關于簡諧運動周期與機械波波速計算的教學思考
——基于中日高中物理教材的比較

張明碩 于 佳,2 黃致新 吳春曉,3

(1.華中師范大學物理科學與技術學院,湖北 武漢 430079; 2.華中科技大學附屬中學,湖北 武漢 430074;3.成都市第七中學,四川 成都 610041)

教材是學生獲取科學知識、掌握科學方法的直接來源,是教師提取教學內容、設計教學思路的重要基礎.在面對教學中的疑難問題時,綜合考量不同教材的內容來設計教學過程,或許就能夠尋求到突破疑難問題的方法.因此,本文選取我國廣泛使用的人教版高中物理教材[1]以及日本物理教師幾乎人手一本的高中物理教材《川勝教授的中學物理教案》[2]為研究對象,以簡諧運動周期與機械波波速的計算問題為例,展開了對比研究,并提出了相應的教學建議.

1 中日高中物理教材簡諧運動周期計算相關內容的研究

1.1 中國教材簡諧運動周期計算的內容梳理

在我國人教版教材中,涉及簡諧運動周期計算的內容分布在選擇性必修第1冊“機械振動”一章下的“簡諧運動的描述”和“單擺”兩節.

在“簡諧運動的描述”一節,教材首先給出了做簡諧運動的物體的位移x與運動時間t的關系,即正弦函數關系x=Asin(ωt+φ).隨后給出了周期的定義,即做簡諧運動的物體完成一次全振動所需要的時間,并根據正弦函數的規律,相位(ωt+φ)在每增加2π的過程中,函數值x循環變化一次,計算[ω(t+T)+φ]-(ωt+φ)=2π,解出ω=2π/T,可得T=2π/ω,其中ω叫作簡諧運動的“圓頻率”.在得到周期的計算方法之后,教材在“做一做”欄目給出了實驗“測量小球振動的周期”,定性地得出了結論,彈簧振子的振動周期與其振幅無關,并且說明所有簡諧運動的周期均與振幅無關.

在“單擺”一節,教材從回復力的角度證明了“在擺角很小的情況下單擺的運動可看成是簡諧運動”.

圖1 單擺的回復力

在數學教材中,[4]三角函數是利用圓來引入的.在簡諧運動中,ω叫作簡諧運動的“圓頻率”,大小不變;而在勻速圓周運動中,ω表示角速度,完成一次勻速圓周運動所需時間也可通過“T=2π/ω”進行計算.學生在此不禁會思考,為何簡諧運動周期的計算方法“T=2π/ω”在勻速圓周運動中同樣適用,換言之,簡諧運動與勻速圓周運動是否存在某種內在聯系呢?

在大學階段,可以利用簡諧運動的合成,得到結論“振動方向垂直、振幅相等、頻率相等,相位差為π/2的兩簡諧運動合成后的結果為勻速圓周運動”,從而說明簡諧運動是勻速圓周運動的分運動.

那么在中學階段,如何論證勻速圓周運動與簡諧運動的關系,又是否可以從勻速圓周運動求出簡諧運動周期的計算公式呢?

1.2 日本教材簡諧運動周期計算的內容梳理

在日本教材《川勝教授的中學物理教案》中,涉及簡諧運動周期計算的內容分布在第4章“振動與碰撞”下的第42講“簡諧運動的周期”和第43講“各種各樣的簡諧運動”之中.

在“簡諧運動的周期”一講,教材根據簡諧運動和勻速圓周運動的數學表達式,在數學上說明“簡諧運動是勻速圓周運動的投影”,隨后從勻速圓周運動出發,如圖2所示,展開了對簡諧運動周期公式的推導.

圖2 簡諧運動與勻速圓周運動的關系

F為向心力,r為運動半徑,θ為相位.向心力大小為mω2r,質點m在x軸上的投影相對于圓心O的位移x為rcosθ.

分析向心力在x軸方向上的分量,可得Fx=-mω2rcosθ,用常量K代替mω2,x代替rcosθ,則Fx=-Kx,負號表示向心力分量Fx方向與位移x方向相反.在回復力與位移的關系上,勻速圓周運動在x軸方向上的投影與簡諧運動一致,向心力分量Fx扮演了回復力的角色,K則為回復力系數.

在此需要向學生強調,正是“向心力分量Fx與位移x滿足做簡諧運動的物體所受回復力與位移的特點”這一事實,給 “簡諧運動是勻速圓周運動的投影”這一數學結論提供了物理支撐.

2 中日高中物理教材機械波波速計算相關內容的研究

2.1 中國教材機械波波速計算的內容梳理

為了計算機械波波速,就先需要理解什么是機械波,知道波的形成過程.

人教版教材將波定義為振動的傳播,而機械波是指機械振動在繩、水、空氣等介質中傳播而形成的波.

教材以繩上的橫波為例,展示了波的形成過程.設想把一條繩子分成一個個相連的質點,質點之間存在著彈性力.當手握繩端上下振動時,繩端帶動相鄰的質點上下振動,這個質點又帶動更遠一些的質點,以此類推繩子上的質點都跟著振動起來,繩端振動的狀態也就沿著繩子這一介質傳播開來,整體上形成了凹凸相間的波形.

結合具體的時刻分析,如圖3所示,質點P0上下振動,依次牽動其余質點振動.在t=T/4時刻,質點P0向上到達了最高點,P2剛要開始運動.質點P0到達最高點后又開始下落,當t=T/2時,它又回到平衡位置,而這時P2剛剛到達最高點,質點P4則剛要開始運動,以此類推可以得到3T/4、T時刻各質點的位置及波的形狀.

圖3 繩上橫波的形成

在對各時刻質點振動狀態的分析中,其實已經隱含了波傳播距離和傳播所需時間的信息.根據波形圖可知,在T時刻,質點P0與P8的振動狀態相同,都是即將向上振動,那么波長就是質點P0與P8之間的距離.換言之,經過一個周期T,P0的振動狀態在繩上傳播了一個波長λ的距離到達了P8,波傳播的速度即為v=λ/T.隨后,教材說明“機械波在介質中的傳播速度由介質本身的性質決定”,在不同的介質中,波速是不同的,并指出聲速還與溫度有關.

通過以上梳理可見,人教版教材給出了波速的計算方法v=λ/T.關于波速的影響因素,教材指出聲波波速與溫度有關,而對于其他類型的機械波的波速,教材則較為籠統地用“由介質本身的性質決定”進行了概括.

根據人教版教材的內容展開教學,學生能夠利用v=λ/T計算出波速,但也會疑惑波速的影響因素到底有哪些;知道“組成介質的質點之間有相互作用,一個質點的振動會引起相鄰質點的振動”,所以可能會提出猜想,認為波速與介質上質點間的相互作用也就是力有關,但不能給出清晰的解釋,也難以推導出相關的波速公式.

關于機械波波速的影響因素,以圖3所示的繩上的簡諧波為例,根據大學階段的物理知識,可利用簡諧波的運動學方程y(x,t)=Acosk(vt-x),分別求方程對時間t和對坐標x的二階偏導數,整理得到波動方程

(1)

拉緊的繩上存在張力,結合牛頓第二定律與極限思想,[5]可以推導出波動方程的另一種形式,即

(2)

其中F為繩上張力的大小,ρ為繩的線密度.

2.2 日本教材機械波波速計算的內容梳理

日本教材也將波定義為運動狀態的傳播,并指出波的傳播需要介質.關于波的產生機制,日本教材也是從介質之間的相互作用展開論述的.如圖4所示,給予靜止的彈簧一個擾動,箭頭方向為質點所受回復力的方向,A點即將向下運動,B點與C點向上運動,隨后帶動D點與E點運動,以此類推,各質點依次運動,也就形成了波.

圖4 彈簧上的擾動

解釋了波的傳播過程之后,教材開始求解繩波的波速.如圖5所示,原本靜止的繩,繩的一端以一定的速度u向上運動一段很小的時間t,波的傳播速度為v,經過時間t波傳播到了B點,AB段繩的線密度為ρ,在A點,繩與地面夾角為θ,繩子上的張力為T.

圖5 繩波的波速

AB段的質量為ρ(vt),AB段上各質點獲得的速度為u,受力的沖量為Ft,根據動量定理,可知

Ft=ρ(vt)u.

(3)

此時,以質點A為受力對象,當θ很小時,水平方向的合力為T-Tcosθ=0,豎直方向的合力為Tsinθ=Ttanθ.從圖中我們可以看出,tanθ=ut/(vt).結合以上分析可以得出,AB段所受合力為

(4)

3 教學啟示

3.1 注重前后知識的關聯

因此,在教學時應注重對各知識點之間關系的把握.結合前后所學內容,推動學生將較為分散的知識點轉化為較為完善的物理觀念,深化學生對物理概念的理解.

3.2 聚焦物理公式的本質

因此,教學要聚焦物理公式的本質含義.在分析具體的物理實例時,應從物理本質出發,進行演繹推理,以此實現物理公式在不同物理情景下的遷移應用.

3.3 滲透大中銜接的內容

因此,中學物理教學要關注大學物理與中學物理的銜接問題.[6]大學物理與中學物理并不是完全平行與割裂的,在本文公式的推導過程中,大學物理既有大學階段的新方法,也有中學物理的舊知識.在教學中尋求合適的教學內容,在中學物理的范疇得出大學物理的結論,既是對中學物理教學的深化,也是對學生在大學階段的物理學習進行的預熱,有利于學生實現從中學物理到大學物理的平穩過渡與順利進階.

4 結語

對比分析不同國家的教材,可以開闊教學視野,[7]拓展教學思路,豐富教學資源.關于如何計算簡諧運動周期與機械波波速,中日教材給出了不盡相同的思路與方法.面對學生的疑問,教師可以綜合考量兩國教材的內容,闡明物理知識之間的聯系,把握計算公式的物理本質,滲透與大學物理的銜接內容,結合學生的認知情況設計合適的教學方案,切實解答學生疑惑,滿足學生求知欲望,激發學生探索物質世界的興趣.