從2023年高考談滑塊木板模型問題備考建議
——以2023年山東高考卷壓軸題為例

王金兵

(江蘇省南通市天星湖中學(xué),江蘇 南通 226010)

滑塊-木板模型涉及多個物體多個過程,知識綜合性強,涉及相對運動、臨界力、極值問題、摩擦力的分析、摩擦生熱、動量以及往返運動,是高考物理的難點,有助于實現(xiàn)對人才的選拔,體現(xiàn)試卷的區(qū)分度,頻現(xiàn)于高考試卷中.分析2023年高考試卷發(fā)現(xiàn)有5省在壓軸題中考了此模型,考查了力與運動,功與能綜合分析能力,對動量守恒定律、功能關(guān)系、能量守恒定律的應(yīng)用做了較全面的考查.本文對2023年5省高考壓軸題中滑塊-木板模型的考查情境進行分析,以2023年山東卷壓軸題為例進行解析,歸類總結(jié),拓展提升,并對后期高三復(fù)習(xí)提出啟示.

1 2023年滑塊-木板模型高考考情分析

對2023年高考試卷分析發(fā)現(xiàn),全國有5個省份的試卷對滑塊-木板模型進行了考查,分別是山東卷18題、遼寧卷15題、湖南卷15題、海南卷18題、全國乙卷12題.

共同之處:都考查了力學(xué)的牛頓運動規(guī)律、能量規(guī)律(動能定理或能量守恒)、動量規(guī)律(動量守恒定律或動量定理),都涉及到多過程運動、碰撞等.

不同之處:從模型建構(gòu)上分析,海南、湖南、山東3省卷模型是圓弧,遼寧、山東卷直接運用板塊(遼寧卷是板塊上下疊放、山東卷是平行放置).而全國乙卷相對其他4卷有較大的不同:將水平運動改為豎直運動,充分體現(xiàn)了命題的創(chuàng)新意圖.海南、遼寧、山東3卷都在右側(cè)設(shè)置擋板.詳情如表1所示.

表1 2023年全國5套高考卷中滑塊-木板模型考查情況

2 2023年滑塊木板模型例題分析

例1(2023年山東高考物理卷第18題).如圖1所示,物塊A和木板B置于水平地面上,固定光滑弧形軌道末端與B的上表面所在平面相切,豎直擋板P固定在地面上.作用在A上的水平外力使A與B以相同速度v0向右做勻速直線運動.當(dāng)B的左端經(jīng)過軌道末端時,從弧形軌道某處無初速度下滑的滑塊C恰好到達最低點,并以水平速度v滑上B的上表面,同時撤掉外力,此時B右端與P板的距離為s.已知v0=1 m/s,v=4 m/s,mA=mC=1 kg,mB=2 kg,A與地面間無摩擦,B與地面間動摩擦因數(shù)μ1=0.1,C與B間動摩擦因數(shù)μ2=0.5,B足夠長,使得C不會從B上滑下.B與P、A的碰撞均為彈性碰撞,不計碰撞時間,取重力加速度大小g=10 m/s2.

圖1 示意圖

(1) 求C下滑的高度H;

(2) 與P碰撞前,若B與C能達到共速,且A、B未發(fā)生碰撞,求s的范圍;

(3) 若s=0.48 m,求B與P碰撞前,摩擦力對C做的功W;

(4) 若s=0.48 m,自C滑上B開始至A、B、C 3個物體都達到平衡狀態(tài),求這3個物體總動量的變化量Δp的大小.

設(shè)計意圖:本題通過創(chuàng)設(shè)滑塊-木板情境來考查動能定理、牛頓第二定律、運動學(xué)公式、彈性碰撞、動量守恒等規(guī)律,是一道力學(xué)綜合題.過程多、對象多、情境多,有利于考查學(xué)生的思維能力,達到選拔人才的目的,提高試卷的區(qū)分度.通過對物體的下滑過程分析來考查動能定理.通過滑塊C在木板B上的滑動來考查牛頓運動定律和運動學(xué)公式.通過碰撞之后B與A的相互作用,來考查動量守恒、彈性碰撞.需要考生對每個階段的過程認(rèn)真分析,弄清受力情況以及相對運動,各個突破,分析清楚,每個小過程難度并不大,能夠有效對學(xué)生的思維能力、情境分析能力進行考查,從而實現(xiàn)對考生物理學(xué)科關(guān)鍵能力的考查目標(biāo),提升核心素養(yǎng).

分析:(1) 物塊C下滑過程,根據(jù)動能定理求解下滑高度.

(2) 與P碰撞前,若B與C能達到共速,且A、B未發(fā)生碰撞,則s最小.B與C剛好共速瞬間恰好與P碰撞,s最大.A、B發(fā)生碰撞瞬間,B與P發(fā)生碰撞;滑塊C滑上B時,C的速度大于B的速度,C做勻減速直線運動,B做勻加速直線運動,B、C共速后,一起做勻減速直線運動,根據(jù)牛頓第二定律求解加速度,根據(jù)運動學(xué)公式列式求解即可.

(3) B與P碰撞時,滑塊C與木板B沒有共速,根據(jù)運動學(xué)公式求解時間和C的位移,根據(jù)做功公式求解摩擦力對C做功.

(4) B與P碰撞前,B做勻加速運動,C做勻減速運動.發(fā)生彈性碰撞后,B以原速率反彈,B向左做勻減速運動,C向右做勻加速運動,B與A做相向運動.A與B相遇時發(fā)生彈性碰撞,根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律求解碰撞后A和B的速度,進而判斷A、B、C的運動情況,當(dāng)3個物體都達到平衡狀態(tài)時,A做勻速直線運動,B和C靜止,根據(jù)動量公式列式求解即可.

(2) 滑塊C剛滑上B時,C受到水平向左的摩擦力,f2=μ2mCg.

木板B受到C的摩擦力水平向右,

f2′=μ2mCg.

B受到地面的摩擦力水平向左,

f1=μ1(mC+mB)g.

所以滑塊C的加速度為

木板B的加速度為

設(shè)經(jīng)過時間t1,B和C共速,有

4-5×t1=1+1×t1,代入數(shù)據(jù)解得t1=0.5 s.

木板B的位移為

共同的速度為

v共1=(1+1×0.5)m/s=1.5 m/s.

此后B和C共同減速,加速度大小為

此時B的位移為

綜上可知滿足條件的s范圍為

0.625 m≤s≤1.707 m.

滑塊C在這段時間的位移為

所以摩擦力對C做的功為

W=-f2sC=-μ2mCgsC=-6 J.

(4) 因為木板B足夠長,最后的狀態(tài)一定會是C與B靜止,物塊A向左勻速運動.木板B向右運動0.48 m時,有vB0=(1+1×0.4) m/s=1.4 m/s,vC0=(4-5×0.4) m/s=2 m/s,sA=(1×0.4) m=0.4 m.

此時A、B之間的距離為

s=0.48 m-0.4 m=0.08 m.

整個過程動量的變化量為Δp=p末-p初=-9.02 kg·m/s,即大小為9.02 kg·m/s.

3.1 拉力水平作用于木塊或木板

(1) 水平拉力作用在滑塊上.

如圖2所示,水平拉力作用在滑塊上,共同靜止的條件為F<μ2(m1+m2)g,Ff1=F.

圖2 示意圖

共同加速條件為

(2)水平拉力作用在木板上.

如圖3所示,水平拉力作用在木板上,共同靜止的條件為F<μ2(m1+m2)g,Ff1=0.

圖3 示意圖

共同加速條件為a2≤a1max,m1最大加速度為a1max=μ1g.

μ2(m1+m2)g

分離條件為a2>a1max=μ1g,即

F>(μ1+μ2)(m1+m2)g.

3.2 木塊有較大的初速度帶著木板運動(無水平外力)

情形1(如圖4所示):μ2(m1+m2)g≤μ1m1g.

圖4 示意圖

情形2(如圖5所示):μ2(m1+m2)g>μ1m1g.

圖5 示意圖

情境1:木板不動,m1以加速度a1=μ1g做勻減速直線運動,直到速度減為0.

3.3 不同非水平外力沿不同方向作用在木板或滑塊上

此類問題涉及到臨界問題,需要列出拉力F的函數(shù)表達式,然后運用數(shù)學(xué)知識討論F的極值(設(shè)木板剛好相對地面滑動時的臨界拉力為F1,木板與滑塊剛好相對運動時的臨界拉力為F2).當(dāng)拉力F≤F1時,系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài);當(dāng)拉力滿足條件F1F2時,滑塊和木板發(fā)生了相對運動,且兩者均做加速運動,物塊加速度增加得更快.因篇幅所限,此處不再贅述.

4.1 科學(xué)建模 選好對象 用好規(guī)律

如圖6所示,先通過閱讀題目情境進行模型建構(gòu),確定滑塊-木板模型.對滑塊和木板分別進行受力分析,明確它們的運動狀態(tài).判斷兩者是否存在相對運動,從運動學(xué)條件和力學(xué)條件兩個方面考慮滑塊和木板發(fā)生相對運動的臨界條件.運動學(xué)方面,如果兩者不能相對靜止或者不能具有共同的加速度,則發(fā)生相對運動.力學(xué)方面,用整體法算出共同加速度,然后對其中一個物體進行隔離算出摩擦力,比較所求的摩擦力和最大靜摩擦力的關(guān)系.如果摩擦力大于最大靜摩擦力,則兩者發(fā)生相對滑動,否則兩者相對靜止.依據(jù)牛頓第二定律,在受力分析的前提下,求出各自的加速度.從位移關(guān)系或者速度關(guān)系方面對滑塊和木板進行分析,列出方程,聯(lián)立方程組求解,求出滑塊和木板相對地面的位移,畫出位移關(guān)系圖.假如兩者能夠達到共同速度,根據(jù)運動學(xué)公式或者動量觀點求出時間,分析滑塊離開木板的臨界條件,當(dāng)木板的長度一定時,滑塊恰好到達木板的邊緣,且兩者剛好相對靜止,這是滑塊離開木板的臨界條件.

圖6 滑塊-木板模型建構(gòu)

4.2 整合試題 變式拓展 提升效率

滑塊-木板模型可以從多方面進行變式拓展,例如運動平面的拓展、運動對象的拓展、碰撞方向方面的拓展.在運動平面方面:2023年山東卷壓軸題是在水平面上的物塊、木板之間的相互作用問題;2023年湖南卷壓軸題是在圓弧上滑塊的運動問題,涉及到動量守恒問題以及重力勢能的變化,另外小球在凹槽所在的橢圓上,又考查了數(shù)學(xué)知識中的橢圓方程,體現(xiàn)學(xué)科跨界融合,有利于選拔理科思維能力強的人才.運動對象方面:山東卷壓軸題是兩個滑塊與木板之間的作用,可以增加彈簧,討論滑塊與彈簧的相互作用;2023年遼寧卷第15題對此進行了考查,增加了對彈簧壓縮,從而涉及到彈性勢能問題以及彈簧彈力變化問題.碰撞方向方面:山東卷是在水平方向上,可以拓展到豎直方向的相互作用;2023全國乙卷12題就研究在豎直方向的碰撞問題,情境讓人耳目一新,但實質(zhì)仍然是滑塊-木板模型.從2023年考查的情況分析,教師可在高三復(fù)習(xí)時對典型試題進行有效整合,巧妙進行變式訓(xùn)練,多方面進行拓展.通過一種情境創(chuàng)設(shè)相關(guān)情境的一系列問題,盡可能多地進行新情境的創(chuàng)設(shè),讓考生在拿到高考卷時不會因為新情境的生疏而怯場.

4.3 突破難點 弄清關(guān)系 水到渠成

難點在于首先要判斷滑塊和木板之間是否存在相對運動.可以先假設(shè)滑塊和木板相對靜止,用整體法和隔離法求出加速度和它們之間的靜摩擦力;然后把靜摩擦力與最大靜摩擦力進行比較,如果所求的摩擦力小于或等于最大靜摩擦力,那么滑塊和木板將相對靜止,否則滑塊和木板就會有相對運動.相對靜止的兩個物體具有相同的速度,根據(jù)木板的長度以及所求的滑塊和木板的位移關(guān)系,畫出位移情景圖.必要時可以借助v-t圖像進行輔助判斷.滑塊和木板兩者的速度相等,是發(fā)生運動狀態(tài)變化的重要臨界條件.滑塊-木板模型是物理學(xué)中的重要模型之一.兩者的動摩擦因數(shù)、質(zhì)量、位移等關(guān)系將影響兩者的運動情況.另外所受的外力大小與方向、作用的對象等多個因素將影響運動情境.在不同的條件下,滑塊-木板運動的狀態(tài)可能不同.在復(fù)習(xí)時必須要在弄清題目的基礎(chǔ)上再下筆,磨刀不誤砍柴工.把握以上關(guān)鍵要點才能水到渠成.

滑塊木板模型是高考命題的熱點問題,也是高三平時教學(xué)中的難點和重點.在高三復(fù)習(xí)時,要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會分析兩者速度關(guān)系、位移關(guān)系.抓好臨界力,運用數(shù)學(xué)上的極值問題進行相關(guān)討論.畫出有關(guān)位移圖像和速度圖像來輔助解題,把握好相關(guān)的技巧與方法,達到事半功倍的效果.