利用加速度瞬心分析剛體平面運動初瞬時問題

黃俊杰

(江蘇省海門中學,江蘇 南通 226100)

1 加速度瞬心

(1) 定義:[1]平面運動剛體,任一瞬時平面圖形上總有一點加速度為零,此點稱為加速度瞬心,記為Q.

圖1 剛體轉動示意圖

圖2 各點加速度分布圖

2 加速度瞬心在剛體平面運動初瞬時問題中的應用

一般情況下,剛體平面運動的角速度和角加速度不為零且未知,故加速度瞬心難以確定,但在某些特殊情況下,例如剛體平面運動初瞬時問題中,加速度瞬心則較為容易確定.

圖3 示意圖

以加速度瞬心Q為參考點,角動量定理的形式為MQ=JQβ,利用對加速度瞬心的角動量定理來分析剛體初瞬時問題是一種重要的方法.

例1.如圖4所示,將一根質量為m、長度為L的勻質細桿用兩根豎直細繩從兩端掛起來,桿與水平線的夾角為θ,現突然剪斷右邊細繩O2B,求此瞬時細繩O1A的張力是多大?

圖4 示意圖

研究剛體平面運動初瞬時問題的常規方法涉及到基點法的加速度合成、對質心的角動量定理、質心運動定理,加速度合成關系較為復雜,方程較多,計算量較大.利用對加速度瞬心的角動量定理則能夠快速得到角加速度,避免了復雜的加速度合成分析,使問題分析更加簡便.

例2.如圖5所示,將一根質量為m、長度為L的勻質桿AB用兩根細繩從兩端掛起來,細繩OA與桿AB垂直,細繩OA長度也為L,細繩OB豎直,桿B端恰好與光滑水平地面接觸,沒有擠壓.現突然剪斷細繩OB,求此瞬時細繩OA的張力T和地面的支持力N.

圖5 示意圖

解析:本題多了個約束,桿B端只能沿水平方向運動,剪斷細繩OB瞬間,受力分析如圖6所示,繩OA拉力為T,重力為mg,水平面支持力為N,桿順時針轉動角加速度為β.

圖6 受力分析圖

A點繞O轉動,則此時aA⊥OA,B點加速度aB水平向左,作aA和aB的垂線,相交于Q點,Q點為該瞬時桿AB轉動的加速度瞬心.由于OA⊥AB,此瞬時加速度瞬心Q點與O點重合.

利用加速度瞬心可快速求解桿轉動的角加速度,只需引入未知參量β、T、N、aC,再結合質心運動定理和對質心的角動量定理便可解決問題.

例3.如圖7所示的平面系統,勻質細桿AB重為G1=m1g,長為L,上端B靠在光滑的豎直墻壁上,下端A以鉸鏈和一勻質圓柱的中心相連,圓柱重為G2=m2g,半徑為R,放在粗糙的地面上,從圖示位置(θ=45°)由靜止開始做純滾動,求初瞬時A點的加速度、桿AB的角加速度β1和圓柱的角加速度β2.

圖7 示意圖

圖8 運動分析

此瞬時桿AB的加速度瞬心.

由桿對加速度瞬心Q的角動量定理

MQ=JQβ1得

(1)

對圓柱進行分析,如圖9所示,初瞬時,圓柱做純滾動,角速度為ω2=0,角加速度為β2,與地面接觸點D的速度vD=vA-ω2R=0,得到vA=ω2R,aA=β2R.初瞬時,ω2=0,D相對圓柱中心A的向心加速度anDA=0,相對切向加速度aτDA=β2R,方向與aA相反,則aD=aA+aτDA+anDA=0,D點是圓柱體初瞬時的加速度瞬心.

圖9 運動分析

列圓柱對加速度瞬心D的角動量定理MD=JDβ2得

(2)

加速度關系為

(3)

3 小結

本文介紹了加速度瞬心的概念、幾何位置特征及物理意義,以及在剛體平面運動初瞬時情況下加速度瞬心的簡易確定方法,并應用加速度瞬心的物理意義以及相對加速度瞬心的角動量定理分析了剛體平面運動初瞬時問題,可以看出應用加速度瞬心能夠避免復雜的加速度合成關系,快速得出剛體角加速度關系,加速度瞬心方法是分析剛體平面運動初瞬時問題的一種較為簡潔重要的思路.當然,在剛體平面運動一般過程中,由于角速度不為零,加速度瞬心很難確定,加速度瞬心方法也就失去了作用.