等高線法:一種巧妙解決一次函數(shù)中面積問題的技巧

? 湖北省武漢市陸家街中學(xué) 賈雨晴

在數(shù)學(xué)的世界中,有許多有趣而富有挑戰(zhàn)性的問題等待我們?nèi)ヌ剿骱徒鉀Q.其中,構(gòu)造等高平行線這一解題技巧為解決一次函數(shù)與三角形面積相關(guān)的問題提供了簡(jiǎn)潔而巧妙的方法.本文中將利用構(gòu)造等高平行線的方法,通過面積相等來求解一次函數(shù)中的面積問題,并結(jié)合具體的例題和變式來展示這種方法的應(yīng)用與效果.

1 靈感由來

原題如圖1,直線y=kx+2經(jīng)過點(diǎn)A(1,0),與y軸交于點(diǎn)B,點(diǎn)P(m,m-4)在直線AB上,過點(diǎn)B的直線l經(jīng)過第一、二、四象限,且M為直線l上一點(diǎn)(M不與B重合),且S△OPB=S△OPM,求直線l的解析式．

圖1

思路分析：將A(1,0)代入解析式y(tǒng)=kx+2中容易得出AB的解析式,進(jìn)而將P(m,m-4)代入解析式中即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo).根據(jù)S△OPB=S△OPM,可確定點(diǎn)M、點(diǎn)B所在的直線l與OP平行,因此可設(shè)直線l的解析式,再代入點(diǎn)B的坐標(biāo)即可求解.

解：將A(1,0)代入y=kx+2,得0=k+2,解得k=-2,則AB解析式為y=-2x+2,所以點(diǎn)B(0,2),點(diǎn)P(2,-2),因此直線OP的解析式為y=-x.由S△OPB=S△OPM,可知OP∥l.設(shè)直線l的解析式為y=-x+b,代入B(0,2)得b=2,所以直線l的解析式為y=-x+2.

評(píng)析：利用平行線間的距離處處相等,結(jié)合面積相等確定動(dòng)點(diǎn)所在的等高線,利用等高線可以解決很多類似的問題.

2 問題探究

為了更加直觀說明使用等高線對(duì)求解此類問題的便捷性,以下幾個(gè)變式將原題中所給的條件一般化.

2.1 將面積相等變成面積為一個(gè)定值

分析：例1與上述原題的不同之處在于,沒有給出與△OPM面積相等的另一個(gè)三角形,而是給出了S△OPM=4,但只要求出△OPM等高線的解析式,再與直線l的解析式聯(lián)立,即可得出所求點(diǎn)M的橫坐標(biāo).等高線的解析式比例系數(shù)與直線OP相等,但缺少原題中點(diǎn)B的坐標(biāo)作為輔助求出解析式,因此還需要求出一個(gè)輔助點(diǎn)的坐標(biāo).輔助點(diǎn)可以是該等高線與x軸或y軸的交點(diǎn),也可以是等高線與直線x=2(與點(diǎn)P橫坐標(biāo)相同)或直線y=-2(與點(diǎn)P縱坐標(biāo)相同)的交點(diǎn).

解：根據(jù)題意,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,-2),所以直線OP:y=-x.

圖2

圖3

圖4

圖5

評(píng)析：例1解題的靈魂在于利用點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D、點(diǎn)E確定等高線的解析式.尋找這些輔助點(diǎn)的關(guān)鍵是結(jié)合已知點(diǎn)的位置和坐標(biāo),構(gòu)造出便于計(jì)算面積的規(guī)則擺放的三角形.

這一方法適用于一次函數(shù)中與面積相關(guān)的問題.主要解題思路是:根據(jù)題意作出等高線,在等高線上構(gòu)造出面積相等且規(guī)則擺放的三角形;根據(jù)面積求出輔助點(diǎn)的坐標(biāo),代入坐標(biāo)求出等高線的解析式.規(guī)則擺放的三角形是指其中一邊與坐標(biāo)軸重合或平行的三角形(如例1中的△OPB,△OPC,△OPD,△OPE).

2.2 將已知點(diǎn)的坐標(biāo)一般化

確定等高線解析式的過程中,輔助點(diǎn)可以是等高線與x軸或y軸的交點(diǎn),也可以是與直線x=2或直線y=-2的交點(diǎn),還可以是與直線x=-1或直線y=3的交點(diǎn).這里僅以與y軸的交點(diǎn)作為輔助點(diǎn)進(jìn)行解答說明,其余的幾種情況不再一一贅述.

圖6

3 思路應(yīng)用

圖7

利用同底等高的三角形的面積相等構(gòu)造等高線是解決一次函數(shù)中面積問題的有效方法之一,其中利用直線平行得比例系數(shù)相同也是學(xué)生需掌握并熟練應(yīng)用的基礎(chǔ)知識(shí),而靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找輔助點(diǎn)更是解決此類問題的鑰匙.