尋思路 凝通法 提素養*

? 浙江省舟山市定海區第七中學 余 鵬

? 浙江省舟山市定海區教師進修學校 賀建銘

《義務教育數學課程標準(2022年版)》指出:重視數學結果的形成過程,處理好過程與結果的關系.因此,在課堂教學中,教師應該“放下”自身的主體地位,扮演好組織者、引導者的角色,讓學生通過不斷的思考,嘗試獨立解決問題.只有學生真正經歷過思考探究的過程,才能更加深刻地體會到數學學習帶來的成就感,才能更有效地助推素養的提升.下文中,筆者以一道幾何題為例,具體闡述在解題教學中如何教學生尋思路、凝通法、提素養.

1 題目呈現

題目如圖1,在矩形ABCD中,∠ABC的角平分線BE與AD交于點E,∠BED的角平分線EF與DC交于點F,若AB=9,DF=2FC,則BC=______.

圖1

2 尋思路

本題以矩形為背景,作矩形一個直角的角平分線,其實已經暗含了45°角,學生很容易得到△ABE是一個等腰直角三角形.同時題目指出EF是∠BED的角平分線,學生又可以得到∠EFD=22.5°.再觀察條件,給出了AB=9,DF=2FC,又能進一步得到AE=AB=9,DF=6,CF=3.基于以上信息求BC的長度.

2.1 見角平分線,構建等腰三角形

題目的解答,要給學生獨立思考和自主解答的機會,同時讓學生嘗試講解,在這個過程中潛移默化培養數學素養.這道幾何題的教學中,教師可以引導學生對題目進行分析,求BC的長度其實就是求DE的長度.由BE平分∠ABC,可以得到△ABE是等腰三角形,類比遷移,EF平分∠BED,能不能也得到一個等腰三角形?引發學生思考,圖形中隱藏的等腰三角形在哪里,怎么去構造.學生會順其自然地聯想到“角平分線+平行線”模型,進一步思考并嘗試解決這個問題.通過尋思路,可以得出以下兩種構建等腰三角形的解法.

圖2

圖3

2.2 見角平分線,作垂直

繼續引導學生思考,EF是∠BED的角平分線,角平分線除了構建等腰三角形外,還有什么用途.學生立刻想到教材中角平分線的性質定理.通過角平分線的性質定理,順其自然就能聯想到作垂直[1].如圖4,過點F作PF⊥BE于點P,交DA于點Q,但是只能得到△PEF≌△DEF,∠DFQ=45°,依然無法求出BC的長.啟發學生∠DFQ=45°很重要,要充分利用這個條件,所以要圍繞該角構建等腰直角三角形DFQ.再次讓學生思考和解決問題.

圖4

2.3 尋特殊角,構建特殊的直角三角形

初中幾何問題,還有一種非常重要的解題思想,即圍繞特殊角構造直角三角形.比如,圖形中有30°或45°角時,可以構造含30°或者45°的直角三角形.這道題中有22.5°,不是一個很特殊的角,但是它與45°存在倍數關系.那么,能不能構造倍角來解答這道題?

圖5

其實22.5°也可以看成一個比較特殊的角,如果能夠求出tan 22.5°的值.這道題就變得更簡單了.如何求tan 22.5°的值?基礎好的學生很快就會給出如下過程.如圖6,△MNP是等腰直角三角形,在NP的延長線上取一點Q,使得PQ=MP,則tan ∠MQN即為所求.

圖6

3 凝通法

選取題目的目的本身就是促進學生對知識的強化和靈活運用,一題多解顯然能夠有效達到這個目的.以上五種解法復習了矩形的性質、角平分線性質定理、等腰直角三角形性質與判定定理、等腰三角形性質與判定定理、三角函數,以及相似三角形的性質和判定定理等.題目解法講完后的總結更為重要,比如,可以讓學生將這五種解法分類,然后找出每一類解法的共性.通過分類,可以發現這道題本質是兩種思維:①“角平分線+平行線”構造等腰三角形法(解法1和解法2);②本題中有已知的角度22.5°,所以構造特殊的直角三角形法(解法3～5).這就是多解歸一,它是對教材知識的升華,讓學生真正明白這些解法在解題思路上是有共性的,而這種共性恰好就是以后解決此類問題的關鍵.

4 解題反思

作為一線教師,要與時俱進.在教學中,我們的目標要從教學生“學會”,轉變為學生“會學”.要想達到這樣的教學目的,課堂教學方式就需要轉變.

第一,在教學中滲透類比遷移思想.比如,在解法5中,當學生求出tan 22.5°的值時,讓學生類比剛才的解法,嘗試著求tan 15°的值,其目的就是滲透類比遷移的思想,發展學生的核心素養.

第二,一節好課,教學思路需要精心設計,教學中的題目也要用心挑選.當一道數學題涉及到的知識不夠全面時,可以通過一題多變來完善和強化所學的知識體系.同時,在課堂中滲透解題的通法,讓學生能夠從“會一題”到“會一類”.比如,在解法2中,再次進行變式,追問線段HF,DE,FD三者之間有何數量關系,滲透證明一條線段等于兩條線段和的常用方法.通過這種不斷的變式,一節課的知識體系會變得越來越完善.

第三,教學時,讓學生在解決問題的過程中深度體會模型思想[2],有利于發展學生的核心素養.數學核心素養的一個重要內涵就是會用數學的思維思考現實世界,那么教學中培養學生的模型觀念就很重要.上文的解題教學中就滲透了一些解題模型,比如“角平分線+平行線”模型、截長法模型、出現角平分線作垂直模型、倍角模型等.

第四,教學活動要凸顯學生的主體地位,讓學生在“知行合一”中促進素養落地.教師作為課堂的組織者、引導者,要引導學生在正確理解的基礎上,自己動手實踐去解決問題,讓他們在這個過程中體驗思維的來路、分析的思路、解答的出路,激發他們對數學的求知欲和興趣,增強學習信心,體現數學的育人價值.