“學習進階”視域下的數學單元復習課模式探索
——以“勾股定理”的單元復習為例

? 江蘇省海安市紫石中學 彭 鵬

數學學習是一個螺旋上升、不斷進階的過程,學習者在各個學習階段有著不同的具體學情,也有著不同的學習目標.而“學習進階”理論作為一個教育學概念,則是基于學習者以上學習事實而提出的,倡導讓學習者的數學學習從低階走向高階、從模仿走向創新、從現象走向本質,以實現高階思維的培養和數學核心素養的發展,彰顯數學學科的育人價值[1].

單元復習課對于日常數學教學而言基礎且重要,原因在于其承載著梳理知識、完善結構、培養思維和發展素養等多重任務.然而一些教師為了完成教學任務,常常傾向于大容量、高難度和快節奏,這種教學模式以教師講、學生聽為主,難以調動學生復習的內驅力,弱化了知識的重建、結構體系的再構建及思想方法的再優化,無法讓數學學習走向高階.

事實上,復習課在實踐“學習進階”理論中具有較大優勢.下面筆者以“勾股定理”的單元復習為例,說明“學習進階”視域下的單元學習活動設計,以饗讀者.

1 “學習進階”下的課前思考

作為平面幾何中的重要定理之一,“勾股定理”不僅揭示了直角三角形三邊的數量關系,而且是滲透數形結合思想的有效載體.基于對新課標的分析,筆者認為本節課的進階起點大致如下:對勾股定理及其逆定理的內涵、相互關系有一定的認知基礎,并能解決一些簡單的實際問題.據此,教師可以圍繞進階起點設定進階目標[2].

當然,本節課的學習進階由于各種具體學情,存在如下障礙:(1)受到新課學習中諸多因素的影響,如時間緊導致勾股定理及其證明不夠充分,時間久導致定理證明的遺忘等,使得不少學生“只知其然”;(2)由于學生缺乏在復雜情境中探尋隱含關系的能力,使得本節課的學習進階困難重重;(3)學生思考和表達能力方面的欠缺,使得后續解決立體圖形表面“最短路徑”問題落入困頓的境地.同時,如何融通定理內涵與愛國情懷,培養學生的實踐能力和合作意識等都是本節課的難點.

2 “學習進階”理論下的教學設計

2.1 情境導入,融入學習

問題1圖1是聳立于薩摩斯島的畢達哥拉斯雕像,從中你能生成什么數學聯想?(課件呈現圖1,學生很快據圖抽象出“直角三角形”,并引出其性質等.)

圖1

設計意圖：通過數學史素材設計一個問題,一方面引領學生溫故知新,讓學生沿著知識臺階與思維起點探索,沿著精準進階路徑前行;另一方面,通過素材為后續勾股定理的進階認識打下伏筆.

2.2 自主檢測,進階起航

教師共出示五個習題(此處由于篇幅有限,具體習題略).

設計意圖：通過拾級而上的五個問題,考查定理本身及其幾何意義、逆定理的應用及勾股數,強調定理本身的內涵,綜合應用定理及其逆定理;通過“趙爽弦圖”證明定理,助力學生自主整理知識,完成自主梳理和思維進階.同時,教師在巡視中了解學生的進階起點,為學生后續的進階學習設計科學而適切的路徑.

2.3 踏梯而上,逐層進階

問題2如圖2,一根竹子原高一丈(等于10尺),一陣風來竹子折斷,竹稍恰好抵地,且抵地處距竹子底部6尺,試求折斷處距離地面的高度.(出自“折竹抵地”問題.)

圖2

問題3如圖3,已知一池塘的截面為正方形,其邊長10尺,池塘中央長著一棵蘆葦AB,高出水面的部分BC長1尺.若把AB沿著與水池邊垂直方向拉向岸邊,則該蘆葦頂部B剛好碰到岸邊的B′處,試求水深及蘆葦的高度.

圖3

問題4在圖4所示的直角三角形紙片ABC中,已知AC=6 cm,BC=8 cm.若將邊AD沿著AB折疊,使其落于斜邊AB上并與AE重合,求線段CD的長度.

圖4

問題5在圖5所示的長方形ABCD中,已知AB=16,BC=8.若沿著AC折疊矩形ABCD,使得點D與點E重合,且CE交AB于點F,求線段AF的長度.

圖5

問題6圖6所示的長方體木塊的長、寬、高分別為4 cm,3 cm和4 cm.已知一只蜘蛛藏匿于木塊的一頂點A處,一蒼蠅停在與蜘蛛相對的頂點B處.若蜘蛛想沿著最短的路線捕獲蒼蠅,則需沿著什么路線爬上去?最短路徑的長是多少?

圖6

設計意圖：在這一環節,教師以不同層次的多個問題進行引導,以例題與變式相結合的方式,逐級提升問題難度,讓學生通過自主探究、小組討論和合作交流分析與解決問題,培養數學思考、語言表達和數學探究能力,使思維品質與理性精神得到最大限度的發展.在學生解決問題6之后,教師繼續從“立體圖形表面最短路程”角度提出變式問題,如螞蟻爬圓柱表面、爬多級臺階等,讓學生充分想象和思辨,以發展直觀想象能力和數學思考能力.此處將勾股定理模型貫穿整個環節,使學生學習的積極性越發高漲,讓數學學習越發深入.

2.4 課堂小結,深化學習(略)

2.5 課后進階,升華課題

問題7“勾股定理”看似簡單,卻有著深刻的寓意,下面請大家從以下課題中選擇一個以小組合作的方式研究:

(1)“勾股定理”的歷史;

(2)整理“勾股定理”的證法(不少于8種).

問題8各小組圍繞如下話題試著制作一張專題手抄報:

(1)古今中外數學家研究勾股定理的有趣故事;

(2)具體介紹搜集的勾股定理驗證方法中的一種;

(3)以上課題學習中你的收獲與困惑.

設計意圖：本章節知識中囊括了豐富的德育元素,為教師的“立德樹人”價值追求提供了契機.在這一環節中,教師鼓勵學生以小組合作的形式展開研究性學習,更加深入地了解勾股定理的發展史和各種證法,并以手抄報的形式展示成果,水到渠成地培養學生的愛國情懷與科學精神.當然,由于課堂學習時間有限,本環節可以延伸到課后,使學生的深度學習不斷延伸開去.

3 幾點思考

3.1 以“立德樹人”為統領

數學知識是人類文明的產物,承載著各種思想與文化,一線教師需自覺將“立德樹人”的目標落實在具體的教學之中.在本課中,教師以“立德樹人”為統領,針對性地將其列為學生學習進階的延伸點,通過“一針見血”的設計與引導,提升數學復習課的育人價值,以文化力量厚植學生的愛國情懷,水到渠成地提升學生數學核心素養.

3.2 以“明暗相交的目標”為主線

數學學習需要落實知識技能與學科素養雙重層面的目標,這就需要教師基于這兩個層面分別設計“明暗相交”的進階目標,讓學生在漸次提升的問題情境中深度思考、探究和交流,最終實現學習的自然進階.在本節復習課中,教師的教學設計呈現多個水平層次,讓學生在低起點、高立意的數學探究進程中獲取數學知識技能,發展數學思維,提升數學素養[3].

3.3 以“問題鏈”為載體

數學復習課應以問題為紐帶,以知識的發展與思維的培養為主線,以師生、生生互動的形式形式提高學生學習的參與度,增強數學思維的層次性,提高復習課的質效.本課中教師基于學習進階目標精心選題改編,并以“問題鏈”為載體,引導學生獨立探索和互動研討,使學生的思考脈絡得到遞進式發展,促進數學素養的自然提升.