靈活運用“截長補短”法求證線段的和差關系
——一道中考題的多種解法及策略分析

? 黑龍江省集賢縣第七中學 周 影

“截長補短”法是求證線段的和差數量關系常用的一種方法.其中,輔助線的添加是關鍵.“截長”是指把一條長線段按照所需截成兩條較短線段,“補短”是把兩條不在同一直線上的線段通過延長一條較短線段的方式把兩條線段轉化到一條直線上,同時又在圖中構造了全等三角形、等腰三角形等.一般通過“截長”或“補短”得到的輔助線都會有一箭雙雕的效果.“截長補短”的方法滲透了轉化思想,有助于學生推理能力和幾何直觀等核心素養的培養.筆者以一道中考題為例詳細解析運用“截長補短”法解決問題的策略,不當之處,還請批評指正.

1 試題呈現

(2022年黑龍江省龍東地區中考第26題)△ABC和△ADE都是等邊三角形.

(1)將△ADE繞點A旋轉到圖1-1的位置時,連接BD,CE并延長相交于點P(點P與點A重合),有PA+PB=PC(或PA+PC=PB)成立(不需證明);

圖1-1

(2)將△ADE繞點A旋轉到圖1-2的位置時,連接BD,CE相交于點P,連接PA,猜想線段PA,PB,PC之間有怎樣的數量關系?并加以證明.

圖1-2

(3)將△ADE繞點A旋轉到圖1-3的位置時,連接BD,CE相交于點P,連接PA,猜想線段PA,PB,PC之間有怎樣的數量關系?直接寫出結論,不需要證明.

圖1-3

2 第(2)問的解題策略

這里只對第(2)問進行求解,具體策略如下:

“截長補短”法在證明線段的數量關系時,體現的是兩種思路.如欲證a=b+c,截長法是在較長的線段a上取點M,把線段a分成線段d與線段e,取點M時,使d=b,再證e=c即可,如圖2所示.補短法,則是通過把其中一條較短線段延長,使延長部分等于另外一條較短線段或者使線段延長后,等于較長的線段.如欲證a=b+c,可以把線段b延長,使延長的線段d=c,這樣就把線段b和c轉化到同一條線段上,證明線段b+d=a即可.或者延長線段b,使延長后的線段b+d=a,證明延長的線段d=c即可,如圖3所示.

圖2

圖3

3 試題解析

第(2)問的結論為PA+PC=PB;給出7種證法.

3.1 截長法

以圖1-2的證明為例,截長法的證明過程如下.

證法1：如圖4,在PB上截取BM=PC,連接AM.

圖4

在等邊三角形ABC和等邊三角形ADE中,有AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.

易證∠BAD=∠CAE,所以△BAD≌△CAE,則∠1=∠2.又BM=CP,則△BAM≌△CAP,得AM=AP,∠BAM=∠CAP.于是∠BAM+∠MAC=∠CAP+∠MAC,即∠BAC=∠MAP=60°,則△MAP是等邊三角形.所以PA=MP.故PB=PM+BM=PA+PC.

此種方法根據題中的已知條件和要證的結論,通過截取相等的線段構造全等三角形.如果在截取時使PM=PA,先證明△AMP是等邊三角形,再證明全等三角形也可以.詳細證法如下:

證法2：如圖5,在PB上截取PM=PA,連接AM.

圖5

作AI⊥BD,AH⊥CE,I與H分別為垂足.

易證△BAD≌△CAE.

所以∠1=∠2.

又∠3=∠4,所以∠CPB=∠CAB=60°,于是∠BPE=120°.又AI⊥BD,AH⊥CE,則AI=AH(全等三角形對應邊上的高相等),所以AP平分∠BPE,則∠BPA=60°.

又PM=PA,則△PMA是等邊三角形,所以AM=AP.

所以∠BAC=∠MAP=60°.

易得∠BAM=∠CAP,所以△BAM≌△CAP.

所以BM=PC,故PB=PM+BM=PA+PC.

在截長時,只要截取方式正確,輔助線可以通過多種方式構造,一般都可以得證,比如AM也可以通過作∠PAM=60°的方式出現,先證明△AMP是等邊三角形,和證法2相似.

另外,根據題中的條件,易證∠CPB=60°,線段PB也可以按下面的方式截取.

證法3：如圖6,在BP上截取PM=PC,連接CM.

圖6

易證△BAD≌△CAE,則∠1=∠2.又∠3=∠4,所以∠CPB=∠CAB=60°, 于是△CMP是等邊三角形.

所以CP=CM,∠MCP=∠BCA=60°,則∠MCB=∠PCA.又CB=CA,則△BCM≌△ACP,所以BM=PA.

故PB=BM+MP=PA+PC.

3.2 補短法

筆者以延長線段PC的方法作輔助線,證法如下.

證法4：如圖7,截取CM=PB,連接AM.

圖7

易證△BAD≌△CAE,則∠1=∠2.

又BA=CA,PB=CM,所以△BAP≌△CAM.

所以AP=AM,∠BAP=∠CAM.

易證∠PAM=∠BAC=60°,則△AMP是等邊三角形,可知PA=PM.

故PB=CM=PC+PM=PC+PA.

也可通過作角的方式作出這條輔助線,如下.

證法5：如圖8,作∠PAM=60°,交CE于點M.作AI⊥BD于點I,AH⊥CE于點H.

圖8

易證△BAD≌△CAE,則∠1=∠2.又∠3=∠4,所以∠CPB=∠CAB=60°,則∠BPE=120°.

又AI⊥BD,AH⊥CE,AI=AH(全等三角形對應邊上的高相等),所以AP平分∠BPE,則∠MPA=60°.

所以△PMA是等邊三角形,于是有PM=MA,∠PAM=∠CAB=60°.

所以∠CAM=∠BAP,易證△BAP≌△CAM.

故BP=CM=PC+PM=PC+PA.

點M也可以通過截取PM=PA得到,同證法5一樣,先證∠MPA=60°,得證△PMA是等邊三角形,接著證明△BAP≌△CAM,從而證出結論,證法略.

在延長線段CP時,也可以反向延長,如證法6.

證法6：如圖9,延長PC至點M,使PM=PB,連接BM.

圖9

易證∠CPB=∠CAB=60°.

所以△PMB是等邊三角形,則BM=BP.

所以∠MBP=∠CBA=60°.

易證∠MBC=∠PBA.

又根據CB=AB,易證△CMB≌△APB,所以CM=PA.

故PB=PM=PC+CM=PC+PA.

證法7：如圖10,延長PC至點M,使CM=PA,連接BM.

圖10

易證∠CPB=∠CAB=60°,所以∠BPE=120°.

又因為AI⊥BD于點I,AH⊥CE于點E,則AI=AH(全等三角形對應邊上的高相等),所以AP平分∠BPE,則∠BPA=60°.

所以∠CBA+∠CPA=180°.

所以∠BCP+∠BAP=180°.

又∠BCP+∠MCB=180°,則∠MCB=∠BAP.

又CM=PA,CB=AB,所以△CMB≌△APB,則BM=PB.

又∠CPB=60°,所以△PMB是等邊三角形,則PB=PM.

故PB=PM=PC+CM=PC+PA.

對于此題,也可以通過延長PA的方式作輔助線,其他的證明方法這里就不再贅述.

就這道題來說,無論是哪個方法,其證明思路都是通過“截長”或“補短”的方式將問題進行轉化,進而得以解決.可見,大多數學生對“截長補短”的證明思路不是很清晰,關鍵是綜合運用幾何知識進行推理的能力有所欠缺.這就要求教師應在教學中適當的節點精選教學內容進行專題訓練,幫助學生明晰“截長補短“法的思路,引導學生對一題展開多種解法的訓練,讓學生真正領會“截長補短”法的本質,深刻體會轉化的數學思想,發展推理能力和幾何直觀素養,促進數學學科核心素養的發展.