提升計算能力 培養數學素養*
——“解一元二次方程——配方法”教學實錄與反思

? 廣東省教育研究院黃埔實驗學校 鄭妙蘭

1 基本情況

1.1 學情分析

九年級學生在八年級已經學習了完全平方公式,具備一定的配方技巧與運算能力,為本節課的學習奠定了良好的基礎.

1.2 教材分析

“解一元二次方程——配方法”為人教版義務教育教科書數學九年級上冊第21章第2節的內容,本章主要內容是一元二次方程及其解法和應用.這是中學數學的重要內容,也是學習二次函數的重要工具,對學生運算能力、解決問題的能力有重要意義.由于配方法與二次函數的關聯性,方程更是刻畫現實世界的有效模型,凸顯了配方法的重要性以及解決實際問題的需要.

1.3 教學目標

(1)了解配方法的概念,掌握用配方法解一元二次方程的步驟,能熟練用直接開方法解一元二次方程;

(2)能用配方法解形如(x+p)2=q的一元二次方程并掌握轉化技能.

1.4 重點、難點

重點:用配方法解一元二次方程.

難點:把常數項移到方程(二次項系數化為1)右邊后,兩邊加上的常數是一次項系數一半的平方.

2 教學過程

2.1 復習引入

解下列方程:

(1)x2=4; (2)2x2=18; (3)(x+3)2=25.

前面已學過平方的概念及利用平方的定義求相應未知數的值.因此,這三題可通過開方降次的方法來求解.復習回顧所學內容,同時為本節課的學習作銜接.

教師提問:你會解下面的方程嗎?(教師板書)

x2+6x+4=0.

當方程變為形如ax2+bx+c=0(a≠0)的形式該如何求解?充分引發學生思考,引起其思維活動,激發其探知欲.

2.2 探索新知

溫故而知新(學生回答):

a2+2ab+b2=(a+b)2;

a2-2ab+b2=(a-b)2.

對完全平方公式“形”的認識.

在下列各空白處填上適當的數或式,使各等式成立.(學生上臺演算)

(1)x2+6x+=(x+3)2;

(2)x2+8x+=(x+)2;

(3)x2-4x+=(x)2;

(4)x2+px+=(x+)2.

共同點:左邊所填常數為一次項系數一半的平方.

教師再次提問:如何求解形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程?

引發學生思考,自主總結規律,教師適當引導,促進學生對完全平方公式“神”的認識.

利用配方法解方程x2+6x+4=0的過程可以用框圖來表示,如圖1表示.

圖1

教師板書,一步一步分析,體現思維的演變過程.

像這樣,通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法,叫配方法.

教師總結:可以看出,配方是為了降次,把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解.

解一元二次方程的基本思路:

把原方程變為形如(x+h)2=k(其中h,k是常數)的形式,然后兩邊開平方求解,具體情況如圖2所示.

圖2

2.3 例題展示

解下列一元二次方程:

(1)x2+4x+4=0; (2)x2+8x-9=0;

(3)x2-2x+5=0.

在介紹完配方的基礎知識后,要求學生自主解形如ax2+bx+c=0(a≠0)的方程.學生上臺演示,教師訂正,達到對所學新知及時鞏固的目的.

2.4 變式訓練

當二次項系數不為1時,該如何求解?引導學生思考,如3x2+12x+24=0.

2.5 課堂總結

用配方法解一元二次方程的步驟如圖3所示:

圖3

2.6 互動游戲

看看哪個是最牛小組:在規定時間內,看看哪個小組正確率高,得分最高者獲勝!

讓學生在學中玩,玩中學,達到學以致用.

3 設計說明與反思

3.1 設計說明

本節課基于一元二次方程的概念,讓學生通過對完全平方公式的認識與運用,學會配方,感受新知與舊知之間的關系,積累實踐經驗,提高計算能力,培養數學素養.根據學情、知識內容和教學目標等,將整節課分為六個環節即復習引入、探索新知、例題演示、變式訓練、課堂總結、互動游戲進行授課.

在“復習引入”中用平方的知識喚起學生對舊知的回顧,充分利用好前面所學內容,對本節課的學習起到至關重要的作用.讓學生充分體會到解決一元二次方程要將其轉化為形如x2=a(a≥0)的形式,并學會如何轉化成這個形式.尤其要讓學生在結構上認清公式,這往往就是學習的開始,由此引導學生的思考方向,為本節課指定學習方向標.

在“探索新知”中設置了學生自主思考與探究環節,對方程進行了適當變式,增設新問題,讓學生體會完全平方公式從“形”變到“神”變的過程,從本質上認識完全平方公式,掌握配方的解題方法.從二次項系數為1到二次項系數不為1的變式演練,加深學生對問題的理解,有助于學生對問題的解決,從特殊到一般,適當引導,進而歸納出用配方法解一元二次方程的步驟.

3.2 反思

(1)把時間還給學生

把時間還給學生,讓學生成為課堂的主人,切實體現新課改提出的把學生培養成發展的人,同時達到有效教學的效果.當學生把學習變成自身的自主行為,其自主性得到了發展,學生積極了,老師在課堂上也就輕松多了.這節課的重點在于學生練習并總結方法和規律,很多技能雖然要求掌握的層次不同,但都是每個學生應真正掌握的知識.

(2)把演示交給學生

合作解疑和激勵引導一直是課堂上需要攻破的重要節點.學生的疑問不是老師一味的講解就能解決的,應放手讓學生去試錯、去探究,可以從本質上讓學生體會“為什么?”“該怎么做?”對題目的理解不應處于似懂非懂的狀態,而應是徹底通透的理解.如本節課中配方法的探究,讓學生在探究過程中自行摸索后上臺演示,發現學生對題目的理解程度,有助于教師在關鍵處適當引導.