聚焦計數原理的常見題型

■廣東省汕頭市澄海鳳翔中學 徐春生

題型一、組數問題

例1用0,1,2,3,4,5 可以組成____個無重復數字且比2 000大的四位偶數。

解析:完成這件事可分為三類。

①第一類是個位數字為0的比2 000大的四位偶數,可以分三步完成:

第一步,選取千位上的數字,只有2,3,4,5可以選擇,有4種選法;

第二步,選取百位上的數字,除0和千位上已選定的數字外,還有4個數字可以選擇,有4種選法;

第三步,選取十位上的數字,有3 種選法。

由分步乘法計數原理知,這類數的個數為4×4×3=48。

②第二類是個位數字為2的比2 000大的四位偶數,可以分三步完成:

第一步,選取千位上的數字,除去2,1,0,只有3個數字可以選擇,有3種選法;

第二步,選取百位上的數字,在去掉已經確定的首尾2個數字之后,還有4個數字可以選擇,有4種選法;

第三步,選取十位上的數字,有3 種選法。

由分步乘法計數原理知,這類數的個數為3×4×3=36。

③第三類是個位數字為4的比2 000大的四位偶數,其方法步驟同第二類,有36 個數。

對以上三類用分類加法計數原理,得所求無重復數字且比2 000 大的四位偶數有48+36+36=120(個)。

點評:解此類問題的步驟:(1)弄清完成這件事需要做什么;(2)確定是先分類后分步,還是先分步后分類;(3)弄清分步、分類的標準;(4)利用兩個計數原理求解。

題型二、涂色問題

例2如圖1 所示,將四棱錐S-ABCD的每一個頂點染上一種顏色,并且同一條棱上的兩個端點異色,如果只有5 種顏色可供使用,那么不同染色方法的種數為_____。

圖1

解析:(方法一)按所用顏色種數分類。

第一類,5 種顏色全用,共有A55種不同的方法;

第二類,只用4種顏色,則必須某兩個頂點同色(A與C,或B與D),共有2×A45種不同的方法;

第三類,只用3 種顏色,則A與C,B與D必定同色,共有種不同的方法。

由分類加法計數原理得,不同的染色方法種數為A55+2×A45+A35=420。

(方法二)以S,A,B,C,D順序分步染色。第一步,S點染色,有5種方法。

第二步,A點染色,與S在同一條棱上,有4種方法。

第三步,B點染色,與S,A分別在同一條棱上,有3種方法。

第四步,C點染色,也有3 種方法,但考慮到D點與S,A,C相鄰,需要針對A與C是否同色進行分類:當A與C同色時,D點有3種染色方法;當A與C不同色時,因為C與S,B也不同色,所以C點有2種染色方法,D點有2種染色方法。

由分步乘法、分類加法計數原理得,不同的染色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(種)。

點評:涂色問題常用的兩種方法:(1)按區域的不同,以區域為主分步計數,用分步乘法計數原理分析;(2)按顏色的不同,以顏色為主分類討論,用分類加法計數原理分析。

題型三、種植問題

例3從黃瓜、白菜、油菜、扁豆4種蔬菜品種中選出3 種,分別種在不同土質的三塊土地上,其中黃瓜必須種植,則有_____種不同的種植方法。

解析:(方法一,直接法) 若黃瓜種在第一塊土地上,則有3×2=6(種)不同的種植方法。

同理,黃瓜種在第二塊、第三塊土地上,均有3×2=6(種)不同的種植方法。

故不同的種植方法共有6×3=18(種)。

(方法二,間接法) 從4種蔬菜中選出3種,種在三塊土地上,有4×3×2=24(種)方法,其中不種黃瓜有3×2×1=6(種)方法。故共有24-6=18(種)不同的種植方法。

點評:種植問題常用的兩種方法:(1)按種植的順序分步進行,用分步乘法計數原理求解;(2)按種植品種恰當選取情況分類,用分類加法計數原理求解。

題型四、住店問題

例45名應屆畢業生報考3所高校,每人報且僅報1 所高校,則不同報名方法的種數是( )。

A.35B.53C.A23D

解析:每名應屆畢業生只能報1所高校,每所高?？捎啥嗝麘獙卯厴I生報考,所以“應屆畢業生”相當于“客”,“高?！毕喈斢凇胺块g”,5人住3個房間,共有35種不同的住法。故選A。

點評:此類問題用“住店法”求解,解題時需要確定所給的兩類元素,哪一類是“客”(只能有一個選擇的元素為客),哪一類是“房間”(可以容納多個元素的為房間)。

題型五、幾何圖形問題

例5如果一條直線與一個平面垂直,那么稱此直線與平面構成一個“正交線面對”。在一個正方體中,由兩個頂點確定的直線與含有四個頂點的平面構成的“正交線面對”的個數是( )。

A.48 B.18 C.24 D.36

解析:在正方體中,每一個表面有4條棱與之垂直,6個表面,共構成24個“正交線面對”;而正方體的6 個對角面中,每個對角面有2條面對角線與之垂直,共構成12個“正交線面對”,所以共有24+12=36(個)“正交線面對”。選D。

點評:求解幾何圖形問題,分析幾何圖形的結構特點,厘清事件由哪些幾何元素構成,滿足什么樣的幾何特征才能完成一個事件。

題型六、選取問題

例6中國有十二生肖,又叫十二屬相,每個人的出生年份對應了十二種動物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種?，F有十二生肖的吉祥物各一個,甲同學喜歡牛和馬,乙同學喜歡牛、狗和羊,丙同學哪個吉祥物都喜歡,三位同學按甲、乙、丙的順序依次選一個作為禮物,如果讓三位同學對選取的禮物都滿意,那么不同的選法有( )。

A.360種 B.50種

C.60種 D.90種

解析:若甲同學選擇牛,則乙同學有2種選法,丙同學有10 種選法,故不同的選法有1×2×10=20(種);

若甲同學選擇馬,則乙同學有3種選法,丙同學有10種選法,故不同的選法有1×3×10=30(種)。

所以共有20+30=50(種)不同的選法,選B。

點評:當選取問題涉及對象數目很大時,一般有以下兩種方法。

(1)直接法,直接使用分類加法計數原理或分步乘法計數原理。一般地,若抽取是有順序的,則按分步進行;若按對象特征抽取,則按分類進行。

(2)間接法,去掉限制條件,計算所有的抽取方法數,然后減去所有不符合條件的抽取方法數即可。