巧用反比例函數的幾個結論

孫乾

有些初中生對于函數的學習一直是比較困惑的，反比例函數看似簡單，實際上卻不是那么容易，特別是與圖像的結合，在學習過程中掌握幾個結論有助于提高學生學習興趣和解題能力。

一、雙曲線與正比例函數圖像的兩個交點關于原點對稱

結論1? 如圖1，雙曲線y＝[kx]（k≠0）與直線y＝mx（m≠0）相交于A、B兩點，則A、B關于原點對稱。

證明 1? 反比例函數的圖像是中心對稱圖形，正比例函數圖像是一條直線，也可看成是中心對稱圖形，對稱中心是原點，所以兩個交點一定關于原點對稱。

證明2? 雙曲線y＝[kx]（k≠0）與直線y＝mx（m≠0）相交于A、B兩點，則聯立解方程組得，

A（[km]，[mkm]），B（[-km]，[-mkm]）

∴ A、B關于原點對稱。

說明? 本題把k，m都按正數考慮的，如果k，m為負數道理一樣。

練習

1.正比例函數y＝mx和反比例函數y＝[kx]的一個交點為（1，2），則另一個交點是 ? 。

答案 （-1，-2）

2.如圖2，反比例函數y＝[kx]（k＜0）的圖像與經過原點的直線相交于A、B兩點，已知A點坐標為（-2，1），那么B點的坐標為 ? ? 。

答案? ? （2，-1）

特別提醒? 如圖3所示，一次函數y＝kx-3（k≠0）與y＝[mx]（m≠0）的圖像相交于點A（-2，3），B兩點，則B點坐標為 ? ? 。

本題中直線AB不是正比例函數圖像，所以，A、B兩點沒有關于原點對稱，只能通過解方程組而得到B點坐標（1，-6）。

二、面積轉化

結論2? ?如圖4，點A在反比例函數y＝[1x]的圖像上，CD⊥y軸，垂足為D，AB，CO相交于點P，則

①S△APO ＝S四邊形BDCP ；②S△ACO＝S梯形BDCA

證明 ∵ SRt△ABO ＝ SRt△CDO ＝ [12k]

∴ SRt△ABO－SRt△PBO ＝ SRt△CDO－SRt△PBO

∴ S△APO ＝S四邊形BDCP，即①成立

∴ S△APO＋S△APC ＝S四邊形BDCP＋S△APC

∴ S△ACO＝S梯形BDCA，即②成立

例1? （2015年眉山）如圖5，A、B是雙曲線y＝[kx]上的兩點，過A點作AC⊥x軸，交OB于D點，垂足為C。若△ADO的面積為1，D為OB的中點，則k的值為（）。

A. [43] B. [83] C. 3 D. 4

分析? 過點B作BE⊥x軸于點E，由結論2結論可知S△ADO ＝S四邊形BDCE，根據D為OB的中點可知，CD是△OBE的中位線，再由△ODC∽△OBE，其相似比是[12]，利用相似三角形面積比是相似比的平方構造方程，面積為1求出k的值，即可得出結論。

解? 過點B作BE⊥x軸于點E，

∵ D為OB的中點

∴ CD是△OBE的中位線，即CD＝[12]BE

∴ △ODC∽△OBE，其相似比是[12]

∴ S△ODC ∶S△OBE＝1∶4

∵ S△ADO ＝1

∴ S四邊形BDCE＝1

∵ S△BOE＝[12k=12]k

∴（[12]k－1）∶（[12]k）＝1∶4， 解得k＝[83]

故答案選B。

練習 （2019年沈陽）如圖6，正比例函數y1＝k1x的圖像與反比例函數y2＝[k2x]（x＞0）的圖像相交于點A（[3]，2[3]），點B是反比例函數圖像上一點，它的橫坐標是3，連接OB，AB，則△AOB的面積是 。

分析? ?可以分別過A、B兩點向x軸作垂線，把求三角形面積轉換為求梯形面積，直接用梯形面積公式計算，答案為2[3]。

三、相似轉化

結論3? ?如圖7所示，一次函數和反比例函數相交于B、C兩點，和兩坐標軸分別相交于D、A兩點，則AB＝CD。

證明? 如圖8所示，過點B、C分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別是E、F、G、H，BE CH交于點M。

由k的幾何意義知，

S四邊形BEOF＝S四邊形CGOH＝k

∴ S四邊形BMHF＝S四邊形CGEM

∴ HM·BM ＝EM·MC

∴[HMMC=EMBM]

又∵ ∠HME＝∠CMB

∴ △HEM∽△CBM

∴ ∠EHM＝∠BCM

∴ HE∥BC

又∵ BE∥AH，HC∥ED

∴ 四邊形ABEF、四邊形CDEH都是平行四邊形，

∴ AB＝EH，CD＝EH

∴ AB＝CD

例2? 如圖9所示，在平面直角坐標系中，Rt△AOB的邊OA在y軸上，邊OB在x軸上，反比例函數y＝[kx]（k≠0）與斜邊AB交于點C、D，連接OD，如果AC∶CD＝2∶3，S△OBD＝[72]，則k的值為（）。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

分析? 如圖10，過點D作DE⊥x軸，垂足為E，只要求出△ODE的面積即可。

解? 由上圖結論知AC＝BD，

∵ AC∶CD＝2∶3

∴ AC∶CD∶DB＝2∶3∶2

∴ BD∶BA＝2∶7

∵ DE∥AO

∴BE∶BO＝BD∶BA＝2∶7

∴ BE∶EO＝2∶5

∴ S△DBE ∶S△DEO＝2∶5

∴ S△DEO＝[57]S△OBD＝[57]×[72]＝[52]

∴ k＝5