二項式定理中的賦值技巧

■河南省許昌市建安區第一高級中學 丁書珍

■河南省鄢陵縣第二高級中學 劉俊霞

在二項式定理的求值問題中,尤其是求解二項展開式的系數和等問題時,我們常常采用賦值法求解。即對二項展開式中的相關字母進行賦值,進而得以求解二項式系數及與之相關的綜合問題,在選擇性必修三課本中就給出了用法,讓我們走進課本,從課本入手,了解賦值法在二項式定理中的應用,以便同學們正確掌握二項式定理中的賦值技巧。

已知(1+x)n=C0n+C1nx+C2nx2+…+,令x=1,得 2n=Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn。

這就是說, (a+b)n的展開式的各二項式系數的和等于 2n。

例1求證:在(a+b)n的展開式中,奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和。

解析:奇數項的二項式系數的和為C0n+C2n+C4n+…;

偶數項的二項式系數的和為C1n+C3n+C5n+…。

由于(a+b)n= C0nan+ C1nan-1b+中的a,b可以取任意實數,因此我們可以通過對a,b適當賦值來得到上述兩個系數和。

故在(a+b)n的展開式中,奇數項的二項式系數之和等于偶數項的二項式系數之和。

點評:實際上,a,b既可以取實數,也可以取多項式。我們可以根據具體問題的需要靈活選取a,b的值。

例2已知(3x-1)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0,求下列各式的值:

(1)a8+a7+…+a1+a0;

(2)|a8|+|a7|+|a6|+…+|a0|;

(3)a1+a3+a5+a7。

解析:(1)令x=1,得a8+a7+…+a1+a0=(3-1)8=28=256。

(2)因為|a8|+|a7|+|a6|+…+|a0|=a8-a7+…-a1+a0,所以令x=-1,得:

|a8|+|a7|+|a6|+…+|a0|=a8-a7+…-a1+a0=(-3-1)8=48=65 536。

(3)由(1)和(2)知:

點評:賦值法是求二項展開式系數和及有關問題的常用方法,注意取值要有利于問題的解決,可以取一個值或幾個值,也可以取幾組值,解決問題時要避免漏項。同時,要注意問題的實質及變形,如求各項系數的絕對值的和時,要先根據絕對值里面數的符號賦值求解。同時注意這類問題的變形寫法,如:|a8|+|a7|+|a6|+…+|a0|=a8-a7+…-a1+a0=(a8+a6+a4+…)-(a7+a5+a3+…)等。對于比較繁雜式子的求值問題,要先觀察式子的特點,結合所學知識如因式分解等,對式子進行因式分解,再賦值求解。

例4已知(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn的展開式中的各項系數和為243,求a1+2a2+3a3+…+nan值。

解析:令x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+…+an=3n=243。

解得n=5。

對(2x+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn求導,可得:

2n(2x+1)n-1=a1+2a2x+3a3x2+…+nanxn-1。

令x=1,可得:

a1+2a2+3a3+…+nan=2n·3n-1=2×5×34=810。

點評:觀察問題中的式子,我們發現,an前面的系數是原式xn的冪指數,先借助于求導可以實現數由指數位置向系數位置的轉化,再對求導所得結果賦值即可得到該類型題的答案。

例5(1) 若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a0+a1+a2+…+a6=64,則求實數m的值。

(2)已知C4n=C6n,設(3x-4)n=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+an(x-1)n,求a1+a2+…+an。

解析:(1)令x=1,可得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6=64。

則1+m=2或1+m=-2。

解得m=1或m=-3。

(2)因為C4n=C6n,所以n=10。

則(3x-4)10=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a10(x-1)10。

令x-1=0,即x=1,可得a0=(3-4)10=1。

令x-1=1,即x=2,可得a0+a1+a2+…+a10=(6-4)10=210。

故a1+a2+…+a10=210-1。

點評:在與二項式定理有關的賦值求值問題中,首先要觀察需要求值問題與原題中條件之間的關系,從展開式入手,通過比較,正確找出需要賦的值,才能求出正確的答案。