(guān)系。

證明：結(jié)合式（34）和式（35）可得，

式中：k1和k2分別為拖車(chē)和掛車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)的相對(duì)曲率。根據(jù)式（39），可將相對(duì)曲率為k2的掛車(chē)運(yùn)動(dòng)軌跡轉(zhuǎn)化為相對(duì)曲率為k1的拖車(chē)運(yùn)動(dòng)軌跡，因此掛車(chē)的軌跡跟蹤控制問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為拖車(chē)的軌跡跟蹤控制問(wèn)題。換言之，要實(shí)現(xiàn)掛車(chē)精確地跟蹤相對(duì)曲率為k2的軌跡曲線(xiàn)，只需要設(shè)計(jì)2個(gè)控制輸入力矩。

3 動(dòng)態(tài)跟蹤方法和控制器設(shè)計(jì)

下面將介紹動(dòng)態(tài)跟蹤方法以及控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程，具體的控制流程如圖2所示。

圖2 控制流程圖

3.1 動(dòng)態(tài)跟蹤方法

若r1＝（x1r，y1r）是拖車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤目標(biāo)，則根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可得：

對(duì)式（41）進(jìn)行關(guān)于t的求導(dǎo)，可得：

結(jié)合式（41）和式（42）可得：

所以，拖車(chē)的速度跟蹤目標(biāo)（v1r，w1r）和軌跡跟蹤目標(biāo)（x1r，y1r）滿(mǎn)足：

式中：k1r（s（t））為目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)的相對(duì)曲率，并且為軌跡曲線(xiàn)的弧長(zhǎng)，并且

根據(jù)式（41）和式（44）可得，拖車(chē)的前向速度目標(biāo)v1r和偏航轉(zhuǎn)速目標(biāo)w1r可由拖車(chē)的軌跡跟蹤目標(biāo)（x1r，y1r）確定；反之，軌跡跟蹤目標(biāo)（x1r，y1r）可由前向速度目標(biāo)v1r和偏航轉(zhuǎn)速目標(biāo)w1r得到。對(duì)于掛車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡跟蹤目標(biāo)r2＝（x2r，y2r），同樣可得到相似的結(jié)論：

因此，利用式（45）可將軌跡跟蹤目標(biāo)r2＝（x2r，y2r）轉(zhuǎn)化為速度跟蹤目標(biāo)（v2r，w2r），并利用文獻(xiàn)［19］提出的動(dòng)態(tài)跟蹤方法，將前向速度目標(biāo)設(shè)計(jì)為一個(gè)合適的函數(shù)，即：

式中：l為目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)的長(zhǎng)度；β為合適的參數(shù)，該參數(shù)可根據(jù)實(shí)際需要進(jìn)行調(diào)整。偏航轉(zhuǎn)速目標(biāo)通過(guò)以弧長(zhǎng)表示的目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)相對(duì)曲率和前向速度的乘積得到，具體形式如下：

式中：k2r（s（t））為目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)的相對(duì)曲率。

3.2 控制器設(shè)計(jì)

與軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人相比，離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型更復(fù)雜，為了實(shí)現(xiàn)更精確的速度跟蹤，可采用比例積分反饋控制方法。基于動(dòng)力學(xué)方程（22），設(shè)計(jì)比例積分反饋控制器來(lái)實(shí)現(xiàn)速度跟蹤。控制器可寫(xiě)成下面的形式：

式中：KP和KI分別為比例項(xiàng)矩陣和積分項(xiàng)矩陣，它們都是正定的常值矩陣；Kt為魯棒項(xiàng)矩陣；Ve＝Vc－V。將式（48）代入式（22），可得：

基于上述分析，構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)V為：

根據(jù)M1和KI的正定性，可得V也是正定的，再對(duì)V進(jìn)行關(guān)于時(shí)間t的求導(dǎo)，可進(jìn)一步得到：

根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，V≥0，≤0，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

4 數(shù)值仿真

為了驗(yàn)證所提控制方法的有效性，利用Matlab進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。根據(jù)式（22）可得，當(dāng)拖車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡是半徑為的圓時(shí)，掛車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡是1個(gè)單位圓。換言之，要實(shí)現(xiàn)掛車(chē)跟蹤目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)r2＝（cost，sint），僅需要控制拖車(chē)跟蹤曲線(xiàn)根據(jù)上述的分析，當(dāng)L1＜L2時(shí)，拖車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡為1個(gè)半徑大于1的圓軌跡；當(dāng)L1＝L2時(shí)，拖車(chē)與掛車(chē)沿同一單位圓運(yùn)動(dòng)；當(dāng)L1＞L2時(shí)，拖車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡為1個(gè)半徑小于1的圓軌跡。因此，利用動(dòng)態(tài)跟蹤方法，將動(dòng)態(tài)跟蹤目標(biāo)設(shè)計(jì)為：

其中，k1r（s（t））可表示為：

此外，離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人及其相關(guān)的參數(shù)取值為：r＝0.05 m，β＝0.5，m1＝2 kg，l＝2πm2＝1.5 kg，mw＝0.2 kg，b＝0.2 m，Iw＝0.01 kgm2，I1＝0.1 kgm2，I2＝0.05 kgm2，比例項(xiàng)矩陣KP＝10I2，積分項(xiàng)矩陣KI＝10I2，魯棒項(xiàng)矩陣Kt＝0.5I2，其中I2為二階單位矩陣。在仿真過(guò)程中，總仿真時(shí)間設(shè)定為20 s。由于離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人在實(shí)際環(huán)境下運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中不可避免地會(huì)受到外界干擾，因此外界干擾選為（td1，td2）＝（0.1sint，0.1cost）。離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人前后兩桿的長(zhǎng)度是控制過(guò)程中的重要參數(shù)，會(huì)直接影響到拖車(chē)和掛車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡。當(dāng)L1＜L2時(shí)，兩桿的長(zhǎng)度選擇為L(zhǎng)1＝0.1m，L2＝0.6 m；當(dāng)L1＞L2時(shí)，兩桿的長(zhǎng)度選擇為L(zhǎng)1＝0.5 m，L2＝0.3 m；當(dāng)L1＝L2時(shí)，兩桿的長(zhǎng)度選擇為L(zhǎng)1＝0.3 m，L2＝0.3 m。

3種情況下離軸拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人的軌跡跟蹤情況如圖3—圖5所示，其中黑色實(shí)線(xiàn)表示目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)，紅色虛線(xiàn)表示拖車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)，綠色虛線(xiàn)表示掛車(chē)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)。可看出，掛車(chē)可沿目標(biāo)軌跡運(yùn)動(dòng)。

圖3 掛車(chē)的軌跡跟蹤（L1＝0.1 m，L2＝0.6 m）

圖4 掛車(chē)的軌跡跟蹤（L1＝0.5 m，L2＝0.3 m）

圖5 掛車(chē)的軌跡跟蹤（L1＝0.3 m，L2＝0.3 m）

同時(shí)，為驗(yàn)證所提力矩控制器的有效性，3種情況下拖車(chē)的前向速度跟蹤誤差v1e和偏航轉(zhuǎn)速跟蹤誤差w1e隨時(shí)間變化的仿真結(jié)果如圖6—圖11所示。可看出，拖車(chē)的前向速度跟蹤誤差v1e和偏航轉(zhuǎn)速跟蹤誤差w1e始終在零值附近的微小范圍內(nèi)變化。特別是偏航轉(zhuǎn)速跟蹤誤差，始終在－0.02～0.02 rad／s的微小范圍內(nèi)變化。

圖6 拖車(chē)的前向速度跟蹤誤差（L1＝0.1 m，L2＝0.6 m）

圖7 拖車(chē)的偏航轉(zhuǎn)速跟蹤誤差（L1＝0.1 m，L2＝0.6 m）

圖8 拖車(chē)的前向速度跟蹤誤差（L1＝0.5 m，L2＝0.3 m）

圖9 拖車(chē)的偏航速度跟蹤誤差（L1＝0.5 m，L2＝0.3 m）

圖10 拖車(chē)的前向速度跟蹤誤差（L1＝0.3 m，L2＝0.3 m）

圖11 拖車(chē)的偏航速度跟蹤誤差（L1＝0.3 m，L2＝0.3 m）

從理論上來(lái)講，由于偏航轉(zhuǎn)速誤差始終穩(wěn)定在一個(gè)趨近于零的小范圍內(nèi)，表明所提控制策略對(duì)目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)的相對(duì)曲率跟蹤誤差非常小，掛車(chē)可很好地跟蹤目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)。從圖3—圖5也可看出，3種情況下的掛車(chē)在拖車(chē)的拉拽下可精確地跟蹤目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)，其運(yùn)動(dòng)軌跡與目標(biāo)軌跡幾乎重合。

5 結(jié)論

1）在軸上拖掛輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)規(guī)律的基礎(chǔ)上給出了拖車(chē)和掛車(chē)之間的速度關(guān)系以及兩車(chē)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線(xiàn)的相對(duì)曲率之間的關(guān)系，將掛車(chē)的控制問(wèn)題轉(zhuǎn)化為拖車(chē)的控制問(wèn)題，極大地降低了控制器的設(shè)計(jì)難度。

2）運(yùn)用動(dòng)態(tài)跟蹤方法跟蹤了目標(biāo)軌跡曲線(xiàn)的相對(duì)曲率，大大增加了軌跡跟蹤的精確性。

3）通過(guò)設(shè)計(jì)作用在拖車(chē)上的2個(gè)控制輸入力矩實(shí)現(xiàn)了掛車(chē)的控制。

4）所提比例積分反饋控制器可同時(shí)實(shí)現(xiàn)前向速度和偏航轉(zhuǎn)速的控制，為移動(dòng)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)控制器設(shè)計(jì)提供了一種新的思路。