“化線為點”解決“隊列問題”

孫愛麗

人教版義務(wù)教育課程標準試驗教科書七年級數(shù)學上冊第三章第二節(jié)課后“拓展探索”中有這樣一個題：一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長300米的隧道需要20秒的時間，隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10秒。根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能否求出火車的長度？若能，火車的長度是多少？若不能，請說明理由。

本題給出的條件看似和火車的長度沒有關(guān)系，所以實際教學中很多學生不知如何下手。但我們都知道這一問題屬于“行程”類問題，只不過因為運動物體本身有長度，和一般的動點問題不一樣罷了，筆者暫且給這類問題起個名字叫“隊列問題”。那么這類問題該如何解決？筆者總結(jié)了一種“隱含條件是身長，化線為點算路程”的方法，和同行們共同交流。

對于課本中的這道題，條件中有時間，有路程，可歸類為行程問題，于是我們考慮用公式：路程=速度×時間。因為問題中出現(xiàn)兩個時間和一個路程，可以考慮用速度相等作為等量關(guān)系列方程，但題中還缺少一個“路程”條件。仔細審題，發(fā)現(xiàn)題中有這樣一條信息：隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10秒。由此可知，從車頭在燈的正下方時刻算起，到火車完全經(jīng)過燈，火車走過的路程是一個車身長，時間是燈光照在火車上的時間10秒，所以如果設(shè)火車車身長為x米，那么火車的速度是[x10]米/小時。

另外，因為火車有長度，所以火車穿過隧道所走的路程，我們以車頭這一點為參照，通過畫線段圖來分析火車經(jīng)過的實際路程，它不是“隧道長”而是“隧道長＋車身長”，由此得到火車的速度是[300+x10]千米/小時。于是得方程：[x10]=[300+x10]

線段圖如圖1所示，

從這一問題的解決，我們發(fā)現(xiàn)“車身的長度”是這個問題的難點，也是解決這一問題的突破點。正是因為運動物體有了長度，所以它經(jīng)過的實際路程容易讓人弄錯，這里如果我們在被研究對象上選一點作為參照（如火車頭），那么問題由線變?yōu)辄c，根據(jù)物體運動的情況畫出線段圖，我們就容易推出它實際經(jīng)過的路程應(yīng)包含一個車身長，于是難點也就解決了。

下面我就通過一個例題進一步說明“隊列問題”中實際路程的推導方法。

某橋長1200米，現(xiàn)有一列勻速行駛的火車從橋上通過，測得火車從上橋到完全過橋共用了50秒，而整個火車在橋上的時間是30秒，求火車的長度和速度。

分析? 火車“完全過橋”和“完全在橋上”是兩種不同的情況，我們?nèi)赃x車頭（點A）作為參照點，火車走過的路程就是點A運動的路程，可借助線段圖。

（1）火車從“上橋”到“完全過橋”（如圖2），此時火車走的路程是橋長＋車長。

（2）火車“完全在橋上”（如圖3），此時火車走的路程是橋長-車身長。由于火車是勻速行駛的，所以本題的等量關(guān)系是火車從上橋到完全過橋的速度=整個火車在橋上的速度。

設(shè)火車的長度為x米，則有[1200+x50=1200-x30]，根據(jù)身長即可求得火車速度。

上面這一問題中涉及兩個長度（橋長和車身長），但其中一個長度（橋長）是不動的。如果問題中出現(xiàn)的兩個長度都在變，情況又會如何呢？我們一起來看下面這個問題。

一列客車長200 m，一列貨車長280m，在平行的軌道上相向行駛，從兩車頭相遇到兩車尾相離經(jīng)過16秒，已知客車與貨車的速度之比是3∶2，問兩車每秒各行駛多少米？

分析? 這個問題中涉及了兩個車長，而且兩個車都在動，給路程的計算帶來一定的困難。我們可以用兩只筆模擬現(xiàn)場，并畫出線段圖，如圖4是兩車相遇，分別取車頭為參照物，圖5是兩車車尾相遇，可見，兩車頭經(jīng)過的路程恰好是兩個車身長之和。

于是，得到等量關(guān)系：

客車的路程＋貨車的路程=客車長＋貨車長

設(shè)客車的速度為3x米/秒，貨車的速度為2x米/秒，

可得，16（3x＋2x）=200＋280

有時候，題目會創(chuàng)設(shè)多個運動物體，解決的方法類似，只要把握住“化線為點”的原則，就可以迎刃而解，下面我們看一道這樣的問題。

與鐵路平行的一條公路上有一行人與騎自行車的人同時向南行進，其中，行人的速度是每小時3.6km，騎自行車的人的速度是每小時10.8km。如果一列火車從他們背后開來，它通過行人的時間是22秒，通過騎自行車人的時間是26秒。求這列火車的身長是多少米。

分析? 這一問題中有三個運動物體，但只有火車需考慮長度，我們以車頭為參照點，可以分析出：火車通過行人或騎自行車人可看成追擊問題，對應(yīng)有：

車頭運動的路程-行人的路程=一個車身長

車頭運動的路程-騎自行車人的運動路程=一個車身長

等量關(guān)系為：車身長=車身長

即火車行的路程-行人的路程=火車行的路程-騎自行車人的路程=火車長

于是，進行單位換算3.6千米/小時=1米/秒，10.8千米/小時=3米/秒，

設(shè)火車的速度為x千米/時，則可列方程

22x-22×1=26x-26×3

綜上，我們可以發(fā)現(xiàn)“隊列問題”是“行程問題”中的一類，其中往往以運動物體的身長作為隱含條件，物體的運動路程涉及到身長，而要辨別實際路程只要用“化線為點”就可以了。