利用二級結論 優解橢圓小題
——2023年高考數學甲卷理科第12題解法探究

■甘肅省張掖市實驗中學 王新宏

圓錐曲線試題是高考數學的必考試題,是重點也是難點。大部分同學對其有畏懼心理,找不到解決的突破口。2023年高考數學甲卷理科第12題是一道橢圓壓軸小題,它以橢圓焦點三角形為背景,考查橢圓的定義、余弦定理、焦點三角形等知識,題干簡潔,設問直接,內涵豐富。本題入手比較容易,方法比較多,考查同學們理性思維與數學探究能力,體現了邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養。解決本題的關鍵在于數形結合,即可考慮用余弦定理,也可考慮焦半徑公式、焦點三角形面積公式、中線的向量公式、中線定理、極化恒等式等相關二級結論迅速求解。試題凝聚了命題專家的心血與智慧,簡約而不簡單,為不同能力水平的同學提供了相應的思考空間,是一道獨具匠心的好題。

1.試題呈現

2023年高考數學甲卷理科第12題:

如圖1 所示,設O為坐標原點,F1,F2為橢圓C=1 的兩個焦點,點P在 橢 圓C上,cos ∠F1PF2=,則|OP|=( )。

圖1

2.解法探究

解法1:(挖出兩角互補這個隱含條件)

由橢圓方程知a2=9,b2=6。

因為c2=a2-b2,所以a=3,c= 3,e=

在△PF1F2中,由余弦定理得:

點評:解題的關鍵是發現∠POF1+∠POF2=π,cos ∠POF1=-cos ∠POF2這樣的隱含條件,它往往能幫助整個題目的順利求解。

解法2:(借焦半徑之力)

解法3:(與焦點三角形面積公式結合)

證明過程:如圖2 所示,設P(x,y),由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cosα。①

圖2

由橢圓的定義得:

|PF1|+|PF2|=2a。②

則 ②2- ① 得:|PF1|· |PF2| =

解法4:(與中線的向量公式結合)

點評:如圖3所 示,若AD為△ABC邊BC的中 線,則,中線的向量公式在高考中也備受青睞。

圖3

圖4

解法5:(與中線定理結合)

由題意知|PF1|+|PF2|=2a=6。①

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2= |F1F2|2,即|PF1|2+

聯立①②,解得|PF1|2+|PF2|2=21。

解法6:(與極化恒等式結合)

極化恒等式在處理與中線有關的數量積時,往往會出奇制勝,事半功倍。

3.鞏固練習

(2)(2019年全國Ⅰ卷文科第12題)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與橢圓C交于A,B兩點,如果|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則橢圓C的方程為( )。

4.小結與啟示

從以上內容可以看出,對于解析幾何小題,一般不直接考慮設點的坐標運算,而是先畫草圖,接著充分考慮圖形的幾何性質特征與圓錐曲線定義,以及相關的二級結論,這樣往往更能幫助同學們看清圖形元素間內在的聯系,挖掘問題本質,簡化解題過程,減少運算量,提高解題的效率,快速準確解題。

對高考真題進行適當的研究,不但可以明確高考重難點,把握高考方向,避免學習的隨意性、盲目性,而且可以有效訓練同學們的思維能力,培養創新意識,提高學習數學的興趣。