類比遷移 提升能力 落實素養(yǎng)*
——“確定圓的條件”的教學設計與思考

? 江蘇省蘇州工業(yè)園區(qū)東沙湖實驗中學 李明樹

1 教材內(nèi)容分析

義務教育階段數(shù)學課程內(nèi)容由數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐四個學習領(lǐng)域組成.初中階段,圖形與幾何領(lǐng)域包括“圖形的性質(zhì)”“圖形的變化”和“圖形與坐標”三個主題.圓是平面幾何中基本的圖形之一,它不僅在“圖形與幾何”領(lǐng)域中有著重要地位,而且是進一步學習其他數(shù)學知識的重要基礎(chǔ).《義務教育數(shù)學課程標準(2022年版)》對圓有10點要求,其中“④了解三角形的內(nèi)心與外心.⑥能用尺規(guī)作圖:過不在同一直線上的三點作圓;作三角形的外接圓、內(nèi)切圓;作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形”.蘇科版九年級上冊第二章“對稱圖形——圓”是在小學學習圓的基礎(chǔ)上,系統(tǒng)地研究圓的概念、性質(zhì),與圓有關(guān)的位置關(guān)系,正多邊形和圓,圓的有關(guān)計算及證明.教材中,本節(jié)課程的“操作與思考”部分是通過“過一個點、兩個點、三個點作圓”的探究活動,類比“兩點確定一條直線”的研究方法,進而得到“不在同一直線上的三點確定一個圓”的結(jié)論;“嘗試與交流”部分是運用尺規(guī)作圖作任意三角形外接圓并發(fā)現(xiàn)三角形的外心的位置特征,其實質(zhì)是運用了數(shù)學中轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,促進學生理解尺規(guī)作圖的原理是垂徑定理的運用.

2 學情分析

九年級學生在知識儲備和思維能力上均逐漸趨于豐富和成熟.學生在學習本章之前,通過對稱、平移、旋轉(zhuǎn)以及推理等方式認識了點、線、面、角、相交線、平行線及三角形、四邊形等“直線型”幾何圖形的性質(zhì),積累了一定的數(shù)學活動經(jīng)驗.同時,學生已經(jīng)掌握了尺規(guī)作圖的基本技能和方法,能夠運用尺規(guī)作圖法解決數(shù)學問題.教師通過數(shù)字平臺提前發(fā)布學習任務,以便了解學情并對數(shù)據(jù)進行精準分析.因此,基于學情的視角進行有效的教學設計思路為:以教材為基礎(chǔ),強化合情推理與演繹推理的融合,同時加強代數(shù)推理的滲透,以呼應初中階段圖形與幾何領(lǐng)域的三個主題.

3 教學目標設置

經(jīng)歷“不在一條直線上的三點確定一個圓”的探索過程,了解三角形的外接圓、三角形的外心、圓的內(nèi)接三角形的概念;能夠利用尺規(guī),過不在同一直線上的三點畫出一個圓;理解類比、轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想,發(fā)展推理能力.

4 教學重難點

教學重點:探索“不在一條直線上的三點確定一個圓”的本質(zhì).

教學難點:通過類比,經(jīng)歷確定圓的條件的探索過程,說明“過不在同一直線上的三點有且只有一個圓”.

5 教學過程

5.1 前學

(1)從畫圓的過程描述圓的定義:

.

(2)從集合的角度描述圓的定義:

.

(3)圓具有兩個要素,①______,②______,其中______確定圓的位置,______確定圓的大小.

(4)如圖1,用尺規(guī)作圖法作線段AB的垂直平分線(保留作圖痕跡,不寫作法).

圖1

(5)如圖2是一張圓形紙片,如何確定圓形紙片的圓心?請用多種方法解決.

圖2

設計意圖：教師提前通過數(shù)字平臺發(fā)布課程包,引導學生線上或線下自主探究,同伴互評.利用任務激發(fā)學生學習的動機,以便了解學生對圓的概念、尺規(guī)作圖、垂徑定理等知識的掌握情況,為學生提供自學、互助、交流的機會,同時為本節(jié)課內(nèi)容的學習提供必要的知識儲備,進而確定和調(diào)整課堂教學的起點及節(jié)奏.

5.2 共學

(Ⅰ)創(chuàng)設情境,發(fā)現(xiàn)、提出問題

情境一：兩點確定一條直線.

操作1:在平面內(nèi)任取一點A,過點A畫直線.

追問:可以畫多少條直線?

操作2:在平面內(nèi)任取兩點A,B,過點A和點B畫一條直線.

追問:可以畫多少條直線?

操作3:在平面內(nèi)任取三個點呢?你有何發(fā)現(xiàn)?

設計意圖：通過對“兩點確定一條直線”的復習回顧,加深對“確定”一詞的理解,為研究“確定圓的條件”提供研究思路和方法.

情境二：考古學家在長沙馬王堆漢墓挖掘時,發(fā)現(xiàn)了一圓形瓷器碎片(如圖3),你能幫助考古學家畫出這個碎片所在的整圓嗎?從數(shù)學的角度,需要確定圓形瓷器碎片的哪幾個要素?

圖3

設計意圖：情境旨在引導學生思考畫圓需要確定圓的兩要素——圓心和半徑,從而引出本節(jié)課的學習任務——如何確定圓?確定圓的條件是什么?既激發(fā)了學生的求知欲,又明確了本節(jié)課的學習目標.

(Ⅱ)實踐探索,分析、解決問題

實踐探索一：探索“不在同一條直線上的三點確定一個圓”.

操作1:在圖4中作一個圓,使它經(jīng)過已知點A.

圖4

追問:這樣的圓可以作多少個?為什么?

設計意圖：通過操作、觀察與思考,學生能夠感受到畫圓的兩個要素——圓心和半徑.由于圓心的位置具有隨機性,半徑亦隨之變化,圓的位置和大小均無法確定,因此經(jīng)過任意點A可以畫無數(shù)個圓,為探索操作2提供思路.

操作2:在圖5中作一個圓,使它經(jīng)過已知點A,B.

圖5

追問:這樣的圓可以作多少個?它們的圓心在什么圖形上?

設計意圖：基于操作1積累的經(jīng)驗,引導學生尋找圓心O,使OA=OB,再運用數(shù)學動態(tài)軟件的“動畫”功能使圓心O運動起來,同時選擇“追蹤”圓,進而發(fā)現(xiàn)“同時經(jīng)過已知點A,B的圓有無數(shù)個”“圓心O在線段AB的垂直平分線上”的重要規(guī)律.

操作3:你能作一個圓,使它經(jīng)過A,B,C三點嗎?如果能,這樣的圓可以作多少個?圓心在什么位置?如果不能,請說明理由.

追問1:圓如果過這三個點,其圓心與點A,B,C有何關(guān)系?

追問2:經(jīng)過A,B兩點的圓的圓心有何特征?經(jīng)過B,C兩點的圓的圓心呢?經(jīng)過A,C兩點的圓的圓心呢?

追問3:最終,你有什么發(fā)現(xiàn)?

歸納總結(jié):______.

設計意圖：操作3可分三步進行探索.第一步(如圖6),當A,B,C三點在同一條直線上時,引導學生分別作線段AB,BC的垂直平分線l1,l2,觀察發(fā)現(xiàn)l1與l2沒有交點,進一步通過幾何推理說明l1與l2互相平行,從而發(fā)現(xiàn)“經(jīng)過共線的三點無法確定一個圓”.第二步(如圖7和圖8),當A,B,C三點不在一條直線上時,引導學生分別作線段AB,BC的垂直平分線l1,l2,觀察發(fā)現(xiàn)l1與l2交于一點,再進一步說明OA=OB=OC,從而得出“經(jīng)過不共線的三點可以確定一個圓”的重要結(jié)論.第三步,學生利用數(shù)學動態(tài)軟件,拖動圖5中的點C,觀察點A,B,C三點經(jīng)歷“共線”到“不共線”的變化過程,同時觀察到l1,l2由平行到相交的轉(zhuǎn)換,動態(tài)呈現(xiàn)幾何圖形的運動與內(nèi)部關(guān)聯(lián).此環(huán)節(jié)注重引導學生體會利用“交集法”確定圓心位置解決問題的思想方法,讓學生經(jīng)歷“觀察與操作—探索與猜想—推理”的認識過程,幫助學生從“存在性”“唯一性”兩個方面理解“確定”一詞的含義,促進學生形成科學地、能動地認識世界的良好品質(zhì),同時強化了合情推理和演繹推理的融合,實現(xiàn)信息技術(shù)與學科教學的深度融合.

圖6

圖7

圖8

例1已知點A(2,1),B(-1,-2).

(1)若點C(5,4),試判斷點A,B,C是否可以確定一個圓,并說明理由;

(2)若點C(m,n),且點A,B,C可以確定一個圓,試探究m,n的數(shù)量關(guān)系.

設計意圖：引導學生,從“數(shù)”與“形”兩個角度進行自主探究、合作交流,深化數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法的滲透.學生通過求經(jīng)過確定的兩點A,B的一次函數(shù)解析式,再將點C的坐標代入一次函數(shù)解析式來判斷,從正反兩個角度強化對“不在同一直線上的三點確定一個圓”的理解,發(fā)展代數(shù)推理能力.學生在平面直角坐標系中作直線AB,再描出點C,從“形”的視角直觀發(fā)現(xiàn)并驗證猜想.教師需要引導學生領(lǐng)悟在探究問題的過程中代數(shù)推理和幾何推理相輔相成,螺旋上升.

實踐探索二：歸納三角形的外接圓概念.

三角形的外接圓:三角形的三個頂點可以確定一個圓,這個圓叫做三角形的外接圓.外接圓的圓心叫做三角形的外心,這個三角形叫做圓的內(nèi)接三角形.

設計意圖：學生在上一環(huán)節(jié)探索活動中積累了“不在同一直線上的三點確定一個圓”的學習經(jīng)驗.引導學生將“不共線的三點”視作“三角形的三個頂點”,亦可將“三角形的三個頂點”視作“不共線的三點”.觀察圖9發(fā)現(xiàn),△ABC位于⊙O的內(nèi)部,同時三個頂點A,B,C均在圓上,故稱⊙O是△ABC的“外接圓”;⊙O在△ABC的外部,同時三個頂點A,B,C均在圓上,故稱△ABC是⊙O的“內(nèi)接三角形”.促使學生充分理解“外接”和“內(nèi)接”的內(nèi)涵,感悟哲學辯證統(tǒng)一的觀點.

圖9

實踐探索三：用尺規(guī)作圖法作“三角形的外接圓”.

操作4:如圖10,已知銳角三角形ABC,用直尺和圓規(guī)作銳角三角形ABC的外接圓.

圖10

學生閱讀教材第51頁“嘗試與交流”內(nèi)容,完成尺規(guī)作圖并思考以下問題:

(1)銳角三角形ABC有幾個外接圓?

(2)如何確定三角形的外心?外心到三角形三個頂點的距離有何關(guān)系?

(3)圓有幾個內(nèi)接三角形?

(4)三角形的外接圓有什么性質(zhì)?

設計意圖：基于前面的探索活動,學生積累了一定的數(shù)學活動經(jīng)驗,在學生已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上注重引導學生掌握作三角形外接圓的技能,通過操作活動進一步加深對“不在同一直線上的三點確定一個圓”的理解.

例2請用直尺和圓規(guī)分別作出圖11中直角三角形和鈍角三角形的外接圓;觀察所畫圖形,你發(fā)現(xiàn)三角形的外心和三角形有何位置關(guān)系?

圖11

設計意圖：基于上述操作,學生自主、獨立完成作圖.教師引導學生先猜想,再作圖,最后觀察三角形外心的位置特點發(fā)現(xiàn)規(guī)律.當△ABC是銳角三角形時,外心O在三角形內(nèi)部;當△ABC是直角三角形時,外心O在直角三角形斜邊的中點處;當△ABC是鈍角角三角形時,外心O在三角形外部.為后續(xù)求外接圓的半徑做好鋪墊.運用數(shù)學動態(tài)軟件,拖動△ABC的任意頂點改變△ABC的形狀,直觀呈現(xiàn)△ABC外心的位置,最后通過說理來驗證OA=OB=OC,進一步發(fā)展學生的幾何直觀和演繹推理能力.

(Ⅲ)知識遷移,內(nèi)化、運用結(jié)論

課堂練習:

(1)請用今天所學的知識解決情境二的問題,并與同伴分享.

(2)如圖12,A,B,C三點表示不共線的三個工廠,要建立一個供水站,使它到這三個工廠的距離相等,求作供水站的位置.(不寫作法,尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡.)

圖12

(3)在△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,求△ABC的外接圓的半徑.

設計意圖：第(1)題引導學生利用所學知識解決情境二的問題,即可在“圓形瓷器碎片”的圓弧上任取不重合的三點A,B,C,再分別作弦AB,BC的垂直平分線l1,l2交于點O,以點O為圓心,OA為半徑作圓可使“碎片復原”;第(2)題旨在培養(yǎng)學生從數(shù)學外部走向數(shù)學內(nèi)部,學會將生活問題數(shù)學化;第(3)題利用“直角三角形的外心在直角三角形的斜邊處”,綜合勾股定理相關(guān)知識解決問題,為后續(xù)學習圓周角及其性質(zhì)作鋪墊.

(Ⅳ)課堂小結(jié),梳理、構(gòu)建結(jié)構(gòu)

本節(jié)課你學習了哪些知識?獲得了哪些方法?感悟了哪些數(shù)學思想方法?還有什么疑惑?

設計意圖：引導學生借助思維導圖或知識圖譜呈現(xiàn)本節(jié)課所學的知識點及與前后知識的關(guān)聯(lián),再一次明確本節(jié)課知識在本章的地位及價值,歸納分類討論、尺規(guī)作圖、動靜結(jié)合等方法的注意事項,進一步感悟類比轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想方法,明確合情推理及演繹推理融合的重要性.

5.3 延學

(1)根據(jù)“不在一條直線上的三點確定一個圓”這一結(jié)論,試說明平面內(nèi)任意四點是否可以確定一個圓?如果可以,四邊形應滿足怎樣的條件?

(2)例題1變式:在△ABC中,已知點A(2,1),B(-1,-2),C(m,n).試探究m,n滿足怎樣的關(guān)系時,△ABC的外心在△ABC的某條邊上?若外心在△ABC的內(nèi)(外)部呢?

設計意圖：問題(1)注重引導學生將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形來研究,進而對后續(xù)圓周角及其性質(zhì)、圓的內(nèi)接四邊形的學習埋下伏筆.在實踐探索三中學生借助教材中提供的銳角三角形作外接圓時發(fā)現(xiàn)其外心在三角形內(nèi)部,例2中再分別作直角三角形、鈍角三角形的外接圓并觀察其外心的位置,進而得到“三角形的外心位置與三角形的形狀有關(guān)”的結(jié)論.問題(2)既是例1的變式,也是從代數(shù)推理的角度對“結(jié)論”加以證明,使學生明白“看到的現(xiàn)象”必須通過邏輯推理驗證方可成為“正確的結(jié)論”,培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度.

6 思考

6.1 混合式教學可提高課堂教學的精準度

數(shù)字平臺為學生提供了多元學習場景,“前學”課程資源可實時精準診斷學情,為設計以學情、素養(yǎng)為導向的學習活動提供了有力的數(shù)據(jù)保障.數(shù)學動態(tài)軟件的使用為學生提供了多維度的探究體驗,使動靜結(jié)合變?yōu)榭赡?“共學”環(huán)節(jié)凸顯學生的主體地位,教學目標精準,學習過程扎實,思想方法靈活,教學狀態(tài)靈動;“延學”部分的設置既是課堂教學的延續(xù),又是作業(yè)創(chuàng)新的手段.

6.2 素養(yǎng)導向的探究活動可實現(xiàn)教學評一體化

本節(jié)課以“四基”為起點,“四能”為突破,教學目標指向發(fā)展學生的推理能力、幾何直觀、應用意識等,強化代數(shù)推理與幾何推理的融合;以知識為載體,注重情境的真實化、探究的系統(tǒng)化、方法的多元化、知識的結(jié)構(gòu)化、思想的統(tǒng)整化,學習過程體現(xiàn)學生的主體地位;充分體現(xiàn)評價的多元化,采用線上評價、線下評價、線上線下相結(jié)合的方式評價,以實現(xiàn)多維動態(tài)掌握學情.