活用基本圖形 解反比例考題

? 湖北省武漢市友誼路中學 李 斌

1 基本圖形及基本結論

圖1

證明：由圖1可知,四邊形OABD的面積S=S△AOC+S梯形ACDB.

從另一角度,四邊形OABD的面積S=S△AOB+S△BOD.而S△AOC=S△BOD,所以S△AOB=S梯形ACDB.

2 運用結論,簡潔明快

2.1 直接運用

圖2

分析：由于反比例函數的解析式已知,因此A,B兩點的坐標可求出,再直接運用本文的基本圖形即可求出△AOB的面積.

點評：本題融合一次函數與反比例函數圖象,運用它們各自的性質,結合函數與方程的思想及本文的基本結論進行解答,比較容易得出答案.

2.2 與比例線段貫通

圖3

分析：由BE∶BF=1∶3,想到分別過點E,F作x軸的平行線,利用線段成比例,用含某一字母的式子表示點E,F的坐標,再運用本文的基本結論可求出△EOF的面積.

解：如圖4,作EP垂直y軸于點P,EC垂直x軸于點C,FD垂直x軸于點D,FH垂直y軸于點H.

圖4

由本文的基本結論,得

點評：容易發現“基本結論”中的圖形隱藏在題目的圖形中,自然想到運用基本結論解題.解題的關鍵是如何作出輔助線,很好地用上兩條線段的比這個關鍵條件.

2.3 與等長線段相融

圖5

分析：由本文的基本結論知,要求△AOB的面積,只需求出點A,B的坐標.點B的坐標已知,且點B在反比例函數圖象上,則反比例函數解析式易求.由三角形相似求出點A的橫坐標,則點A的坐標就解決了.過點A作x軸的垂線,用比例線段解決之.

解：如圖6,過點A作AF垂直x軸于點F,過點B作BG垂直x軸于點G.設AF交BD于點E.

圖6

因為BD垂直于y軸,所以BD平行于x軸,則BD⊥AE.

結合本文基本結論,可知

點評：由等長線段OC=CA,構造相似三角形,并利用相似三角形的性質,結合點B的坐標求出點A的坐標,再利用本文的基本結論可輕松解決問題.

3 打破模式,靈活處理

圖7

解：如圖8,過點C作CE垂直于x軸,垂足為E.易知CE∥AB,而C是OA的中點,則CE是△OAB的中位線.

圖8

又點C,D都在反比例函數的圖象上,則

由S△OCD=9,C為OA中點,知S△OAD=2S△OCD=18,所以S△OAD=S△AOB-S△ODB=18.

點評：本題沒有求出C,D兩點坐標,也沒有將△OCD的面積轉化成直角梯形的面積.解題時,要根據題目特點,靈活運用適當的方法,既要掌握基本模型,又要及時打破模式化,不能僵硬照搬模式.

圖9

解：如圖10,過點C作CE⊥AO于點E,連接BE.

圖10

而|k|=xy=OE·CE=3a·4a=12a2=24,所以k=-24.

點評：本題所給的三角形與本文的基本圖形完全相同,但并未利用基本結論求解.解題時要根據具體題目的特征靈活運用,千萬不能硬套模式.

4 結束語

數學家懷特指出:“數學就是對模式的研究”.學習數學的重要方式就是:對生活實際進行提煉、總結,建立起數學模型,模仿數學模型,運用數學模型,并打破數學模式,再建新的數學模型,在不斷循環中逐步構建數學的學科體系,形成解決數學問題的能力.利用基本模型、基本結論是提高解題速度、提高思維能力的重要途徑,但千萬別讓“數學模型”變成“思維枷鎖”.我們應從不同的方面對問題進行全面思考,用多思來戰勝對“第一印象”的依賴.

在平時的解題基礎上,我們要立足題目的解答,深度思考,挖掘出簡單圖形的豐富內涵,建立聯系,進而借題發揮,通過各種圖形與知識的聯系,將綜合問題分解、簡化.教學中要關注核心知識,關注基本圖形,加強思維引導,將方法、技能落到實處.