對一道橢圓試題的解題反思

■安徽省安慶市洪汪寶名師工作室 洪汪寶

在平時的數學學習中,有些同學喜歡大量刷題,但數學成績并不理想,而有些同學平時做題并不多,數學成績卻很好,對比發(fā)現,后者更喜歡問為什么。數學是一門思維很強的學科,同學們解數學題時一定要養(yǎng)成解題反思的習慣,不能就題論題。如何進行解題反思呢? 解題反思要思考什么? 下面結合一道具體的橢圓試題談談如何進行解題反思。

一、題目呈現

題目:在平面直角坐標系xOy中,橢圓的左、右焦點分別為F1、F2,點M在橢圓上,當△MF1F2的面積最大 時,∠F1MF2=120°,且 最 大 面 積 為2 3。

(1)求橢圓C的標準方程;

(2)直線l:x=2 與橢圓C交于第一象限點N,A是第四象限的點且在橢圓C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與橢圓C交于另一點D,求證:ON//AD。

分析:本題主要考查橢圓的幾何性質、橢圓的標準方程、直線與橢圓的位置關系、直線與直線的位置關系等多個知識點,對同學們的邏輯推理能力、運算求解能力、分析問題和解決問題等多種思維能力要求比較高,考查基礎知識,同時考查基本技能與基本方法,考查待定系數法、坐標法等解題方法,同時考查數形結合思想、轉化與化歸思想等數學思想方法,基礎性與綜合性并舉。

第一問是常規(guī)問題,結合圖形分析發(fā)現點M位于短軸端點時,△MF1F2的面積最大,即可得到a,b,c之間的等量關系。第二問先根據題意,作出圖形,要證ON//AD,只需證明兩者的斜率相等即可。又點N的坐標(2,1)確定,直線ON的斜率等于,故只需證明直線AD的斜率為即可,第二問實際上是一道定值問題。

二、解題反思

2.1思考解法

解:(1)當△MF1F2的面積最大時,點M是橢圓短軸的端點。

評注:第二問的解法1 抓住直線ND與NA關于直線x=2對稱,得到這兩條直線的斜率互為相反數,將直線ND的方程與橢圓方程聯立,借助韋達定理求出點D的坐標,即可求出點A的坐標,于是利用斜率公式即可求出直線AD的斜率,體會設而不求的解題思路。解法2直接設直線AD的方程,借助N,D,B三點共線得到向量關系,體會設而不求的解題思路。

2.2思考變式

條件中的直線x=2比較特殊,還有其他直線嗎? 于是得到下面的變式。

變式:直線l:x=x0(0＜x0＜2 2)與橢圓C:交于第一象限點N,A是第四象限的點且在橢圓C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與橢圓C交于另一點D,是否存在定直線l,使得ON//AD? 若存在,請求出該直線方程;若不存在,請說明理由。

解析:設N(x0,y0),則,即4y20-8=-x20。

所以存在定直線l:x=2,使得ON//AD。

評注:在以上推導過程中,發(fā)現直線存在,而且唯一,同時發(fā)現定值:kON·kAD=。于是進一步思考,是否蘊含一般結論呢?

2.3思考推廣

推廣:直線l:x=x0(0＜x0＜a)與橢圓)交于第一象限點N,A是第四象限的點且在橢圓C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與橢圓C交于另一點D,是否存在定直線l,使得ON//AD? 若存在,請求出該直線方程;若不存在,請說明理由。

解析:設N(x0,y0),則,即a2y20-a2b2=-b2x20。

設直線ND:y=k(x-x0)+y0,即y=kx-kx0+y0,則NA:y=-kx+kx0+y0。

設D(x1,y1),A(x2,y2)。

2.4思考拓展

拓展1:直線l:x=x0(x0＞a)與雙曲線交于第一象限點N,A是第四象限的點且在雙曲線C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與雙曲線C交于另一點D,是否存在定直線l,使得ON//AD? 若存在,請求出該直線方程;若不存在,請說明理由。

拓展2:直線l:x=x0(x0＞0)與拋物線C:y2=2px(p＞0)交于第一象限點N,A是第四象限內一點且在拋物線C上,線段AB被直線l垂直平分,直線NB與拋物線C交于另一點D,是否存在定直線l,使得ON//AD? 若存在,請求出該直線方程;若不存在,請說明理由。

在以上推導過程中,使用的方法基本相同,推導的過程基本類似,雖然雙曲線和拋物線中均沒有類似橢圓的一般結論,但得到了斜率之間的關系,收獲不小。所以同學們在解題過程中既要分析試題所考查的知識點、基本數學思想方法、基本能力,還要學會思考試題的多種解法,對其進行變式、推廣、拓展等多個方面探究,長期堅持,一定會提升思維層次和思維質量,從而讓我們的學習更輕松,對數學學習的興趣和信心也更大。