提高解析幾何數學運算能力的策略
——以2023年高考全國乙卷理數第20題為例

■河南省鄭州市第一〇一中學 馮連福

解析幾何數學運算能力是指在明晰運算對象(直線、圓、圓錐曲線等)的基礎上,依據運算法則解決數學問題的能力。同學們在解析幾何數學運算中存在的諸多問題,要通過數學運算專項訓練,培養良好的數學運算習慣,增強數學運算的信心,提高數學運算的正確率,達到“敢計算”“愿計算”“會計算”的效果。下面以2023年高考全國乙卷理數第20題為例,說明提高解析幾何數學運算能力的策略。

題目:已知橢圓C:0)的離心率為,點A(-2,0)在橢圓C上。

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)過點(-2,3)的直線交橢圓C于P,Q兩點,直線AP,AQ與y軸的交點分別為M,N,證明:線段MN的中點為定點。

解析:(1)由題意得b=2=b2+c2,解得a=3,b=2。

橢圓C的標準方程為

(2)求解定點問題的常用方法是先猜后證。若直線PQ的斜率趨于零,則點M、N趨于點(0,3),故MN中點過定點(0,3),下面證明這個結論。

策略一 點斜式正設。先用點斜式設出直線PQ,再將直線方程與橢圓方程聯立。

設直線PQ的方程為y=k(x+2)+3,即y=kx+2k+3,設P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN)。

MN的中點是定點(0,3)。

策略二 點斜式反設。先用點斜式反設直線PQ,再將直線方程與橢圓方程聯立,此策略計算量較策略一少一些。

故MN的中點是定點(0,3)。

策略三 斜截式正設。先用斜截式設出直線PQ,再將直線方程與橢圓方程聯立,利用韋達定理寫出表達式,最后代入m=2k+3化簡。此策略數學運算量較前兩種少。

設直線PQ的方程為y=kx+m,設P(x1,y1),Q(x2,y2),M(0,yM),N(0,yN)。

因為PQ過(-2,3),所以m=2k+3。

所以MN的中點是定點(0,3)。

(思路二)先分離常數再代入韋達定理,計算量會少一些。

策略四 斜截式反設。先用斜截式僅設出直線PQ,再將直線方程與橢圓方程聯立。

設PQ:x=my+n,P(x1,y1),Q(x2,y2)。

因PQ過(-2,3),故3m+n=-2,即b+2=-3m。

故MN的中點是定點(0,3)。

策略五 點斜式正設+斜率同構。先對直線AP、AQ方程的點斜式正設,再與橢圓方程聯立,求點P,Q坐標,最后斜率同構。

設AP:y=k1(x+2),AQ:y=k2(x+2),設P(xP,yP),Q(xQ,yQ)。設PQ:y-3=k(x+2)。

故k1、k2是12x2-36x+36k+27=0的解,則k1+k2=3。

因為M(0,2k1),N(0,2k2),所以MN的中點是(0,k1+k2)。

故MN的中點是定點(0,3)。

策略六 斜截式反設+斜率同構。先對直線AP、AQ方程的斜截式反設,再求點P,Q坐標。設B(-2,3),由B,P,Q三點共線,得到

設AP:x=m1y-2,AQ:x=m2y-2,P(xP,yP),Q(xQ,yQ)。

策略七 點斜式正設+齊次化法。先用點斜式正設直線AP、AQ的方程,求出MN中點坐標,聯想齊次化。齊次化解題的要點是消常數項。

設P(x1,y1),Q(x2,y2)。

故MN的中點是定點(0,3)。

策略八 坐標軸平移+齊次化法+一般式。由于MN中點的縱坐標與斜率有關,為簡化計算,自然聯想到以點A為坐標系原點建立坐標系。

設PQ:mx+ny=1。

因為直線PQ過點(0,3),所以3n=1。

故平移前MN的中點為定點(0,3)。

策略九 二次曲線系。此題是定點定值問題,背景是極點極線問題,故可用二次曲線系。

設直線AP的方程為x=my-2,即xmy+2=0。

直線AQ的方程為x=ny-2,即xny+2=0。

直線PQ的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0。

點A處切線方程為x=-2,即x+2=0。

設M(0,yM),N(0,yN)。

故MN的中點為定點(0,3)。

策略十 斜率同構。先由點斜式正設AP、AQ、PQ的 方 程,再 聯 立 求 點P、Q坐標,最后將兩點坐標代入橢圓方程,利用同構求出k1+k2值,即求出中點坐標。

設直線AP的方程為y=k1(x+2),則點M的坐標為(0,2k1)。

設直線AQ的方程為y=k2(x+2),則點N的坐標為(0,2k2)。

則MN的中點為(0,k1+k2)。

下面求k1+k2的值。

設直線PQ的方程為y=k(x+2)+3。

將直線AP與直線PQ聯立,求點P坐標。

同理,點Q在橢圓9x2+4y2=36上,可得4k22-12k2+12k+9=0。

所以k1、k2是 方 程4x2-12x+12k+9=0的解。

所以MN的中點為定點(0,3)。

以上為常用解題策略,請同學們仔細領會、認真鉆研,對于不同的情景選擇合適的策略,提高自己的解析幾何數學運算能力。