不確定轉子系統動力學降階模型構建與模型散度參數辨識*

張義彬,劉保國,2*,劉彥旭,勵精為治

(1.河南工業大學 機電工程學院,河南 鄭州 450001;2.河南省超硬磨料磨削裝備重點實驗室,河南 鄭州 450001)

0 引 言

轉子系統作為航空發動機、燃氣輪機等大型復雜旋轉機械的核心部件,在其設計、加工、制造、安裝和運轉工作過程中普遍存在著不同因素導致的各種不確定性。比如,在轉子系統啟動過程時,因為材料磨損導致幾何尺寸的不確定性[1-3],高溫工作環境導致轉子系統支承剛度的不確定性[4-5],外力干擾引起的載荷不確定性[6]等。

這些不確定性可以分為三類:1)系統自身結構的物理參數與幾何參數隨時間或環境的變化而產生的不確定性;2)外載荷的變異性引起的不確定性;3)模型簡化引入的不確定性,即模型不確定性[7-8]。

在實際工程問題中,針對外載荷、支承剛度、節點質量、偏心距、轉軸楊氏模量等參數不確定性,廣泛采用的方法有攝動法[9]、多項式混沌展開[10-11]、廣義多項式法[12-13]、蒙特卡洛模擬[14]等。這些方法雖然適用于處理參數不確定性,但并不適合用于處理模型簡化引入的模型不確定性(如將轉子簡化為沿轉軸軸線離散分布的集中質量點、模型降階等)[15]。

為描述模型的不確定性,SOIZE C等人[16]提出了基于隨機矩陣理論的非參數方法,并將其用于處理結構動力學系統建模過程產生的模型不確定性,研究了正定質量矩陣和剛度矩陣的非參數隨機建模方法。WU H等人[17]基于最大熵原理和隨機矩陣理論,提出了一種非參數Riccati整體傳遞模型。MATNEY A等人[18]提出了新的Galerkin降階方法,從有限變形的熱彈性單元導出了一組響應和溫度耦合的非線型微分方程組。曹文博等人[19]提出了一種基于正交降階模型和梯度優化以加速穩態流場的收斂方法。楊少沖等人[20]對動載荷作用下的結構損傷識別進行了研究,建立了反映結構狀態的降階模型,以解決未知載荷作用下多自由度結構動力分析計算量大且難以收斂的問題。鄭伶華等人[21]針對高速飛行器機翼結構,采用POD分解和代理模型技術,建立了氣動噪聲的降階分析模型。

以上考慮轉子系統模型不確定性的文獻都把計算模型的散度參數假設為已知范圍內的數值[22],但SOIZE C等人[23]利用結構有限階彈性模態的實驗數據和對應的計算結果,可對散度參數進行辨識。

筆者采用非參數建模方法和矩陣降階方法,構建模型不確定轉子-支承系統的不確定動力學降階模型;提出利用低階臨界轉速及振動數據對降階模型的散度參數進行辨識,以期為結構更加復雜的轉子系統不確定性建模、振動響應預測等研究提供參考。

1 不確定動力學降階模型

1.1 確定性動力學模型

典型雙圓盤轉子-支承系統如圖1所示。

圖1 轉子-支承系統

圖1的轉子-支承系統中,將支承處簡化為支承剛度和阻尼,將其余單元處簡化為集中質量,其輪盤處存在陀螺效應,則系統計算模型如圖2所示。

圖2 轉子-支承系統計算模型

根據圖2所示的計算模型,可得其確定性動力學計算模型:

(1)

(2)

其中:

(3)

(4)

(5)

(6)

1.2 確定性動力學降階模型

動力學模型的降階能夠縮短系統動力學特性的計算時間,其本質是對動力學模型的自由度數進行減縮。

式(1)所示動力學模型對應的齊次式如下:

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

如果不計慣性力對副自由度的影響,則考慮自由振動時,式(11)可簡化為:

(12)

由此可得副自由度位移向量為:

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

綜合式(8)～式(20)可得轉子系統確定性動力學降階模型為:

(21)

1.3 不確定動力學降階模型

設Bd為n階滿秩實數矩陣,對應的隨機矩陣記為Br,且Bd和Br滿足:

Bd=E(Br)

(22)

式中:E(Br)為求隨機矩陣Br的均值矩陣。

對矩陣Bd進行極分解,則有:

Bd=H2U

(23)

式中:U為正交矩陣;H2為正定矩陣。

由于滿秩實數矩陣極分解的極因子矩陣是唯一存在的,因此可用左極分解的方法構造隨機矩陣Br,即:

Br=HBrUBr

(24)

對Br進行奇異值分解,可推導出矩陣HBr和UBr為:

(25)

根據式(23)～式(25),可將轉子系統的不對稱剛度矩陣及阻尼矩陣表示為:

Kr=HKrUKr

(26)

式中:HKr為隨機矩陣。

Cr=HCrUCr

(27)

根據文獻[24]的非參數動力學建模方法,式(26)中HKr為隨機矩陣,且滿足:

(28)

利用Hd和G的上三角因子矩陣可計算出HKr和HCr,再將結果代入式(26)和式(27)中,便得到不確定剛度矩陣Kr和不確定阻尼矩陣Cr:

(29)

(30)

(31)

2 模型散度參數辨識方法

在第1.3節中,筆者構建了轉子系統的不確定轉子-支承系統的動力學模型,但模型中的散度參數是未知的。

根據文獻[25]的方法,利用實驗得到的振型矩陣Ψ和確定性動力學模型的振型矩陣φ可對不確定動力學降階模型中的散度參數進行辨識。

假設u為實驗得到的廣義坐標列向量,ud為確定性動力學計算模型的廣義坐標列向量,則有:

Ψu=φud

(32)

(33)

(34)

3 辨識方法的實驗驗證

3.1 實驗步驟

為了驗證散度參數辨識方法的有效性,筆者在轉子實驗平臺上進行實驗驗證。

轉子實驗臺實物圖如圖3所示。

圖3 轉子實驗臺

實驗分為三個步驟:1)對圖3的轉子系統進行確定性動力學建模,并計算出其最低階臨界轉速和主振型;2)利用第2節的方法估算出散度參數的數值;3)采用第1節的方法建立的不確定系統非參數動力學計算模型,計算出3 800 r/min以內的不平衡位移響應結果,并將其和確定性動力學模型所計算的振動響應進行對比分析。

轉子實驗臺參數如表1所示。

表1 轉子實驗臺參數

3.2 估算散度參數

利用確定性動力學模型可以得到轉子系統的坎貝爾圖,如圖4所示。

圖4 確定性動力學計算模型Campbell圖

由圖4可知,確定性系統的一階反、正進動臨界轉速分別為ωBc1=2 872 r/min和ωFc1=2 967 r/min。

圖5 確定性動力學計算模型的一階振型

轉子系統一階振型如圖6所示。

圖6 轉子系統一階振型

S=(ψTψ)-1ψTφ

(35)

將矩陣S代入式(33)～式(34),估算出的散度參數為δM=0.018 4,δK=0.130 9。

3.3 散度參數辨識結果的實驗驗證

筆者將圖3所示的轉子系統劃分為20個節點,利用1.2節降階方法將節點數減縮為11個,采用第1節的非參數動力學降階計算模型和第3.2節的散度參數識別結果,預測在3 500 r/min轉速范圍內4個位置處的振動位移響應結果,對實驗數據與預測結果進行比較和分析。

實驗結果與非參數不確定動力學計算模型預測結果對比如圖7所示。

圖7 振動響應實測結果與非參數動力學模型預測的對比

圖7實驗結果表明:在轉速范圍3 000 r/min內,實驗測出的振動響應曲線、確定性計算模型和非參數不確定動力學計算模型所得到的振動響應曲線幾乎重合。但是在3 000 r/min～3 800 r/min轉速區間時,非參數動力學計算模型的預測均值曲線相比確定性動力學計算模型更接近實際振動響應曲線。

在轉速時:

在位置1處,確定性和不確定性動力學振動響應幅值分別為2.17×10-4m和1.55×10-4m,與實測結果1.72×10-4m相比分別相差26.47%和10.21%,與確定性模型相比,非參數模型的預測結果更接近實際結果。

在位置2處,兩種計算模型的振動響應幅值分別為3.69×10-4m和2.67×10-4m,與實際結果2.96×10-4m相比分別相差24.66%和9.79%。

在位置3處,兩種計算模型的振動響應幅值分別為2.95×10-4m和2.11×10-4m,與實際結果2.39×10-4m相比分別相差23.43%和11.71%。

在位置4處,兩種計算模型的振動響應幅值分別為7.61×10-4m和5.45×10-4m,與實際結果6.22×10-4m相比分別相差22.34%和12.37%。

根據以上四個位置的振動響應實驗對比可知:非參數動力學模型的均值計算結果與實際結果更相近,表示第一節提出的模型比轉子系統確定性模型更合理;并且,在散度參數計算中得到的散度參數δM=0.018 4,δK=0.130 9也相對合理。

4 結束語

針對不確定性轉子系統,基于隨機矩陣理論和非參數動力學建模方法,筆者構建了模型不確定性動力學降階計算模型;利用系統確定性模型的一階臨界轉速、振型和實驗數據,對動力學模型的散度參數進行了辨識;并在轉子實驗臺上對散度參數辨識結果進行了實驗驗證。

研究結果表明:

1)將非參數建模與矩陣極分解方法相融合,并進行靜態矩陣降階,可以建立具有模型不確定性的轉子系統動力學計算模型;

2)轉速在3 000 r/min范圍內時,由確定性動力學模型和不確定動力學模型得到的振動響應均與實際結果接近;轉速在3 000 r/min～3 800 r/min范圍時,不確定動力學計算模型的均值計算結果比確定性動力學模型更接近實際結果。表明在轉子模型中考慮模型不確定性更加合理。

在后續的研究工作中,筆者擬將動態矩陣降階方法應用于模型不確定性轉子系統中。