環境溫度對混凝土梁式橋頻率的影響研究

賀文宇 ，周磊 ，李志東 ，賀佳 ，戶東陽

（1.合肥工業大學 土木與水利工程學院，安徽 合肥 230009；2.湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082；3.中鐵二院昆明勘察設計研究院有限責任公司，云南 昆明 650200）

頻率是橋梁的重要動力特性之一，由于其具有測量方便和精度高等優點，被廣泛應用于損傷識別［1-3］.Cawley 等［4］采用損傷前后任意兩階頻率變化的比值識別結構單處損傷.Rizos 等［5］利用子結構動力分析方法建立了頻率與損傷的關系，進而根據頻率定位和定量損傷.Khiem 等［6］推導了任意邊界條件、帶任意數目裂縫的梁頻率與損傷的關系，并提出了相應的損傷識別方法.針對頻率數據量偏少，而損傷識別是稀疏問題的特點，聶滋森等［7］和Hou等［8］基于稀疏正則化理論分別提出了懸臂梁和桁架的損傷識別方法.

然而，除損傷外，環境溫度也會對頻率產生較大影響［9-10］，其影響甚至會掩蓋損傷導致的變化，影響損傷識別效果［11-13］.研究表明：環境溫度引起的頻率變化具有一定的規律［14］，可基于理論推導或基于數據建立環境溫度和頻率之間的對應關系來描述環境溫度的影響.理論推導方面，王晶瑩［15］和時玉平［16］將溫度場轉換成作用在梁兩端的軸向偏心力，基于歐拉梁振動原理建立了簡支梁自振頻率表達式.陳雪松等［17］推導了考慮溫度效應和剪切變形效應的改進型波形鋼腹板組合箱梁的自振頻率解析公式.王力等［18］提出了一種時變溫度作用下考慮鋼-混接觸面滑移效應的新型波形鋼腹板組合箱梁自振頻率解析計算方法.目前基于數據的量化頻率和環境溫度的關系模型有：1）線性模型.Xia 等［19］對兩跨混凝土板進行兩年的連續監測，建立了頻率和環境因素間的線性回歸模型.Liu 等［20］對一座后張曲線混凝土箱梁橋的測試數據進行分析，建立了結構自振頻率和溫度的線性回歸模型.Sun等［14］對連續梁橋和鋼斜拉橋進行模型試驗，建立了頻率和溫、濕度關系的多元回歸模型.2）非線性模型.樊可清等［21］基于支持向量機建立了頻率和溫度關系的非線性模型.孫君等［22］利用236 d 的測試數據建立了潤揚大橋頻率日平均值與溫度日平均值之間的六次多項式模型.Ding 等［23］利用潤揚大橋的長期監測數據建立了溫度和頻率關系的多項式回歸模型.3）學習模型.Hua 等［24］先對實測溫度進行主成分分析獲得主成分溫度，并用于構建青馬大橋頻率與溫度的支持向量機模型.Ni 等［25］基于青馬大橋長期監測數據建立了溫度和頻率關系的基準神經網絡模型.Zhou 等［26］選用橋梁不同部位測得的溫度資料構造了平均溫度、有效溫度和主成分溫度，分別以三類溫度作為輸入參數來構建神經網絡模型.

上述基于理論推導的分析方法主要針對混凝土簡支梁和波形鋼腹板組合簡支箱梁，且實施過程中需要橋梁的幾何參數等信息；而基于數據的方法通常針對特定橋梁（結構），基于大量監測數據展開，其通用性受到了一定的限制.因此，從環境溫度影響橋梁頻率的內部機理出發，探明兩者的內在規律，并建立具有通用性的環境溫度-頻率關系模型，對提高基于頻率的損傷識別方法的有效性至關重要.

鑒于混凝土梁式橋是應用最廣泛的橋梁類型，本文從環境溫度影響混凝土梁式橋頻率的機理出發，由頻率解析式推導出溫度作用下混凝土梁式橋頻率的通用迭代公式，并通過數值算例和試驗室試驗驗證迭代公式的有效性和適應性.

1 基本理論

環境溫度對混凝土梁式橋頻率的影響主要體現在改變材料彈性模量、邊界條件、幾何特性和產生軸向力，其中溫度引起彈性模量變化對橋梁頻率的影響最為顯著［11，19］.溫度影響混凝土的彈性模量，從而影響其剛度，進而影響頻率.本節從梁式橋（簡支梁和連續梁）頻率的解析解出發，推導出溫度作用下梁式橋頻率的通用迭代計算公式.

基于歐拉伯努利梁理論［27］，等截面混凝土簡支梁和兩跨連續梁的第n階頻率分別為：

式中：fsn和fcn分別為簡支梁和兩跨連續梁的第n階頻率；m為梁單位長度的質量；L為單跨梁長；I為截面抗彎慣性矩；E為混凝土彈性模量；αn為各階頻率系數，分別為π，3.927，2π，….

綜合式（1）和式（2），可得混凝土梁式橋頻率簡化通用公式：

式中：fn為梁式橋的第n階頻率；U為常數，由頻率階次和梁式橋類型確定.

對式（3）兩邊做微分處理可得：

假定溫度變化微小，彈性模量隨溫度呈線性變化，材料彈性模量的熱系數βE=，T為溫度，材料線性膨脹的熱膨脹系數為βL=，則：

式（9）表明頻率相對變化率隨溫度變化的無量綱變化率為(βE+βL)∕2.混凝土和鋼材的熱膨脹系數分別為βLC=1.0 × 10-5∕℃和βLS=1.1 × 10-5∕℃，彈性模量的熱系數分別為βEC=-3.0 × 10-3∕℃和βES=-3.6 × 10-4∕℃［24］.顯然彈性模量熱系數βE的絕對值遠大于熱膨脹系數βL的絕對值，因此溫度引起彈性模量變化是改變頻率的最主要因素，可得：

當已知溫度T0及對應頻率fn(T0)，此溫度下頻率溫度曲線的斜率為k0=[βE·fn(T0)]∕2；從已知點(T0，fn(T0)) 開 始，以斜率k0構建在區間T0～T0+(ΔT)0的頻率溫度關系式，從而得到溫度為T1=T0+(ΔT)0時所對應的第n階頻率為：

重復以上步驟，可以求得任意溫度Tm=T0+下的頻率fn(Tm)，即溫度作用下的混凝土梁式橋頻率通用迭代計算公式為：

當(ΔT)i取值不同時，所得頻率精度不同，一般可取(ΔT)i=±1 ℃，從初始已知溫度時的頻率開始，由式（13）迭代計算至最接近目標溫度的整數位，再取(ΔT)i=±0.1 ℃求得對應目標溫度保留一位小數的位置，實現保證精度的前提下簡化計算過程.

根據式（13）可知，采用該頻率通用迭代計算無須采集全部溫度時刻的頻率數據，也無需橋梁梁長、截面特性和單位長度質量等參數，只需結合溫度T0對應頻率fn(T0)和此時的頻率溫度曲線斜率為k0，即可迭代計算獲得梁式橋在任意溫度下的頻率.

2 數值算例

本節基于環境溫度和彈性模量的關系建立不同溫度時梁式橋的有限元模型，驗證所提出的頻率通用迭代公式.

歐洲規范CEB-FIP Model code 2010［29］規定：任意強度等級混凝土的彈性模量和溫度的關系式為：

式中：E(T)為溫度為T時混凝土的彈性模量.20 ℃時，C30 混凝土的彈性模量取3.0 × 104MPa，通過式（14）可計算得到任意溫度下混凝土的彈性模量.

2.1 簡支梁算例

圖1 所示的20 m 標準跨徑的混凝土簡支梁，密度為2 600 kg∕m3，截面面積為0.472 5 m2，截面慣性矩為0.054 3 m4.通過調整混凝土彈性模量的方法建立溫度作用下混凝土簡支梁橋有限元模型，全梁劃分為200 個等長歐拉梁單元.采用有限元模型在溫度區間-10～50 ℃每隔5 ℃計算一次混凝土簡支梁的前三階頻率，計算結果如表1 所示，繪制簡支梁頻率變化率-溫度關系圖，如圖2 所示，其中圖（a）、（b）和（c）分別為簡支梁一階、二階和三階頻率與溫度的關系圖.20 ℃下的簡支梁前三階頻率分別為4.518 Hz、17.666 Hz和38.408 Hz.相比于20 ℃時的相對變化率如表2 所示.結果顯示：相對于基準溫度，不同溫度簡支梁前三階頻率的相對變化率絕對值最大為4.49%，平均相對變化率為1.65%，表明溫度通過改變彈性模量的方式顯著影響簡支梁頻率，實際基于頻率的損傷識別需要考慮溫度的影響.

表1 數值簡支梁頻率計算結果Tab.1 Frequency of the numerical simply supported beam Hz

表2 數值簡支梁頻率相對變化率Tab.2 Relative change rate of frequency of the numerical simply supported beam %

圖1 數值簡支梁Fig.1 The numerical simply supported beam

圖2 數值簡支梁頻率變化率-溫度關系圖Fig.2 Relationship between frequency change rate and temperature of numerical simply supported beams

以20 ℃為初始溫度T0，(ΔT)i取±1 ℃，采用迭代公式（13）計算相應溫度時的混凝土簡支梁前三階頻率，利用式（15）計算相對誤差，結果如表3 所示.比較表2和表3可得：混凝土簡支梁在溫度作用下采用通用頻率迭代公式計算的最大誤差為0.741%，相比于相應溫度下頻率的相對變化率（最大4.49%）相對較小，前三階頻率的平均誤差為0.105%，精度較高，可用于計算實際溫度作用下的混凝土簡支梁的頻率.采用本文方法仍然存在一定的誤差，主要是迭代過程中以折線代替曲線的累計誤差.

表3 數值簡支梁頻率相對誤差Tab.3 Relative errors of frequency of the numerical simply supported beam %

式中：REf為梁頻率迭代計算的相對誤差；frefn和ficn分別為梁第n階頻率參考值和迭代值.

2.2 連續梁算例

如圖3所示的兩跨（2 × 20 m）C30混凝土等截面連續梁，截面幾何參數和物理參數與第2.1節簡支梁相同.將連續梁等分為40 個歐拉梁單元，采用與第2.1 節同樣的方法和流程，在溫度區間-10～50 ℃每隔5 ℃計算一次混凝土連續梁橋的前三階頻率，計算結果如表4 所示，并繪制相應的頻率變化率-溫度關系圖（圖4）.20 ℃下的連續梁前三階頻率分別為4.526 Hz、6.910 Hz 和17.882 Hz.相對于基準溫度，不同溫度下頻率相對變化率如表5 所示，絕對值最大為4.35%，平均相對變化率為1.70%；通過頻率迭代公式計算后的結果如表6 所示，最大誤差為0.414%，前三階頻率的平均誤差為0.079%.表明通用迭代公式能有效考慮環境溫度對兩跨混凝土等截面連續梁頻率的影響.

表4 數值連續梁頻率計算結果Tab.4 Frequency of the numerical continuous beam Hz

表5 數值兩跨連續梁頻率變化率Tab.5 Relative change rate of frequency of the numerical two-span continuous beam %

表6 數值兩跨連續梁前三階頻率相對誤差Tab.6 Relative errors of frequency of the numerical two-span continuous beam %

圖3 數值兩跨等截面連續梁Fig.3 The numerical two-span continuous beam with constant cross-section

圖4 數值連續梁頻率變化率-溫度關系圖Fig.4 Frequency rate-temperature relationship of the numerical continuous beam

實際上，變截面連續梁橋應用更加廣泛，現以（10 m+16 m+10 m）的三跨變截面C30 混凝土連續梁橋為例，檢驗本文所提出的迭代計算公式對于變截面連續梁橋的適用性.三跨變截面梁總體尺寸、支點尺寸和跨中尺寸如圖5 所示，中支點截面慣性矩為0.054 3 m4，截面面積為0.472 5 m2；跨中和邊支點截面慣性矩為0.005 3 m4，截面面積為0.292 5 m2.將該梁等分為72 個歐拉梁單元，采用前述同樣的方法和流程，得到前三階頻率（表7）和相應的頻率變化率-溫度關系圖（圖6）.20 ℃下的三跨連續梁的前三階頻率分別為5.688 Hz、10.982 Hz和15.121 Hz，不同溫度下連續梁前三階頻率的相對變化率和通過通用頻率迭代公式計算結果，分別如表8 和表9 所示.由此可見：本文提出的迭代公式對于不同梁式橋具有良好的適應性，且該頻率迭代計算無須采集全部溫度時刻的頻率數據，基于少量的數據即可迭代計算獲得梁式橋在任意溫度下的頻率.

表7 數值三跨連續梁頻率計算結果Tab.7 Frequency of the numerical three-span continuous beam Hz

表8 數值三跨連續梁頻率的相對變化率Tab.8 Relative change rates of frequencies of the numerical three-span continuous beam %

表9 數值三跨連續梁頻率相對誤差Tab.9 Relative errors of frequencies of the numerical three-span continuous beam %

圖5 數值三跨變截面連續梁Fig.5 The numerical three-span continuous beam with variable cross-section

圖6 數值三跨連續梁頻率變化率-溫度關系圖Fig.6 Frequency rate-temperature relationship of the numerical three-span continuous beam

3 試驗研究

3.1 試驗過程

本試驗在合肥工業大學結構實驗室的環境耦合試驗箱中進行，該試驗箱可以模擬不同的環境溫度，保溫隔熱性好，能保證箱內溫度穩定，因此本試驗中采用的是均勻溫度，試驗溫度范圍為-10～50 ℃.制作長4.2 m 的矩形截面C50 混凝土梁，具體參數：密度為2 688 kg∕m3，20 ℃時的彈性模量為34.5 GPa，截面尺寸為30 cm × 10 cm，慣性矩為2.5 × 10-5m4.在試驗箱中分別搭建簡支梁模型和連續梁模型，其中簡支梁凈跨徑為4 m，連續梁凈跨徑為2 × 2 m，兩端均各預留10 cm以放置支座，如圖7所示.

圖7 試驗梁Fig.7 Experimental beam

本次試驗分為四個步驟：

1）傳感器布置.如圖8 所示，簡支梁底面等間距布置5 個加速度傳感器，頂面等間距布置3 個熱電偶；連續梁各跨底面等間距布置5 個加速度傳感器，各跨跨中的頂面布置1個熱電偶.

圖8 試驗梁布置Fig.8 The layout of the experimental beam

2）初始測試.將試驗箱溫度調至-10 ℃，穩定后開始試驗.分別敲擊簡支梁1∕4跨梁頂中心位置和連續梁第一跨的1∕4跨梁頂中心位置，采集加速度信號，單次測試的采樣時長為90 s，采樣頻率設為500 Hz.

3）重復測試.從-10 ℃開始升溫，每上升3 ℃并且保持穩定時，重復上述試驗，直至溫度上升至50 ℃.典型的加速度響應如圖9所示.

圖9 試驗梁典型加速度響應Fig.9 Typical acceleration response of the experimental beam

4）數據處理.對各溫度下的加速度信號使用快速傅里葉變換識別試驗梁的前三階頻率.試驗簡支梁和連續梁在各溫度下的實測頻率如表10 和表11所示.

表10 試驗簡支梁頻率Tab.10 Frequency of the experimental simply supported beam Hz

表11 試驗連續梁頻率Tab.11 Frequency of the experimental continuous beam Hz

3.2 結果分析

以20 ℃為基準，在-10～50 ℃每隔3 ℃計算一次試驗梁的前三階頻率，頻率變化率-溫度關系如圖10和圖11 所示.相對于基準溫度，不同溫度下簡支梁和連續梁前三階頻率相對變化率分別如表12 和表13 所示，相對變化率絕對值最大分別為4.66%和4.67%，平均相對變化率為2.48%和2.47%，表明溫度顯著影響梁式橋的頻率，基于頻率的損傷識別中需考慮溫度的影響.

表12 試驗簡支梁頻率相對變化率Tab.12 Relative change rate of frequencies of the experimental simply supported beam %

表13 試驗連續梁頻率相對變化率Tab.13 Relative change rate of frequencies of the experimental continuous beam %

圖10 試驗簡支梁頻率變化率-溫度關系圖Fig.10 Frequency change rate-temperature relationship of the experiment simply supported beam

圖11 試驗連續梁頻率變化率-溫度關系圖Fig.11 Frequency rate-temperature relationship of the experimental continuous beam

以20 ℃時的前三階頻率實測值為初始值，采用通用迭代公式在-10～50 ℃每隔3 ℃計算一次試驗梁的前三階頻率迭代值，利用式（16）前三階頻率迭代值和實測值的誤差，結果如表14 和表15 所示.結果顯示：簡支梁和連續梁前三階頻率迭代公式計算的最大誤差分別為0.268%和0.284%，相比于相應溫度下的頻率相對變化率（最大分別為4.66% 和4.67%）很小，前三階頻率的平均誤差為0.074%和0.109%，表明在試驗環境下本文所提出的梁式橋頻率通用迭代計算公式準確可行.

表14 試驗簡支梁頻率相對誤差Tab.14 Relative errors of frequencies of the experimental simply supported beam %

表15 試驗連續梁頻率相對誤差Tab.15 Relative errors of frequencies of the experimental continuous beam %

式中，RED為梁前三階頻率迭代公式計算的相對誤差；Dic和Dmv分別為梁前三階頻率迭代值和實測值.

4 結論

混凝土梁式橋頻率的變化可反映損傷情況，然而環境溫度也會影響混凝土梁式橋的頻率，進而影響損傷識別效果.本文從環境溫度影響梁式橋頻率的機理出發，由頻率解析式推導出溫度作用下混凝土梁式橋頻率的通用迭代公式，并通過數值算例（等截面簡支梁和連續梁、變截面連續梁）和環境耦合箱模型試驗（等截面簡支梁和連續梁）予以驗證，主要結論如下：

1）該迭代公式無須采集全部溫度時刻的頻率數據，基于少量的數據即可迭代計算獲得梁式橋在任意溫度下的頻率.

2）相對于基準溫度，不同溫度下數值梁和試驗梁前三階頻率的最大平均相對變化率分別為1.70%和2.48%，環境溫度對梁式橋頻率的影響不容忽略，梁式橋頻率和環境溫度呈負相關.

3）通過本文提出的頻率迭代公式計算的數值梁和試驗梁前三階頻率的最大平均誤差分別為0.117%和0.109%，所提出的頻率通用迭代公式操作簡單，具有良好的有效性和適用性，能有效考慮環境溫度的影響，可用于計算實際溫度作用下的混凝土梁式橋的頻率.

溫度荷載是橋梁的主要荷載之一，通常包括均勻溫度和梯度溫度，由于試驗所用的環境試驗箱只能模擬均勻溫度，本文主要研究均勻溫度的影響.事實上，梯度溫度的影響將更為復雜，后續將進一步深入研究.