涂色問(wèn)題的解題技巧

■江蘇省張家港中等專(zhuān)業(yè)學(xué)校 張 嫻 韓文美

排列組合中有一類(lèi)常見(jiàn)問(wèn)題——涂色問(wèn)題,此類(lèi)問(wèn)題基于兩個(gè)計(jì)數(shù)原理與排列組合知識(shí),關(guān)注圖形的結(jié)構(gòu)特征,解決方法技巧性強(qiáng)且靈活多變,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的創(chuàng)新思維能力、分析問(wèn)題與觀察問(wèn)題以及解決問(wèn)題的能力,已成為數(shù)學(xué)命題中比較常見(jiàn)的一類(lèi)基本題型,備受各方關(guān)注。

1.直線型涂色問(wèn)題

例1(2022—2023學(xué)年江蘇省常州一中高二下學(xué)期段考數(shù)學(xué)試卷)現(xiàn)有6種不同的顏色,給圖1 中的5 個(gè)格子涂色,每個(gè)格子涂一種顏色,要求最多使用4種顏色且相鄰的兩個(gè)格子顏色不同,則不同的涂色方法共有_____種。

圖1

分析:根據(jù)題設(shè)條件,選出的顏色可以是2種,3種或者4種,依次通過(guò)直線型的圖形結(jié)構(gòu)特征求出方法數(shù),通過(guò)分類(lèi)法求和,即可得以分析與求解。

解:由題意選出的顏色可以是2種,3種或者4種,規(guī)定左邊起為第一個(gè)空,不同情況如下。

當(dāng)選出2種顏色時(shí),第一個(gè)空有2 種選擇,第一個(gè)空顏色確定后,其余空顏色就確定了,共有C26×2=30(種)方法。

當(dāng)選出3種顏色時(shí),第一個(gè)空有3 種選擇,第二個(gè)空有2種選擇,第三個(gè)空可分為與第一個(gè)空顏色相同和不同的情況,第四個(gè)空和第五個(gè)空都各有2 種選擇,但要去掉整體只用了2 種顏色的情況,共有C36C13C12·=840(種)方法。

當(dāng)選出4種顏色時(shí),必有2種顏色相同,可采用插空法,將這2 種相同顏色去插入另外3種顏色形成的空,共有(種)方法。

綜上分析,不同的涂色方法共有30+840+2 160=3 030(種)。

點(diǎn)評(píng):直線型涂色問(wèn)題往往從第一個(gè)位置入手,逐一分析,在前一個(gè)已涂色的條件下涂下一個(gè)位置,注意對(duì)不同位置的分析加以合理分類(lèi)討論與分步處理,進(jìn)而確定直線型涂色問(wèn)題的種數(shù)。

2.區(qū)域型涂色問(wèn)題

例2(2022—2023學(xué)年湖北省武漢市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷)七巧板是古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶。圖2是某同學(xué)用木板制作的七巧板,它包括5個(gè)等腰直角三角形、一個(gè)正方形和一個(gè)平行四邊形。若用四種顏色給各板塊涂色,要求正方形板塊單獨(dú)一色,其余板塊兩塊一種顏色,而且有公共邊的板塊不同色,則不同的涂色方案有____種。

圖2

分析:根據(jù)題設(shè)條件,先對(duì)七巧板中的不同區(qū)域加以合理標(biāo)記,并通過(guò)畫(huà)圖分析其中四板塊A,B,C,D必涂上不同顏色,再根據(jù)分類(lèi)、分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算剩下的部分即可得以分析與求解。

解:由題意知,對(duì)七巧板中的不同區(qū)域加以合理標(biāo)記,如圖3所示。

圖3

由于一共4種顏色,板塊A需單獨(dú)一色,剩下6個(gè)板塊中每2個(gè)區(qū)域涂同一種顏色,且板塊B,C,D兩兩有公共邊不能同色,故板塊A,B,C,D必定涂不同的顏色。

①當(dāng)板塊E與板塊C同色時(shí),則板塊F,G與板塊B,D或板塊D,B分別同色,共有2種情況。

②當(dāng)板塊E與板塊B同色時(shí),則板塊F只能與D同色,板塊G只能與C同色,共1種情況。

又板塊A,B,C,D顏色可排列,故共(2+1)×=72(種)方案。

點(diǎn)評(píng):區(qū)域型涂色問(wèn)題,應(yīng)該給區(qū)域依次標(biāo)上相應(yīng)的序號(hào),以便分析問(wèn)題。在給各區(qū)域涂色時(shí),要注意不同的涂色順序,其解題就有繁簡(jiǎn)之分。在實(shí)際解答時(shí),應(yīng)按不同的涂色順序多多嘗試,看哪一種最簡(jiǎn)單。

3.立體型涂色問(wèn)題

例3(2024 屆上海市七寶中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷)某數(shù)學(xué)興趣小組用紙板制作正方體教具,如圖4 所示,現(xiàn)給圖中的正方體展開(kāi)圖的6個(gè)區(qū)域涂色,有紅、橙、黃、綠4種顏色可選,要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同,共有_____種不同的涂色方法。

圖4

分析:根據(jù)題設(shè)條件,由正方體展開(kāi)圖的平面圖形回歸正方體的立體圖形,先從涂A入手,再分C與F同 色、C與F不 同 色 兩 種情況討論,利用分步、分類(lèi)計(jì)數(shù)原理分析與運(yùn)算可得答案。

解:如圖5 所示,還原回正方體后,D、B為正方體的前后兩個(gè)對(duì)面,A、E為正方體的左右兩個(gè)對(duì)面,F、C為正方體的上下兩個(gè)對(duì)面,先涂A有4種涂法。①當(dāng)C與F同色時(shí),涂C有3種涂法,若D與B同色,則有2種涂法,最后涂E有2種涂法;若D與B不同色,則有種涂法,最后涂E有1種涂法。

圖5

②當(dāng)C與F不 同 色 時(shí),涂C有3 種 涂法,涂F有2種涂法,此時(shí)D與B必同色且只有1種涂法,E也只有1種涂法。

則有4×3×2×1×1=24(種)涂法。

綜上分析可得,一共有72+24=96(種)不同的涂法。

點(diǎn)評(píng):立體型涂色問(wèn)題,往往要同時(shí)考慮平面幾何的結(jié)構(gòu)特征,又要考慮立體幾何的結(jié)構(gòu)特征,綜合“二維”與“三維”中的涂色要求與限制條件,全面考查同學(xué)們的空間想象能力與邏輯推理能力。

4.環(huán)狀型涂色問(wèn)題

例4(2024屆浙江省名校聯(lián)盟高三上學(xué)期9 月份月考數(shù)學(xué)試卷)五行是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想,多用于哲學(xué)、中醫(yī)學(xué)和占卜方面。五行學(xué)說(shuō)是華夏文明重要的組成部分。古代先民認(rèn)為,天下萬(wàn)物皆由五類(lèi)元素組成,分別是金、木、水、火、土,彼此之間存在相生相克的關(guān)系。圖6 是五行圖,現(xiàn)有5種顏色可供選擇給五“行”涂色,要求五行相生不能用同一種顏色(例如金生火,水生木,不能同色),五行相克可以用同一種顏色(例如水克火,木克土,可以用同一種顏色),則不同的涂色方法種數(shù)為( )。

圖6

A.3 125 B.1 000

C.1 040 D.1 020

分析:根據(jù)題設(shè)條件,從數(shù)學(xué)文化場(chǎng)景中加以合理轉(zhuǎn)化,抽象問(wèn)題的本質(zhì)與內(nèi)涵,通過(guò)環(huán)狀型涂色問(wèn)題來(lái)轉(zhuǎn)化,并加以分析,先根據(jù)不相鄰區(qū)域是否同色進(jìn)行分類(lèi),確定涂色順序,再分步計(jì)數(shù)即可。

解:依題可知五行相克可以用同一種顏色,也可以不用同一種顏色,即無(wú)限制條件而五行相生不能用同一種顏色,即相鄰位置不能用同一種顏色。

故問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圖7中A,B,C,D,E5個(gè)區(qū)域,有5種不同的顏色可用,要求相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色,即5種顏色5個(gè)區(qū)域的環(huán)狀涂色問(wèn)題。

圖7

分為以下兩類(lèi)情況。

第一類(lèi),A,C,D3個(gè)區(qū)域涂3種不同的顏色。

第一步涂A,C,D區(qū)域,從5 種不同的顏色中選3 種按順序涂在不同的3 個(gè)區(qū)域上,則有A35種方法;

第二步涂B區(qū)域,由于A,C顏色不同,則有3種方法;

第三步涂E區(qū)域,由于A,D顏色不同,則有3種方法。

由分步計(jì)數(shù)原理知,共有3×3×A35=540(種)方法。

第二類(lèi),A,C,D3個(gè)區(qū)域涂2種不同的顏色。

C,D不能涂同種顏色,則A,C涂色相同,或A,D涂色相同,兩種情況方法數(shù)相同。

若A,C涂色相同,第一步涂A,C,D區(qū)域,A,C可看成同一區(qū)域,且A,D區(qū)域不同色,即涂2個(gè)區(qū)域不同色,從5種不同的顏色中選2種按順序涂在不同的2個(gè)區(qū)域上,則有A25種方法;

第二步涂B區(qū)域,由于A,C顏色相同,則有4種方法;

第三步涂E區(qū)域,由于A,D顏色不同,則有3種方法。

由分步計(jì)數(shù)原理知,共有4×3×A25=240(種)方法。

若A,D涂一色,與A,C涂一色的方法數(shù)相同,則共有2×240=480(種)方法。

由分類(lèi)計(jì)數(shù)原理可知,不同的涂色方法數(shù)為540+480=1 020。選D。

點(diǎn)評(píng):求解環(huán)狀型涂色問(wèn)題,是基于直線型涂色問(wèn)題加以分析與處理,同時(shí)要考慮最后一個(gè)位置與原來(lái)第一個(gè)位置之間的限制,這樣才能形成一個(gè)閉環(huán),這也是解決問(wèn)題中比較容易出錯(cuò)的一個(gè)環(huán)節(jié),要加以高度重視。

5.探究型涂色問(wèn)題

例5(2023 年吉林省長(zhǎng)春市高考數(shù)學(xué)質(zhì)檢試卷)將圓分成n(n≥2,且n∈N*)個(gè)扇形,每個(gè)扇形用紅、黃、藍(lán)、橙四色之一涂色,要求相鄰扇形不同色,設(shè)這n個(gè)扇形的涂色方法為an種,則an與an-1的遞推關(guān)系是____。

分析:根據(jù)題設(shè)條件,對(duì)n個(gè)扇形依次加以編號(hào),按n=2與n＞2兩種情況加以分類(lèi)討論an的情況,由分步計(jì)數(shù)原理得到an與an-1之間的關(guān)系。

解:將圓分成n個(gè)扇形時(shí),將n個(gè)扇形依次設(shè)為T(mén)1,T2,…,Tn。

設(shè)這n個(gè)扇形的涂色方法為an種。

當(dāng)n=2時(shí),a2=4×3=12。

當(dāng)n＞2 時(shí),T1有4 種 涂 法,T2有3 種涂法,接著T3,T4,…,Tn-1,Tn,依次有3種涂法,故共有4×3n-1種涂法。

但當(dāng)Tn與T1的顏色相同時(shí),有an-1種涂法,an=4×3n-1-an-1。

點(diǎn)評(píng):求解探究型涂色問(wèn)題,往往從最簡(jiǎn)單的圖形入手,依次分析兩個(gè)圖形涂色之間的聯(lián)系與差別,進(jìn)而加以合理推理,構(gòu)建相應(yīng)的關(guān)系式,得以解決對(duì)應(yīng)的探究性問(wèn)題,從而實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的解決。

對(duì)于涂色問(wèn)題,抓住探究問(wèn)題的本質(zhì),結(jié)合涂色圖形的結(jié)構(gòu)特征,以及涂色的種數(shù)與限制條件,從關(guān)鍵點(diǎn)入手,結(jié)合選取顏色加以分析,合理分類(lèi)討論,借助兩個(gè)計(jì)數(shù)原理以及排列組合知識(shí),注意“重”或者“漏”的情形,進(jìn)而加以合理操作與計(jì)算。