等高線法:一種巧妙解決一次函數中面積問題的技巧

? 湖北省武漢市陸家街中學 賈雨晴

在數學的世界中,有許多有趣而富有挑戰性的問題等待我們去探索和解決.其中,構造等高平行線這一解題技巧為解決一次函數與三角形面積相關的問題提供了簡潔而巧妙的方法.本文中將利用構造等高平行線的方法,通過面積相等來求解一次函數中的面積問題,并結合具體的例題和變式來展示這種方法的應用與效果.

1 靈感由來

原題如圖1,直線y=kx+2經過點A(1,0),與y軸交于點B,點P(m,m-4)在直線AB上,過點B的直線l經過第一、二、四象限,且M為直線l上一點(M不與B重合),且S△OPB=S△OPM,求直線l的解析式．

圖1

思路分析：將A(1,0)代入解析式y=kx+2中容易得出AB的解析式,進而將P(m,m-4)代入解析式中即可得出點P的坐標.根據S△OPB=S△OPM,可確定點M、點B所在的直線l與OP平行,因此可設直線l的解析式,再代入點B的坐標即可求解.

解：將A(1,0)代入y=kx+2,得0=k+2,解得k=-2,則AB解析式為y=-2x+2,所以點B(0,2),點P(2,-2),因此直線OP的解析式為y=-x.由S△OPB=S△OPM,可知OP∥l.設直線l的解析式為y=-x+b,代入B(0,2)得b=2,所以直線l的解析式為y=-x+2.

評析：利用平行線間的距離處處相等,結合面積相等確定動點所在的等高線,利用等高線可以解決很多類似的問題.

2 問題探究

為了更加直觀說明使用等高線對求解此類問題的便捷性,以下幾個變式將原題中所給的條件一般化.

2.1 將面積相等變成面積為一個定值

分析：例1與上述原題的不同之處在于,沒有給出與△OPM面積相等的另一個三角形,而是給出了S△OPM=4,但只要求出△OPM等高線的解析式,再與直線l的解析式聯立,即可得出所求點M的橫坐標.等高線的解析式比例系數與直線OP相等,但缺少原題中點B的坐標作為輔助求出解析式,因此還需要求出一個輔助點的坐標.輔助點可以是該等高線與x軸或y軸的交點,也可以是等高線與直線x=2(與點P橫坐標相同)或直線y=-2(與點P縱坐標相同)的交點.

解：根據題意,點P的坐標為(2,-2),所以直線OP:y=-x.

圖2

圖3

圖4

圖5

評析：例1解題的靈魂在于利用點B、點C、點D、點E確定等高線的解析式.尋找這些輔助點的關鍵是結合已知點的位置和坐標,構造出便于計算面積的規則擺放的三角形.

這一方法適用于一次函數中與面積相關的問題.主要解題思路是:根據題意作出等高線,在等高線上構造出面積相等且規則擺放的三角形;根據面積求出輔助點的坐標,代入坐標求出等高線的解析式.規則擺放的三角形是指其中一邊與坐標軸重合或平行的三角形(如例1中的△OPB,△OPC,△OPD,△OPE).

2.2 將已知點的坐標一般化

確定等高線解析式的過程中,輔助點可以是等高線與x軸或y軸的交點,也可以是與直線x=2或直線y=-2的交點,還可以是與直線x=-1或直線y=3的交點.這里僅以與y軸的交點作為輔助點進行解答說明,其余的幾種情況不再一一贅述.

圖6

3 思路應用

圖7

利用同底等高的三角形的面積相等構造等高線是解決一次函數中面積問題的有效方法之一,其中利用直線平行得比例系數相同也是學生需掌握并熟練應用的基礎知識,而靈活運用所學知識尋找輔助點更是解決此類問題的鑰匙.