橋式起重機分布式質量吊重系統雙擺滑模控制*

靳國良,孫茂凱,王生海,黃 哲,王丙昱,孫玉清

(大連海事大學 輪機工程學院,遼寧 大連 116026)

0 引 言

橋式起重機作為工業生產中常見的吊裝設備,被廣泛應用在工廠、碼頭和工程建設場地,進行各種物資吊運作業。

隨著橋式起重機吊裝場景的變化,其吊重也從質點式向分布式質量方向發展,工業上相應地也對橋式起重機吊重減擺和小車定位控制技術提出了新要求。

在保證吊裝作業安全的前提下,橋式起重機小車的理想運行狀態是盡可能朝著目標位置快速前進,并實現精確定位目的。與此同時,吊重也同步到達預定位置并消除擺動[1]。但是,橋式起重機作為一種典型的欠驅動系統,受起重機系統內部摩擦、環境載荷以及其他未知擾動因素的干擾,具有很強的非線性特性,各狀態變量存在較強的耦合特性[2];這增加了多變量、強耦合、欠驅動的橋式起重機吊重減擺控制的難度[3]。

國內外學者依托機器人學和現代控制理論,利用運動軌跡規劃[4]、自適應控制[5]、輸入整形[6]、滑模控制[7]、魯棒控制[8]等方法,研究了橋式起重機吊重的防擺控制問題,取得了新的理論突破。但這些研究仍主要集中在質點式吊重的搖擺控制方面,對現今工程場景中的分布式質量吊重搖擺抑制研究不足,不能有效地指導工程建設。

MASOUD Z等人[9]設計了一個由輸入整形和閉環控制方法相結合的雙組合控制器,其采用虛擬的帶有積分器的反饋控制器,消除由第一個控制器引起的吊鉤、吊重的殘留擺動,通過仿真和實驗證實了該方法的有效性;但該方法涉及的數學模型復雜,采用該方法設計的控制器適應性差。OUYANG Hui-min等人[10]針對旋轉式起重機的雙擺擺動控制問題,提出了一種基于能量成形的非線性控制器,實現了對起重機吊臂、小車定位的良好控制目的;但上述研究涉及的控制運算復雜,實際推廣受限。RAUSCHER F等人[11]針對起重機雙擺中由機械阻尼干擾引起的超調和殘余擺角控制問題,設計了一種基于微分平坦度的間接自適應前饋控制器的參數自適應方法,該方法實現了對橋式起重機小車-吊重系統運動軌跡的精確控制目的;但其微分方程組求解計算復雜。肖友剛等人[12]利用線性擴張狀態觀測器來測量起重機吊鉤、吊重的擺動角度,并采用滑模控制器抑制吊重的擺動;但其未考慮來自系統內部擾動和外部環境變量對擺動控制的影響。TANG Rui等人[13]針對分布式質量吊重的搖擺控制問題,設計了一種采用風抑制指令、平滑指令的開環控制方法,分別消除分布式質量吊重的自然擺動和由操作人員引起振蕩;但該方法的控制效果對系統模型的精確度依賴性較高。文天賜等人[14]針對大型吊裝作業的吊裝特點,設計了一種基于神經網絡的雙吊車自適應防擺控制方法;但該控制器對大型負載的擺動抑制效果不敏感。

綜上所述,目前中外學者在常規吊重減擺理論研究和技術推廣方面已取得了較大的進步,但在以集裝箱和風電塔筒為代表的分布式質量吊重的減擺研究方面仍有很大的技術創新空間。因此,筆者將分布式質量吊重系統的雙擺控制作為研究重點。

首先,考慮電機驅動特性、摩擦阻力以及外界環境不確定性擾動對橋式起重機分布式質量吊重擺動控制的影響,筆者設計普通滑模控制器(OSMC)和分層滑模控制器(HSMC);然后,采用Lyapunov函數和Barbalat引理對控制器的穩定性進行證明;最后,對控制器的魯棒性和抗干擾性進行數值仿真研究。

1 動力學模型

1.1 分布式質量吊重系統雙擺數學模型

橋式起重機小車和分布式質量吊重系統的雙擺模型如圖1所示。

圖1 分布式質量吊重系統雙擺模型

在考慮小車電機驅動特性、系統摩擦阻力以及外界環境不確定性擾動的基礎上,筆者使用歐拉-拉格朗日方程,建立了橋式起重機分布式質量吊重系統的雙擺動力學方程;結合分布式質量吊重的轉動特性對雙擺動力學方程進行修正,結果表示如下:

(1)

(mh+mp)gl1sinα=fd2+Δα

(2)

(3)

式(1)～式(3)用矩陣形式表示如下:

(4)

其中:

M(q)=

G(q)=[0(mh+mp)gl1sinαmplhgsinβ]T,

F=[F0 0]T,Δ=[ΔxΔαΔβ]T,

(5)

在保證橋式起重機作業安全前提下,筆者對橋式起重機分布式質量吊重系統作如下假設:

假設1分布式質量吊重在吊運過程中吊鉤擺角α和吊重β始終保持在(-π/2,π/2)之間;

假設3鋼絲繩l1和l2均為不可拉伸形變的剛體,其拉力和質量忽略不計。

1.2 電機數學模型

F=Fc-Ff

(6)

(7)

(8)

將式(8)代入式(7)中,得到直流電機驅動力Fc的計算公式,表示如下:

(9)

1.3 系統摩擦力和不確定性擾動數學模型

定義橋式起重機小車-分布式質量吊重系統中摩擦力為Ff,公式表示如下[15]:

(10)

通過多次仿真模擬,筆者將黏性摩擦系數設置為δ1=2.2,δ2=36,δ3=1.3,δ4=1.8,δ5=65,δ6=0.26。

除了摩擦力Ff外,其他含有未知參數的不確定性擾動統一用向量fd表示,即:

fd=[fd1fd20]T

(11)

其中:

(12)

式中:k1,k2為橋式起重機吊重、吊鉤在空氣中擺動時所受的空氣阻尼系數和在小車行進方向上運動時系統的摩擦阻尼力系數。

2 控制器設計及穩定性判斷

2.1 普通滑模控制器(OSMC)設計

筆者設置系統狀態變量q=[xαβ]T的目標狀態變量為qd=[xd0 0]T,橋式起重機分布式質量吊重系統的小車位置跟蹤誤差為e=x-xd。

令普通滑模控制器(OSMC)滑模面s表示如下:

(13)

式中:λ1,λ2,λ3為整定參數。

(14)

將系統的滑模控制律設計為:u=ueq+usw。

將式(1)代入式(14),經整理可得到等效控制量ueq的表達式如下:

(15)

為降低系統的抖動,筆者引入飽和函數sat(s)代替符號sgn(s)函數。飽和函數sat(s)表示如下:

(16)

式中:ε為大于0的常數,表示表面邊界層的厚度。

(17)

其中:Min(λ(Δ))>Max(λ(Δx))。

2.2 普通滑模控制器(OSMC)穩定性證明

定義控制系統的Lyapunov函數為:

(18)

顯然,V1(t)是正定的。

對式(18)求導,可得:

(19)

將式(1)、式(17)代入式(19),則有:

(20)

所以,控制系統在滑模面s上是全局穩定的。這也意味著基于OSMC的閉環系統的所有狀態量都可以到達滑模面s上。OSMC可以消除橋式起重機分布式質量吊重的擺動和跟蹤小車運動軌跡。

對V1(t)求二次導數,結果如下:

(21)

接下來需要證明當系統在滑模面s=0時,系統的狀態變量會沿著滑模面s趨于平衡點。

其證明過程如下:

1.1 研究對象 2016年10月至2018年3月在復旦大學附屬眼耳鼻喉科醫院眼科門診診斷為視野損害前青光眼（開角型）的患者。

(22)

然后,將式(22)改寫為:

(23)

其中:

Φ(γ)=

(24)

為保證系統穩定,可通過調整參數λ1、λ2和λ3,讓矩陣B的所有特征值都在復平面左半開平面遠離虛軸的位置,這樣矩陣B為Hurwitz穩定矩陣;此時,存在正定矩陣P,滿足BTP+PB=-Q(Q為正定矩陣);最后,考慮到橋式起重機在實際吊裝作業中遭遇到的擾動是有限的,也就意味著Φ(γ)是有界的,假設其滿足:‖Φ(γ)‖≤Lg‖γ‖(Lg∈R+)。

構造的Lyapunov函數如下:

V2=γTPγ

(25)

對式(25)求導,則有:

-λmin(Q)‖γ‖2+2‖γ‖‖PC‖Lg‖γ‖≤

-(λmin(Q)-2Lg‖PC‖)‖γ‖2

(26)

式中:λmin(Q)為正定矩陣Q的最小特征值。

由于e=x-xd,所以x→xd成立。所以,在s=0時,通過調整參數λ1、λ2、λ3值,非線性系統可以在平衡點處實現漸進穩定。

2.3 分層滑模控制器(HSMC)設計

將式(1)代入式(2)、式(3)中,可得到橋式起重機-小車系統的動力學等價表達式,即:

(27)

fd2+Δα-(mh+mp)gl1sinα)

(28)

mpglhsinβ+Δβ)

(29)

為實現橋式起重機分布式質量吊重系統中小車定位、吊重減擺的同步聯合控制目的,需要同時考慮小車位移x、吊鉤擺角α及分布式質量吊重擺角β這三個目標控制量。所以筆者采用兩層滑模面來保證系統的穩定性,即將橋式起重機分布式質量吊重系統的狀態變量分為位移子系統和擺角子系統,每個子系統的滑模面都滿足李雅普諾夫穩定性理論。因此,子滑模面是漸進穩定的;之后,筆者定義系統總的滑模面是子滑模面的線性組合,這樣可以保證子滑模面的快速收斂[16]。

按照上述思路,設計的子滑模面表示如下:

(30)

按照上述思路,筆者整理得到ueq1、ueq2、ueq3的表達式,即:

(31)

(fd1+Δx)(mt+mh+mp)+

(32)

ueq3=

(33)

系統總控制律u、子系統ueq和切換控制律usw關系表示如下:

u=ueq+usw=ueq1+ueq2+ueq3+usw

(34)

式中:ueq1,ueq2,ueq3為位移子系統、擺角子系統的控制律。

為保證整個系統的穩定,筆者對第一層滑模面的ueq1、ueq2和ueq3進行線性化,設計了包含子系統的第二層滑模面S,表示如下:

S=η1s1+η2s2+η3s3

(35)

式中:η1,η2,η3為滑模面系數。

對滑模面S求導,則有:

(36)

(37)

將式(37)代入式(34),可以得到總控制律u的表達式,表示如下:

(38)

2.4 分層滑模控制器(HSMC)穩定性證明

筆者利用Lyapunov穩定性定理、Barbalat引理來證明HSMC的穩定性。

首先,對第二層滑模面的穩定性進行證明,構造Lyapunov函數如下:

(39)

對式(39)求導,則有:

-KS2-n0‖S‖≤0

(40)

接下來需要對系統第一層滑模面的穩定性進行證明。根據Barbalat引理可知:

(41)

(42)

同時,根據物理常識可知,系統的狀態變量在重力和系統阻尼的雙重作用下最終會到達平衡點位置,表示如下:

(43)

綜上可得:

(44)

由式(35)知,當S=0時:

(45)

3 仿真分析

筆者采用MATLAB/Simulink仿真的方式,檢驗所設計的OSMC、HSMC對橋式起重機小車-分布式質量吊重系統的雙擺控制性能。

3.1 滑模控制器對比仿真

為檢驗滑模控制器對橋式起重機小車-分布式質量吊重系統的雙擺擺動抑制效果,筆者利用OSMC和HSMC進行仿真研究。

橋式起重機系統模型參數如表1所示。

表1 橋式起重機系統模型參數

橋式起重機小車位移控制結果如圖2所示。

圖2 橋式起重機小車位移

從圖2可以看出:與OSMC相比,HSMC對橋式起重機小車位移控制響應速度更快。

在小車目標距離設定為2 m的時候,這兩種控制器對小車位移的控制都出現了不同程度的超調,OSMC對小車位移的超調量最大值約為0.65 m,并且位移殘余誤差約0.1 m;而HSMC對小車位移的超調量約為0.2 m,并在12 s就平穩到達目標位置,位移殘余誤差約0.025 m,這說明了HSMC對小車運動控制效果好,穩定誤差小。

橋式起重機吊鉤擺角控制如圖3所示。

圖3 橋式起重機吊鉤擺角

橋式起重機吊重擺角控制如圖4所示。

圖4 橋式起重機吊重擺角

從圖3和圖4可以看出:OSMC對吊鉤和分布式質量吊重的擺動抑制響應較慢,約30 s到達穩定狀態;HSMC對吊鉤和分布式質量吊重的擺動變化響應迅速,在12 s實現對分布式質量吊重擺動抑制目的。

3.2 滑模控制器魯棒性分析

保持其他參數不變時,筆者將橋式起重機參數值l1、l2、mh、mp分別增加10%、20%和30%,進行OSMC和HSMC魯棒性仿真研究。

控制器的魯棒性仿真參數如表2所示。

表2 控制器魯棒性仿真參數

OSMC和HSMC的魯棒性仿真對比結果如圖5所示。

圖5 控制器魯棒性仿真對比

從圖5可以看出:隨著吊鉤mh、分布式質量吊重mp及吊索l1、l2數值的增大,筆者設計的OSMC和HSMC均具有較強的魯棒性,對吊鉤、分布式質量吊重的擺動表現出良好的抑制性能。

3.3 控制方法有效性對比

筆者將所設計的OSMC、HSMC與基于低通濾波器的時間最優分布式質量吊重減擺控制方法進行仿真對比[18],以檢驗OSMC和HSMC對橋式起重機吊重系統雙擺抑制的有效性。

保持小車質量mt不變,其他物理量參數設置如下:mh=2.5 kg,mp=34.13 kg,l1=1.13 m,l2=1.12 m,lp=0.5 m。

控制方法有效性對比結果中,橋式起重機小車位移如圖6所示。

圖6 橋式起重機小車位移

從圖6可以看出:相較于OSMC,筆者設計的HSMC的響應速度更快,超調量和穩定誤差更小,橋式起重機小車的定位控制能力更好。

控制方法有效性對比結果中,橋式起重機吊鉤擺角控制如圖7所示。

圖7 橋式起重機吊鉤擺角

控制方法有效性對比結果中,橋式起重機吊重擺角控制如圖8所示。

圖8 橋式起重機吊重擺角

從圖7和圖8可以看出:筆者設計的HSMC可以在9 s內完成吊鉤和分布式質量吊重的搖擺抑制,并且吊鉤和吊重的擺動穩定誤差小。

此外,筆者發現在相同仿真環境下,文獻[17-18]設計的控制器對分布式質量吊重在3°以下的搖擺控制性能優越,而筆者設計的HSMC對吊鉤和分布式質量吊重在5°～9°下的擺動有著良好的控制效果,這為研究分布式質量吊重在大角度(5°以上)下的減擺控制提供了參考。

最后,通過3.1和3.3節發現,在增大分布式質量吊重和吊鉤質量比的同時減小一級擺繩與二級有效擺繩長度比,可以提高控制器的減擺控制能力。

3.4 抗干擾性檢驗

考慮到橋式起重機在作業中會面臨許多干擾因素,比如碰撞或是環境的風擾動等。因此,橋式起重機必須具備較強的抗干擾性[19-22]。

在第20 s,筆者對橋式起重機分布式質量吊重系統施加一個階躍擾動信號,進行系統的抗干擾性仿真檢驗,以驗證該控制器的抗擾動性能。

對比結果如圖9所示。

圖9 控制器抗擾動仿真對比

從圖9可以看到:在對系統施加擾動后,采用OSMC可在10 s內完成對吊鉤、分布式質量吊重的擺動進行消擺;采用HSMC可在5 s內實現擺動抑制目的,并且穩定誤差小,消擺效果更好。

4 結束語

針對橋式起重機吊裝分布式質量吊重時的大角度擺動抑制和小車定位精度控制問題,筆者考慮了橋式起重機系統自身和外界環境擾動對分布式質量吊重擺動控制的影響,設計了OSMC、HSMC,開展了吊重大角度擺動抑制方面的數值仿真研究。

研究結論如下:

1)筆者設計的滑模控制方法可以保證小車快速、平穩地到達預定位置,實現對吊鉤和分布式質量吊重擺動的有效抑制目的;同時,該方法對來自起重機系統外部的干擾表現出較強的魯棒性和抗干擾性;

2)OSMC和HSMC在控制吊鉤、分布式質量吊重擺動方面互相形成對比,突出了HSMC在分布式質量吊重減擺控制過程中具有的消擺迅速、穩定誤差小的優勢;并且筆者設計的HSMC實現了對吊鉤、分布式質量吊重在5°～9°擺動下的快速、高效抑制目的,說明HSMC在抑制分布式質量吊重搖擺方面具有優勢。

在后續的研究中,筆者將搭建橋式起重機分布式質量吊重雙擺實驗平臺,以進一步驗證該控制方法的有效性,并探討它們在工程應用上的可行性。