有關(guān)相似三角形的動(dòng)點(diǎn)問題探究

? 甘肅省白銀市教育科學(xué)研究所 何麗君

在教學(xué)過程中,時(shí)常會(huì)遇到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)類問題.由于動(dòng)點(diǎn)處于不斷的運(yùn)動(dòng)中,教師講解時(shí)倍感壓力,而這類問題在練習(xí)與檢測(cè)中又經(jīng)常出現(xiàn).因此,研究點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題非常有必要.本文中以點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成相似三角形為切入點(diǎn),探究圖形中點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)問題的解決方法.

1 素養(yǎng)體現(xiàn)

動(dòng)點(diǎn)問題一方面綜合了諸多知識(shí)點(diǎn),另一方面對(duì)解決技巧有較高的要求.由此觀之,動(dòng)點(diǎn)問題通常體現(xiàn)以下素養(yǎng):

(1)畫圖能力,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.由于點(diǎn)是運(yùn)動(dòng)的,因此分析其運(yùn)動(dòng)情況就離不開畫圖.換言之,將運(yùn)動(dòng)情況用圖形表現(xiàn)出來,既是解決這類問題的首要環(huán)節(jié),也是數(shù)形結(jié)合的重要體現(xiàn)[1].

(2)問題分析能力,體現(xiàn)分類討論思想.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形成相似三角形后,往往存在多個(gè)符合題意的三角形,這就需要對(duì)每種情況進(jìn)行分類討論.

(3)符號(hào)化語言,體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想.根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況畫好圖后,需將相關(guān)的線段用代數(shù)式表示出來,有利于分析和解決問題,同時(shí)也是將文字語言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言的過程.

下面結(jié)合一道題加以說明:

例題如圖1,四邊形ABCD是一個(gè)長(zhǎng)為8 cm、寬為6 cm的矩形.在BC,DC上分別有動(dòng)點(diǎn)P,Q,點(diǎn)P的速度是2 cm/s,Q的速度是1 cm/s.現(xiàn)規(guī)定:點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也立即停止運(yùn)動(dòng).幾秒時(shí),以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?

圖1

本題出現(xiàn)了兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),運(yùn)動(dòng)的速度、方向等為分析動(dòng)點(diǎn)狀態(tài)提供了重要條件.那么,本題是如何體現(xiàn)上文中提到的素養(yǎng)的呢?

(1)通過動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況畫圖,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.由于P,Q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),線段PQ與BC或DC形成的夾角大小不同.考慮到△ABC是直角三角形,點(diǎn)P,Q在運(yùn)動(dòng)的過程中并不能改變∠PCQ為直角這個(gè)事實(shí),所以只需線段PQ與BC或DC形成的夾角中有一個(gè)與∠BAC相等即可.于是,可畫出圖2中的簡(jiǎn)圖:

圖2

(2)根據(jù)畫出的圖形,利用分類討論思想解決問題,體現(xiàn)了分類討論思想.從圖2可以看出,∠PQC和∠BAC相等、∠QPC和∠BAC相等是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)存在的兩種情況.

(3)根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況,將相關(guān)線段用代數(shù)式表示出來,并根據(jù)需要列方程解決問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想.在確定兩種情況后,接下來需進(jìn)行分析,而分析中的第一步就是根據(jù)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀況用代數(shù)式表示出相關(guān)線段.如下:

設(shè)ts時(shí),以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.

情況一:如圖2(1),有△ABC∽△Q1CP1,此時(shí)可知BP1=2t,CP1=8-2t,CQ1=t,DQ1=6-t.

情況二:如圖2(2),有△ABC∽△P2CQ2,此時(shí)可知BP2=2t,CP2=8-2t,CQ2=t,DQ2=6-t.

接下來,由相似三角形的性質(zhì)列出方程并解出t.最后,解決本題[2].

2 解法說明

既然點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的相似三角形問題蘊(yùn)含著如此豐富的素養(yǎng),那么這類問題具體應(yīng)如何解決呢?下面進(jìn)行說明:

首先,根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況畫出符合題意的圖形.由于∠ABC=∠PCQ=90°,根據(jù)相似三角形的判定,若△ABC和△PCQ相似,應(yīng)有以下兩種情況:

情況一:∠PQC=∠BAC,如圖2(1).

情況二:∠QPC=∠BAC,如圖2(2).

其次,分類討論并計(jì)算.根據(jù)以上兩種情況,分別利用相似三角形的性質(zhì)列方程.

本題的解決過程如下:

解：設(shè)ts時(shí),以C,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.根據(jù)題意,有以下兩種情況.

情況一:∠PQC=∠BAC,如圖2(1).此時(shí)易證得△ABC∽△Q1CP1.

情況二:∠QPC=∠BAC,如圖2(2).此時(shí)易證得△ABC∽△P2CQ2.

3 反思與啟示

本題是在已經(jīng)確定一組對(duì)應(yīng)角相等的情況下尋求另一組對(duì)應(yīng)相等的角.為了簡(jiǎn)化問題,將∠BAC設(shè)為參考對(duì)象,只需尋找∠PQC或∠QPC與之相等即可.最后,分析出了兩種不同的情況.

這種“先確定一個(gè)參考對(duì)象后尋找其他與之相等的角”的方法,對(duì)解決“因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題”有重要作用.如下面這道中考真題:

(2022·湖州)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,O是坐標(biāo)原點(diǎn),以P(1,1)為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和N,點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā),沿x軸正方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/s的速度運(yùn)動(dòng),連接PF,過點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts(t>0).

(1)若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上(如圖3所示),求證:PE=PF;

圖3

(2)在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)OE=a,OF=b,試用含a的代數(shù)式表示b;

(3)作點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)F′,經(jīng)過M,E和F′三點(diǎn)的拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)Q,連接QE.在點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過程中,是否存在某一時(shí)刻,使得以點(diǎn)Q,O,E為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)P,M,F為頂點(diǎn)的三角形相似?若存在,請(qǐng)直接寫出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

不難發(fā)現(xiàn),本題第(3)小題與例題類似,故“先確定一個(gè)參考對(duì)象后尋找其他與之相等的角”的方法的啟示在解決此小題時(shí)可發(fā)揮作用.因此,本題第(3)小題的解決思路簡(jiǎn)要分析如下:

首先,根據(jù)題意確定12兩種情況.然后,在每種情況中根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況,同時(shí)結(jié)合“先確定一個(gè)參考對(duì)象后尋找其他與之相等的角”的方法,得到12時(shí)△OEQ∽△MPF或△OEQ∽△MFP兩種情況,如圖5.最后,進(jìn)行分類討論和計(jì)算.

圖5

4 結(jié)語

綜上所述,圖形中的動(dòng)點(diǎn)雖然常令人眼花繚亂,但掌握其分析方法,就可以化繁為簡(jiǎn).本文中“先確定一個(gè)參考對(duì)象后尋找其他與之相等的角”的方法,適用于因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形、全等三角形等問題中,是解決這類問題一種行之有效的方法.作為教師,應(yīng)在講解中多滲透該種方法,直至學(xué)生能掌握并靈活應(yīng)用于問題解決中[3].