計數原理單元測試卷（B 卷）答案與提示

一、單選題

1.D 2.B 3.C 4.C

5.A 提示:22個參賽名額分配給20個班級,每班至少1個參賽名額,名額無區別。

可將22 個參賽名額視為22 個球,排成一列形成21個空隙,插入19塊隔板分成20份,每一份至少1個球,所以不同的分配方法數為

6.C 提示:把5名學生分成2,2,1三組或3,1,1三組兩種情況。

共有90+60=150(種)結果。

7.A 提示:(x-1)6的展開式的通項為

則T4=-20x3,T5=15x2。

從而(3x-2)(x-1)6的展開式中x3的系數為3×15+(-2)×(-20)=85。

①若“電動自行車修理”安排1 名男教師,則余下4人安排到另兩個項目,每個項目2人,有C14C24C22種不同的安排方法;

②若“電動自行車修理”安排2 名男教師,則余下3人,1人安排到“綠植修剪”,2人安排到“蔬菜種植”,有C24C13C22種不同的安排方法。

(2)若“糕點制作”安排2 名女教師,則“電動自行車修理”只能安排1名男教師,余下3人,1人安排到“綠植修剪”,2人安排到“蔬菜種植”,有種不同的安排方法。

二、多選題

9.ACD 提示:A,B在后3天介紹的方法種數為A23A44=144,A 正確。

C,D相隔一天介紹的方法種數為,B錯誤。

E不在第一天,F不在最后一天介紹的方法種數為A55+C14C14A44=504(或A66-2A55+A44=504),C正確。

A在B,C之前介紹的概率為,D 正確。

10.ABD 提示:對于選項A,令x=1,可得2+22+…+2n=a0+a1+a2+…+an-1+an=126,即,2n=64,解得n=6,所以A 正確。

對于選項B,展開式中x6的系數為a6=C66=1。令x=0,可得a0=6。

所以(a0+a1+a2+a3+…+an-1+an)-a0-an=126-6-1=119,B正確。

對于選項C,(1+2x)6的展開式中二項式系數的和為26=64,C不正確。

對于選項D,a0+a1x+a2x2+…+anx6=(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)6。

兩邊求導,可得a1+2a2x+3a3x2+…+6a6x5=1+2(1+x)+…+6(1+x)5。

令x=1,可得a1+2a2+3a3+…+nan=1+2×2+3×22+…+6×25=321,所以D正確。

12.BD 提示:選項A,5個數組成無重復的三位數的個數為A35=60,A 錯誤。

選項B,奇數為個位數是1,3,5 的三位數,個數為3A24=36,B正確。

選項C,“凸數”分為幾類,①十位數為5,則有A24=12(個);②十位數為4,則有A23=6(個);③十位數為3,則有A22=2(個)。

所以共有20個滿足題意的數,C錯誤。

選項D,由選項C的分析可知,D 正確。

三、填空題

13.60 提示:每個路線至少1人,至多2人,則一個路線1人,另外兩個路線各2人。

若甲同學單獨1人,則有C12C24=12(種)不同的選法;若甲同學與另外一個同學一起,則有C14C12C13A22=48(種)不同的選法。故不同的選擇方法有12+48=60(種)。

該組合數被9除的余數是8。

15.336 提示:6 個節目全排列的方法數為A66。

6個節目的安排中,歌唱或舞蹈相鄰的方法數為2×A22×A55-A22×A22×A44。

所以符合題意的演出順序數為A66-2×A22×A55+A22×A22×A44=336。

四、解答題

18.(1)令x=1,則展開式中各項系數和為(1+3)n=4n。

由題意知展開式中的二項式系數和為2n。

依題意知4n-2n=992,即(2n)2-2n-992=0,整理得(2n+31)(2n-32)=0。

所以甲不任教“數”的課程安排方案有1 200+240=1 440(種)。

20.(1)無序不均勻分組問題。先選1本有C16種方法,再從余下的5本中選2本有種方法,最后余下3本全選有C33種方法,故共有C16C25C33=60(種)方法。

(2)有序不均勻分組問題。由于甲、乙、丙是不同的3人,在第一問基礎上,還應考慮再分配,共有C16C25C33A33=360(種)方法。

(4)在(3)的基礎上,還應考慮再分配,共有15A33=90(種)方法。

(5)分成三份,1份4本,另外兩份每份1本,這是部分均勻分組問題,求出組合總數除以A22即可,共有(種)方法。

(6)在(5)的基礎上,還應考慮再分配,共有15A33=90(種)方法。

22.(1)當組成的數是一位數時,一位偶數有C13=3(個)。

當組成的數是兩位數時,可分兩類:當末位是0 時,有A15=5(個),當末位是2 或4時,有,兩位偶數共有13個。

當組成的數是三位數時,可分兩類:當末位是0時,有A25=20(個);當末位是2或4時,有(個)。三位偶數共有52個。

當組成的數是四位數時,可分兩類:當末位是0時,有A35=60(個);當末位是2 或4時,有(個)。

四位偶數共有156個。

當組成的數是五位數時,可分兩類:當末位是0時,有A45=120(個);當末位是2或4時,有(個)。

五位偶數共有312個。

當組成的數是六位數時,可分兩類:末位是0,有A55=120(個);末位是2 或4,有(個)。六位偶數共有312個。

綜上,組成的沒有重復數字的偶數的個數為3+13+52+156+312+312=848。

(2)萬位是1的五位數有A45=120(個),萬位是2、千位為0的五位數有A34=24(個)。

萬位是2、千位為1、百位為0 的五位數有A23=6(個)。

因此,在21 350 的前面共有154 個數字,21 350是第155個數。