“動(dòng)”中求“靜”,“動(dòng)”“靜”互化
——中考動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題解題思路初探

? 江蘇省蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué) 袁 媛

馬克思主義哲學(xué)告訴我們,運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的,靜止是相對(duì)的.在幾何的學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們發(fā)現(xiàn)“靜”只是“動(dòng)”的瞬間,是運(yùn)動(dòng)的一種特殊形式,“動(dòng)”與“靜”是可以相互轉(zhuǎn)化的.如果能讓靜止的幾何圖形“動(dòng)”起來(lái),就可以幫助學(xué)生加深對(duì)圖形概念的準(zhǔn)確理解,探索圖形的性質(zhì).教師可以用動(dòng)態(tài)圖形創(chuàng)設(shè)富有啟發(fā)性的教學(xué)情境,引發(fā)學(xué)生對(duì)問(wèn)題的討論與思考;還可以通過(guò)動(dòng)態(tài)圖形讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)成功的樂(lè)趣.更重要的是,動(dòng)態(tài)的幾何圖形能夠把與幾何、代數(shù)相關(guān)的知識(shí)聯(lián)系起來(lái),其中蘊(yùn)含著動(dòng)靜結(jié)合、數(shù)形結(jié)合的思想方法,能夠在運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)展學(xué)生的空間想象能力,不斷提高學(xué)生綜合分析、解決問(wèn)題的能力.

在初中幾何教學(xué)中,與動(dòng)態(tài)圖形有關(guān)的問(wèn)題主要有以下幾類.

1 動(dòng)“點(diǎn)”類問(wèn)題

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)中最常見(jiàn)的題型,涉及面非常廣泛.解決動(dòng)點(diǎn)類問(wèn)題的思路是化動(dòng)為靜,以相對(duì)靜止的瞬間去尋求量與量之間的關(guān)系.

圖1

圖2

所以△A′EM≌△DEB′(ASA),則A′M=B′D=a,即AM=v1t=a.

思路與方法：本題考查矩形背景下的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,通過(guò)動(dòng)態(tài)圖形,將矩形的性質(zhì)、對(duì)稱性質(zhì)、中點(diǎn)性質(zhì)、三角形相似、全等的判定與性質(zhì)、勾股定理及翻折的運(yùn)動(dòng)形式等知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái).熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及三角形全等的判定定理,利用翻折及中點(diǎn)性質(zhì),根據(jù)三角形全等的性質(zhì)求出相應(yīng)線段的長(zhǎng)是解題的重要方法.

2 動(dòng)“線”類問(wèn)題

動(dòng)線類問(wèn)題的特點(diǎn)很明顯,動(dòng)線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能會(huì)出現(xiàn)多種情況,盡管情況不同,但解題的思路是一致的,那就是“以靜制動(dòng)”,通過(guò)特殊的靜止?fàn)顟B(tài)去尋找量之間的關(guān)系.

例2(2022年江蘇省鹽城市中考第14題)如圖3,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),使得點(diǎn)B落在邊CD上的點(diǎn)B′處,線段AB掃過(guò)的面積為_(kāi)_____.

圖3

解析：由AB=2BC=2,得BC=1,所以AD=BC=1.因?yàn)閷⒕€段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn),所以AB′=AB=2.

思路與方法：首先由動(dòng)線AB旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AB′=AB=2,再由銳角三角函數(shù)可求出∠DAB′=60°,進(jìn)而求出∠BAB′,最后根據(jù)扇形面積公式即可獲解.本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、扇形的面積公式、銳角三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)點(diǎn).會(huì)觀察和分析動(dòng)態(tài)圖形,靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3 動(dòng)“圖”類問(wèn)題

動(dòng)圖類問(wèn)題常常結(jié)合圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等變換,提出相關(guān)問(wèn)題.解題的思路主要是從尋找圖形運(yùn)動(dòng)的特殊情況中打開(kāi),進(jìn)而靈活運(yùn)用相關(guān)幾何知識(shí)(如平行四邊形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí)、銳角三角函數(shù)、直角三角形等)解決問(wèn)題.

圖4

在△AME中,根據(jù)勾股定理,可得

第二種情況:當(dāng)ED逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到EF時(shí),如圖5,作EM⊥AC交AC于點(diǎn)M.

圖5

在△AME中,根據(jù)勾股定理,可得

思路與方法：首先要考慮到圖形順、逆兩種旋轉(zhuǎn)情況,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知△DEF是等邊三角形,過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AC,又可證得△AEM是等腰直角三角形,再設(shè)DM=x,利用勾股定理便可求出x的值,最后利用勾股定理即可求出AE的長(zhǎng)度.本題考查了圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn).能夠根據(jù)題意,按照ED順時(shí)針旋轉(zhuǎn)與逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩種情況,分別畫(huà)出動(dòng)態(tài)圖形進(jìn)行分類解析是解題的關(guān)鍵.

綜上所述,解決動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題的基本思路是:把握運(yùn)動(dòng)規(guī)律,尋求運(yùn)動(dòng)中的特殊位置,在“動(dòng)”中求“靜”,在“靜”中探求“動(dòng)”的普遍規(guī)律.在具體解題過(guò)程中,要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形,把握?qǐng)D形運(yùn)動(dòng)與變化的全過(guò)程,找出其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系,并要特別關(guān)注一些不變量和不變關(guān)系或特殊關(guān)系.在解答動(dòng)態(tài)幾何類題型時(shí),經(jīng)常要用到數(shù)形結(jié)合思想、分類思想、轉(zhuǎn)化思想和方程思想等重要的思想方法.