剖析極值點偏移問題的處理方法

■江蘇省鹽城市時楊中學 劉長柏

極值點偏移是指函數在極值點左右的增減速度不一樣,導致函數圖像不對稱,極值點偏移問題常常出現在高考數學的壓軸題中。這類題往往對思維要求較高,過程較為煩瑣,計算量較大。解決極值點偏移問題,常見的有構造對稱函數法和比值代換法,二者各有千秋,獨具特色。

一、極值點偏移的概念

已知函數y=f(x)是連續函數,在區間(a,b)內只有一個極值點x0,f(x1)=f(x2),且x0在x1與x2之間,由于函數在極值點左右兩側的變化速度不同,使得極值點偏向變化速度快的一側,常常有這種情況,稱為極值點偏移。

二、極值點偏移問題的處理方法

1.對稱構造法求極值點偏移問題

例1已知函數f(x)=ax2+ln(x-1)。

(1)求函數f(x)的單調區間;

點評:對稱變換求極值點偏移,主要用來解決與兩個極值點之和、積相關的不等式的證明問題。解題的關鍵在于構造函數,對結論x1+x2＞2x0型,構造函數F(x)=f(x)-f(2x0-x)或F(x)=f(x0+x)-f(x0-x),判斷函數F(x)在某段區間上的正負,并得出f(x)與f(2x0-x)的大小關系,進一步轉化為x與2x0-x之間的關系,進而得到所證或所求;對結論x1·x2＞x20型問題,構造函數,通過研究F(x)的單調性獲得不等式證明。

2.消參減元法求極值點偏移問題

(i)比值代換法求極值點偏移問題。

例3已知函數f(x)=lnx-ax,a為常數,若函數f(x)有兩個零點x1,x2,試證明:x1x2＞e2。

解析:不妨設x1＞x2＞0。

(ii)差值換元法求極值點偏移問題。

例4已知函數f(x)=xe-x(x∈R),若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),證明:x1+x2＞2。

解析:由題意,函數f(x)=xe-x(x∈R),可得f'(x)=(1-x)e-x。

當x＜1時,f'(x)＞0;

當x＞1時,f'(x)＜0。

可知函數f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,且f(0)=0。

又et-1＞0,故等價于證明2t+(t-2)·(et-1)＞0。②

構造函數G(t)=2t+(t-2)(et-1),t＞0,則G'(t)=(t-1)et+1,G″(t)=tet＞0。

故G'(t)在(0,+ ∞)上單調遞增,G'(t)＞G'(0)=0。

從而G(t)也在(0,+∞)上單調遞增,G(t)＞G(0)=0。

故②式成立,也即原不等式x1+x2＞2成立。

點評:比(差)值換元的目的是消參、減元,是根據已知條件首先建立極值點之間的關系,然后利用兩個極值點之比(差)作為變量,從而實現消參、減元的目的。設法用比值(一般用t表示)表示兩個極值點關系,即t=,化為單變量的函數不等式,繼而將所求問題轉化為關于t的函數問題求解。

變式訓練

1.已知函數f(x)=2alnx-x2+2(a-1)x+a。若f(x)有兩個不同的零點x1,x2,求a的取值范圍,并證明:x1+x2＞2a。

解析:f(x)的定義域為(0,+∞)。

當a≤0時,f'(x)＜0 在(0,+∞)上恒成立,則f(x)在(0,+∞)上單調遞減,不符合題意。

當a＞0時,在(0,a)上有f'(x)＞0,在(a,+∞)上有f'(x)＜0,所以f(x)在(0,a)上單調遞增,在(a,+∞)上單調遞減。

f(a)＞0,解得a＞1,經檢驗滿足題意。