等距對應視角下正螺面上漸近線的研究

王新璇，包圖雅，張 宇

（內蒙古民族大學數學科學學院，內蒙古 通遼 028043）

漸近線在數學和物理學的研究與應用中充當重要角色。PCHELINTSEV［1］采用了一種數值方法，該方法利用高精度計算來構造混沌型動態系統吸引子的近似解，并求出爆炸型系統解的垂直漸近線。MAKKI［2］研究了如何利用漸近線在四維伽利略空間中構造超曲面。

研究漸近線在曲面論中有著重要的意義，曲面上每個具有負高斯曲率的點，有2個漸近方向，曲面上每個高斯曲率為零的點有一個漸近方向（2個漸近方向重合在一起）。研究高斯曲率為負（或零）的曲面上漸近線，可以確定曲面的走向與形狀，進而分析曲面的特征。關于漸近線的研究方法方面，有利用漸近線與曲面上其他曲線的關系討論漸近線的性質。如，黃瑞［3］對隱函數形式的曲面進行研究，給出曲面上漸近線和測地線的若干性質，包括存在性、方程、幾何特征、曲率和撓率等。王韶麗等［4］對曲面上漸近線、測地線和平面曲線之間的關系進行分析，得到這幾類特殊曲線的幾何特征和內在關系。筆者基于吳鈺瑩等［5］利用等距對應研究測地線的方程，研究等距對應下的漸近線：1）研究正螺面上漸近線成為測地線的條件；2）利用正螺面和懸鏈面之間的等距對應關系，研究正螺面上漸近線等距對應到懸鏈面上的像曲線；3）計算懸鏈面上像曲線的測地曲率與法曲率之間的關系以及測地撓率與法曲率之間的關系。

1 基礎知識

給出C2類空間曲線C和C上一點P，設曲線C的自然參數表示為r=r(s)，其中，s是自然參數，可知α(s) =r?(s) =，是一單位向量，α稱為曲線C上P點的單位切向量。由于 |α|=1，即α2=1，可以得到α⊥α?，即r?⊥r?，在α?上取單位向量為曲線C在P點的主法向量。再作單位向量γ=α×β，γ稱為曲線C在P點的副法向量。若曲線C的一般參數表示為r=r(t)，其中，t是一般參數，有［6］

空間曲線C在P點的曲率為，其中，Δs為P點及其鄰近點P1間的弧長，Δψ為曲線在點P和P1的切向量的夾角，再由微商的模的幾何意義，可知。對于空間曲線，曲線不僅彎曲而且還要扭轉，所以，在研究空間曲線時還要有刻畫曲線扭曲程度的量——撓率。空間曲線C在P點的撓率為，撓率的絕對值是曲線的副法向量對于弧長的旋轉速度，這是撓率定義式的幾何意義。上述是曲線以弧長s為自然參數時的曲率與撓率的表達式，下面給出以t為一般參數的曲線曲率和撓率的表達式

其中滿足曲線撓率τ=0 的曲線稱為平面曲線［6］。

空間曲線C在一點的密切圓是過曲線C上一點Q(s) 的主法線的正側取線段PO，使PO長為，以O為圓心，以為半徑在密切平面上確定一個圓，這個圓稱為曲線C在Q(s) 點的密切圓（曲率圓），曲率圓的中心為曲率中心。由上述可知曲率中心的矢徑（曲率中心軌跡），可以表示為

其中β是主法向量［6］。

給出曲面S：r=r(u,v)上曲線C：r=r[u(t),v(t)]。對于曲線C有dr=rudu+rvdv。若以s表示曲線上的弧長，則

令E=ru·ru，F=ru·rv，G=rv·rv則有ds2=Edu2+2Fdudv+Gdv2為曲面S的第一基本形式，用Ⅰ表示。它們的系數E、F、G稱為曲面的第一基本量。設曲面S的單位法向量為n，則

令L=n·ruu，M=n·ruv，N=n·rvv，則有n·d2r=Ldu2+Mdudv+Ndv2為曲面S的第二基本形式，用Ⅱ表示，它們的系數L、M、N稱為曲面的第二基本量［6］。

2個曲面之間的一個變換是等距對應的充要條件是選擇適當參數后，它們具有相同的第一基本形式。如正螺面r={ucosv,usinv,v} 與懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 可建立等距對應u=sinht，v=θ［7］。

當曲面S上的坐標曲線網為正交網（F=0）時，曲線C在點P處的測地曲率kg，測地撓率τg，法曲率kn分別為

（φ是曲線的切向量與ru的夾角，0 ≤φ≤π）［8-9］。

引理1［10-12］懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上曲線的測地曲率kg，測地撓率τg，法曲率kn分別為

（φ是曲線的切向量與rt的夾角，0 ≤φ≤π）。

引理2［13］正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線方程為u=C1或v=C2（C1、C2是常數）。

引理3［5］拋物柱面上測地線方程

（其中k、b為常數）。當拋物柱面的測地線方程中u＞0，p=1，k=2，b=0 時，其撓率不為零。

證明當u＞0，p=1，k=2，b=0時，拋物柱面上測地線方程為

代入式（3）得

由引理3知，曲面上測地線的撓率有不為零的情況。

2 正螺面上漸近線等距對應到懸鏈面上像曲線的研究

命題1正螺面r={ucosv,usinv,v} 上方程為u=0 或v=C2的漸近線為測地線。

證明由引理1知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線的方程為u=C1或v=C2（C1、C2是常數）。

下面關于u分2種情況計算。

當u=C1=0 時，曲線為{0,0,v} ，即是直線（z軸），則這條曲線是正螺面上測地線。

當u=C1≠0 時，曲線為正螺面上v-曲線，且方程為{C1cosv,C1sinv,v} ，即不是直線。下面計算它的測地曲率。

正螺面r={ucosv,usinv,v} 中ru={cosv,sinv,0} ，rv={-usinv,ucosv,1} 且E=1，F=0，G=u2+1。v-曲線的切向量rv與ru的夾角φ=π 2，cosφ=0，sinφ=1。將上述第一基本量E、F、G和rv與ru的夾角φ代入測地曲率公式（5）得。由于u≠0，故kg≠0，即方程為u=C1≠0 的漸近線不是正螺面上測地線。

當v=C2時，曲線為{ucosC2,usinC2,C2} 是直線，則這條曲線是正螺面上測地線。

綜上所述，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上方程為u=0 或v=C2的漸近線為測地線。

定理1正螺面r={ucosv,usinv,v} 上的漸近線等距對應到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線如下：

1）當漸近線是測地線時，像曲線為撓率為零的測地線；

2）當漸近線不是測地線時，像曲線既是坐標曲線θ-曲線（t≠0）又是曲率為常數的平面曲線。

證明1）由命題1知，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上的漸近線是測地線時方程為u=0 或v=C2（C2是常數），通過正螺面r={ucosv,usinv,v} 與懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 之間的等距對應u=sinht，v=θ，則懸鏈面上像曲線的方程為t=0 或θ=C2（C2是常數）。

2 個曲面成等距對應時，與測地線相對應的曲線也是測地線［14］，所以像曲線t=0 或θ=C2（C2是常數）是懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的測地線。

首先，計算像曲線t=0 的撓率。

當t=0 時，曲線方程為r(θ)={cosθ,sinθ,0} ，則有

代入式（2）、式（3）得，

下面給出當t=0 即u=t=0 時，正螺面上漸近線等距對應到懸鏈面上像曲線的示意圖見圖1。

圖1 t=0 時，正螺面上漸近線等距對應到懸鏈面上像曲線的示意圖Fig. 1 When t=0，the image curve on the catenary surface of the asymptote of the positive spiral surface under the isometric correspondence

其次，計算像曲線θ=C2（C2是常數）的撓率。

當θ=C2（C2是常數）時，曲線方程為r(t)={coshtcosC2,coshtsinC2,t} ，則有

代入式（2）、式（3）得

即漸近線是測地線。

下面給出當C2=±1 即v=θ=C2=±1 時，正螺面上漸近線等距對應到懸鏈面上像曲線的示意圖見圖2。

圖2 C2=±1時，正螺面上漸近線等距對應到懸鏈面上像曲線的示意圖Fig. 2 When C2= ±1，the image curves on the catenary surface of the asymptotes of the positive spiral surface under the isometric correspondence

2）由命題1知，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上的漸近線不是測地線時方程為u=C1（C1是不為零的常數），通過正螺面r={ucosv,usinv,v} 與懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 之間的等距對應u=sinht，v=θ，則懸鏈面上像曲線的方程為t=arsinhC1，即懸鏈面上坐標曲線θ-曲線（t≠0）。

懸鏈面上像曲線t=arsinhC1（t≠0）的方程為

代入式（2）、式（3）得

故懸鏈面上像曲線t=arsinhC1（t≠0）是曲率為常數的平面曲線。

下面給出當C1=±1 即u=C1=±1,t=arsinh(C1) =arsinh( ±1) 時，正螺面上漸近線等距對應到懸鏈面上像曲線的示意圖見圖3。

圖3 C1=±1時，正螺面上漸近線等距對應到懸鏈面上像曲線的示意圖Fig. 3 When C1= ±1，the image curves on the catenary surface of the asymptotes of thepositive spiral surface under the isometric correspondence

定理2正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線等距對應到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線有如下性質：

1）像曲線的測地曲率和法曲率的比值為常數；

2）像曲線的測地撓率與法曲率的比值為常數；

3）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測地線的漸近線等距對應到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線的主法線的方向向量與z軸的方向向量垂直；

4）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測地線的漸近線等距對應到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線的曲率中心軌跡是直線。

證明1）由定理1 知正螺面上漸近線是測地線時，等距對應到懸鏈面上的像曲線方程為t=0 或θ=C2（C2是常數）。

當t=0 時，代入式（6）、式（8）得

當θ=C2（C2是常數）時，曲線是懸鏈面上t-曲線，dθ=0 即φ=0°，代入式（6）、式（8）得

由定理1知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測地線的漸近線等距對應到懸鏈面上的像曲線是坐標曲線θ-曲線（t≠0），dt=0 即φ=，代入式（6）、式（8）得

故正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線等距對應到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線的測地曲率和法曲率的比值為常數。

2）由定理1知正螺面上漸近線是測地線時，等距對應到懸鏈面上的像曲線方程為t=0 或θ=C2（C2是常數）。

當t=0 時，代入式（7）、式（8）得

當θ=C2（C2是常數）時，曲線是懸鏈面上t-曲線，dθ=0 即φ=0°，代入式（7）、式（8）得，

由定理1知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測地線的漸近線等距對應到懸鏈面上的像曲線是坐標曲線θ-曲線（t≠0），dt=0 即φ=，代入式（7）、式（8）得

故正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線等距對應到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線的測地撓率與法曲率的比值為常數。

3）由定理1、式（1）、式（10）-（15）得，正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測地線的漸近線，等距對應到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上像的主法向量為

將式（9）和式（16）代入到主法線方程R-r=λβ，其中R={X,Y,Z}［6］，即

因為z軸的方程為

對任意的θ，有

即主法線的方向向量與z軸的方向向量垂直。

4）由定理1 知正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測地線的漸近線，等距對應到懸鏈面像的方程為式（9），由式（4）、式（16）得曲線的曲率中心軌跡方程為

該曲線為直線。

3 結論

1）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上漸近線是測地線時，等距對應到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t}上的像曲線是撓率為零的測地線；像曲線的測地撓率、測地曲率分別與法曲率的比值為常數。

2）正螺面r={ucosv,usinv,v} 上非測地線的漸近線等距對應到懸鏈面r={coshtcosθ,coshtsinθ,t} 上的像曲線既是坐標曲線θ-曲線（t≠0）又是曲率為常數的平面曲線；像曲線的測地撓率、測地曲率分別與法曲率的比值為常數；像曲線的主法線的方向向量與z軸的方向向量垂直；像曲線的曲率中心軌跡是直線。