涂色問題的解題技巧

■江蘇省張家港中等專業學校 張 嫻 韓文美

排列組合中有一類常見問題——涂色問題,此類問題基于兩個計數原理與排列組合知識,關注圖形的結構特征,解決方法技巧性強且靈活多變,有利于培養同學們的創新思維能力、分析問題與觀察問題以及解決問題的能力,已成為數學命題中比較常見的一類基本題型,備受各方關注。

1.直線型涂色問題

例1(2022—2023學年江蘇省常州一中高二下學期段考數學試卷)現有6種不同的顏色,給圖1 中的5 個格子涂色,每個格子涂一種顏色,要求最多使用4種顏色且相鄰的兩個格子顏色不同,則不同的涂色方法共有_____種。

圖1

分析:根據題設條件,選出的顏色可以是2種,3種或者4種,依次通過直線型的圖形結構特征求出方法數,通過分類法求和,即可得以分析與求解。

解:由題意選出的顏色可以是2種,3種或者4種,規定左邊起為第一個空,不同情況如下。

當選出2種顏色時,第一個空有2 種選擇,第一個空顏色確定后,其余空顏色就確定了,共有C26×2=30(種)方法。

當選出3種顏色時,第一個空有3 種選擇,第二個空有2種選擇,第三個空可分為與第一個空顏色相同和不同的情況,第四個空和第五個空都各有2 種選擇,但要去掉整體只用了2 種顏色的情況,共有C36C13C12·=840(種)方法。

當選出4種顏色時,必有2種顏色相同,可采用插空法,將這2 種相同顏色去插入另外3種顏色形成的空,共有(種)方法。

綜上分析,不同的涂色方法共有30+840+2 160=3 030(種)。

點評:直線型涂色問題往往從第一個位置入手,逐一分析,在前一個已涂色的條件下涂下一個位置,注意對不同位置的分析加以合理分類討論與分步處理,進而確定直線型涂色問題的種數。

2.區域型涂色問題

例2(2022—2023學年湖北省武漢市高二下學期期中數學試卷)七巧板是古代勞動人民智慧的結晶。圖2是某同學用木板制作的七巧板,它包括5個等腰直角三角形、一個正方形和一個平行四邊形。若用四種顏色給各板塊涂色,要求正方形板塊單獨一色,其余板塊兩塊一種顏色,而且有公共邊的板塊不同色,則不同的涂色方案有____種。

圖2

分析:根據題設條件,先對七巧板中的不同區域加以合理標記,并通過畫圖分析其中四板塊A,B,C,D必涂上不同顏色,再根據分類、分步計數原理計算剩下的部分即可得以分析與求解。

解:由題意知,對七巧板中的不同區域加以合理標記,如圖3所示。

圖3

由于一共4種顏色,板塊A需單獨一色,剩下6個板塊中每2個區域涂同一種顏色,且板塊B,C,D兩兩有公共邊不能同色,故板塊A,B,C,D必定涂不同的顏色。

①當板塊E與板塊C同色時,則板塊F,G與板塊B,D或板塊D,B分別同色,共有2種情況。

②當板塊E與板塊B同色時,則板塊F只能與D同色,板塊G只能與C同色,共1種情況。

又板塊A,B,C,D顏色可排列,故共(2+1)×=72(種)方案。

點評:區域型涂色問題,應該給區域依次標上相應的序號,以便分析問題。在給各區域涂色時,要注意不同的涂色順序,其解題就有繁簡之分。在實際解答時,應按不同的涂色順序多多嘗試,看哪一種最簡單。

3.立體型涂色問題

例3(2024 屆上海市七寶中學高三上學期期中數學試卷)某數學興趣小組用紙板制作正方體教具,如圖4 所示,現給圖中的正方體展開圖的6個區域涂色,有紅、橙、黃、綠4種顏色可選,要求制作出的正方體相鄰面所涂顏色均不同,共有_____種不同的涂色方法。

圖4

分析:根據題設條件,由正方體展開圖的平面圖形回歸正方體的立體圖形,先從涂A入手,再分C與F同 色、C與F不 同 色 兩 種情況討論,利用分步、分類計數原理分析與運算可得答案。

解:如圖5 所示,還原回正方體后,D、B為正方體的前后兩個對面,A、E為正方體的左右兩個對面,F、C為正方體的上下兩個對面,先涂A有4種涂法。①當C與F同色時,涂C有3種涂法,若D與B同色,則有2種涂法,最后涂E有2種涂法;若D與B不同色,則有種涂法,最后涂E有1種涂法。

圖5

②當C與F不 同 色 時,涂C有3 種 涂法,涂F有2種涂法,此時D與B必同色且只有1種涂法,E也只有1種涂法。

則有4×3×2×1×1=24(種)涂法。

綜上分析可得,一共有72+24=96(種)不同的涂法。

點評:立體型涂色問題,往往要同時考慮平面幾何的結構特征,又要考慮立體幾何的結構特征,綜合“二維”與“三維”中的涂色要求與限制條件,全面考查同學們的空間想象能力與邏輯推理能力。

4.環狀型涂色問題

例4(2024屆浙江省名校聯盟高三上學期9 月份月考數學試卷)五行是華夏民族創造的哲學思想,多用于哲學、中醫學和占卜方面。五行學說是華夏文明重要的組成部分。古代先民認為,天下萬物皆由五類元素組成,分別是金、木、水、火、土,彼此之間存在相生相克的關系。圖6 是五行圖,現有5種顏色可供選擇給五“行”涂色,要求五行相生不能用同一種顏色(例如金生火,水生木,不能同色),五行相克可以用同一種顏色(例如水克火,木克土,可以用同一種顏色),則不同的涂色方法種數為( )。

圖6

A.3 125 B.1 000

C.1 040 D.1 020

分析:根據題設條件,從數學文化場景中加以合理轉化,抽象問題的本質與內涵,通過環狀型涂色問題來轉化,并加以分析,先根據不相鄰區域是否同色進行分類,確定涂色順序,再分步計數即可。

解:依題可知五行相克可以用同一種顏色,也可以不用同一種顏色,即無限制條件而五行相生不能用同一種顏色,即相鄰位置不能用同一種顏色。

故問題轉化為圖7中A,B,C,D,E5個區域,有5種不同的顏色可用,要求相鄰區域不能涂同一種顏色,即5種顏色5個區域的環狀涂色問題。

圖7

分為以下兩類情況。

第一類,A,C,D3個區域涂3種不同的顏色。

第一步涂A,C,D區域,從5 種不同的顏色中選3 種按順序涂在不同的3 個區域上,則有A35種方法;

第二步涂B區域,由于A,C顏色不同,則有3種方法;

第三步涂E區域,由于A,D顏色不同,則有3種方法。

由分步計數原理知,共有3×3×A35=540(種)方法。

第二類,A,C,D3個區域涂2種不同的顏色。

C,D不能涂同種顏色,則A,C涂色相同,或A,D涂色相同,兩種情況方法數相同。

若A,C涂色相同,第一步涂A,C,D區域,A,C可看成同一區域,且A,D區域不同色,即涂2個區域不同色,從5種不同的顏色中選2種按順序涂在不同的2個區域上,則有A25種方法;

第二步涂B區域,由于A,C顏色相同,則有4種方法;

第三步涂E區域,由于A,D顏色不同,則有3種方法。

由分步計數原理知,共有4×3×A25=240(種)方法。

若A,D涂一色,與A,C涂一色的方法數相同,則共有2×240=480(種)方法。

由分類計數原理可知,不同的涂色方法數為540+480=1 020。選D。

點評:求解環狀型涂色問題,是基于直線型涂色問題加以分析與處理,同時要考慮最后一個位置與原來第一個位置之間的限制,這樣才能形成一個閉環,這也是解決問題中比較容易出錯的一個環節,要加以高度重視。

5.探究型涂色問題

例5(2023 年吉林省長春市高考數學質檢試卷)將圓分成n(n≥2,且n∈N*)個扇形,每個扇形用紅、黃、藍、橙四色之一涂色,要求相鄰扇形不同色,設這n個扇形的涂色方法為an種,則an與an-1的遞推關系是____。

分析:根據題設條件,對n個扇形依次加以編號,按n=2與n＞2兩種情況加以分類討論an的情況,由分步計數原理得到an與an-1之間的關系。

解:將圓分成n個扇形時,將n個扇形依次設為T1,T2,…,Tn。

設這n個扇形的涂色方法為an種。

當n=2時,a2=4×3=12。

當n＞2 時,T1有4 種 涂 法,T2有3 種涂法,接著T3,T4,…,Tn-1,Tn,依次有3種涂法,故共有4×3n-1種涂法。

但當Tn與T1的顏色相同時,有an-1種涂法,an=4×3n-1-an-1。

點評:求解探究型涂色問題,往往從最簡單的圖形入手,依次分析兩個圖形涂色之間的聯系與差別,進而加以合理推理,構建相應的關系式,得以解決對應的探究性問題,從而實現問題的解決。

對于涂色問題,抓住探究問題的本質,結合涂色圖形的結構特征,以及涂色的種數與限制條件,從關鍵點入手,結合選取顏色加以分析,合理分類討論,借助兩個計數原理以及排列組合知識,注意“重”或者“漏”的情形,進而加以合理操作與計算。