天波超視距雷達非均勻采樣信號頻譜重構

陳子睿, 陳阿磊, 劉維建, 楊 軍, 陳文峰, 馬曉巖

(空軍預警學院, 湖北 武漢 430019)

0 引 言

天波超視距雷達(over-the-horizon radar, OTHR)作為一種特殊體制的遠程預警雷達,利用電離層對電磁波的折射和反射效應,能夠突破地球曲率的限制,實施視距之外的海況信息提取和艦船目標檢測等任務[1-4]。與常規微波雷達相比,OTHR能夠更早地發現大、中型艦船,將海面預警效率提高了30～50倍[5]。但利用OTHR快速、及時地定位海面目標需要克服許多尚未解決的難題[6]。在對海探測模式下,強大的海雜波是影響海面目標檢測的主要因素,雜噪比(clutter to noise ratio, CNR)通常在50 dB以上[7-8],因此需要足夠長的相參積累時間(coherent integration time, CIT)來提高信雜噪比(signal-clutter-noise ratio, SCNR)與多普勒分辨率[1]。而較長的CIT會帶來兩個問題[7,9]:① 對于空海探測兼容工作模式,對海探測的長CIT會導致空中目標被照射的間隔過長、數據更新率較低,不利于目標的快速跟蹤。② OTHR的電波傳播路徑中存在嚴重的相位污染和瞬態干擾問題,長CIT條件下通常難以得到完整、均勻采樣的有效數據。

針對上述問題,有兩種解決方案:① 短CIT條件下的目標檢測。通過縮減CIT克服上述問題,此方案受到CIT較短的限制,通常利用超分辨譜估計方法解決多普勒分辨率較低的問題[10],或利用雜波抑制方法抑制海雜波以凸顯目標[11-13]。② 長CIT條件下非均勻采樣信號的目標檢測。將長CIT中受到干擾的信號或用于對空探測的信號抽出,然后通過帶有缺損的非均勻采樣信號重構完整頻譜[14-18]。本文主要針對方案②的非均勻采樣信號頻譜重構問題進行研究。由于信號缺損,一般采用先對缺損信號補零、再采用快速傅里葉變換(fast Fourier transform, FFT)的方法實現,但這會導致頻譜出現嚴重的柵瓣。為解決此問題,文獻[15-16]利用海雜波與目標信號在頻域上的稀疏特性,通過基于壓縮感知(compressed sensing, CS)的貪婪類重構算法對非均勻采樣信號進行頻譜重構。此類算法在處理低維度、小尺度問題上具有較高的運算效率,但重構精度并不理想。此外,包括貪婪算法在內的大多數CS重構算法注重對稀疏信號的重構,忽略對背景特性的保留,因此通過CS重構的信號難以與現有的雜波抑制和恒虛警(constant false alarm rate, CFAR)處理方法相結合,為后續處理增加了難度[19]。文獻[9]通過構造具有低秩特性的Hankel矩陣,利用非精確增廣拉格朗日乘數(inexact augmented Lagrange multiplier, IALM)法實現低秩矩陣恢復(low-rank matrix recovery, LRMR)。文獻[18]利用修正的奇異值閾值(singular value thresholding, SVT)算子的思想求解魯棒主成分分析(robust principal component analysis, RPCA)問題,從而實現LRMR。LRMR類方法在缺損信號數量較少的條件下,具有較高的重構精度,而隨著缺損信號數量增加,重構性能急劇下降,且此類算法較長的運算時間難以滿足OTHR對實時探測的要求。

針對上述方法的不足,本文提出了一種快速自適應復近似消息傳遞(fast adaptive complex approximate message passing, FACAMP)頻譜重構算法對非均勻采樣信號進行頻譜重構。首先,建立了OTHR頻域信號的稀疏模型。然后,針對復近似消息傳遞(complex approximate message passing, CAMP)算法[20]自適應參數選擇問題和重構誤差問題[21],對CAMP算法進行改進,使用基于最小均方誤差(minimum mean square error, MMSE)準則的復降噪函數代替復軟閾值函數,并在迭代過程中自適應估計閾值參數。最后,利用FACAMP實現OTHR頻譜重構,通過實測數據與現有方法對比分析其重構性能。FACAMP頻譜重構算法具有以下優勢:① 重構精度高。不僅能夠恢復海雜波與目標信號的幅度和相位信息,而且能夠保留原噪聲背景的高斯性,使得重構信號能夠直接與現有信號處理方案結合并進行后續處理。② 運算復雜度低。具有較快的收斂速度和較低的單次迭代復雜度,算法的運算時間能夠滿足OTHR對實時探測的需求。③ 自適應性強。能夠在不同環境的海雜波背景和不同采樣數條件下,自適應估計并選擇合適的閾值參數。理論分析和仿真實驗均驗證了所提算法的有效性。

1 信號模型與CAMP算法

本節分別對OTHR完整和非均勻采樣回波信號進行建模,闡述了如何使用CAMP解決頻譜重構問題,并指出了現有方法的不足。

1.1 完整回波信號模型

信號重構實現于波束形成和匹配濾波之后,OTHR使用FFT實現相參積累,將某個距離單元的慢時間回波向量y∈CN×1變換到頻域x∈CN×1,通過逆快速傅里葉變換(inverse fast Fourier transform, IFFT)得到,即y=IFFT(x),其中N為一個CIT內的脈沖個數,y可表示為

y(n)=s(n)+c(n)+r(n),n=1,2,…,N

(1)

式中:n為脈沖數索引;s、c和r分別表示目標向量、雜波向量和噪聲向量,維數均為N×1。由于海面艦船目標運動速度較慢,可視其為勻速運動,且由于OTHR的距離分辨單元尺寸較大,其在一次CIT內的距離走動可以忽略[22]。因此,目標向量s的第n個數據[23-24]為

s(n)=aexp(j2πfd(n-1)Tr)

(2)

根據Bragg散射理論[25-26],OTHR海雜波頻譜可建模為兩個關于0 Hz對稱的Bragg峰[27-28],稱為一階海雜波,而二階及更高階海雜波比一階海雜波低約10～40 dB,一般可直接用高斯白噪聲或正弦信號表示[7]。因此,在不考慮頻譜展寬的情況下,海雜波向量的第n個數據為

c(n)=b1exp(j(2πfb(n-1)Tr+φ1(n)))+
b2exp(j(-2πfb(n-1)Tr+φ2(n)))

(3)

式中:b1、b2分別為正負Bragg峰對應的幅度系數;fb為海雜波對應的Bragg頻率;φ1(n)、φ2(n)為由電離層不穩定造成的相位擾動項[29-30]。

將式(2)和式(3)代入式(1)得到:

y(n)=aexp(j2πfd(n-1)Tr)+
b1exp(j(2πfb(n-1)Tr+φ1(n)))+
b2exp(j(-2πfb(n-1)Tr+φ2(n)))+
r(n),n=1,2,…,N

(4)

慢時間向量y與頻域向量x的對應關系可通過逆傅里葉矩陣A∈CN×N表示:

y=Ax

(5)

式中:矩陣A的第(p,q)個元素為ap,q=exp(j2π(p-1)(q-1)/N),p=1,2,…,N;q=1,2,…,N。由式(4)可知,目標和雜波對應的頻率分別為fd和±fb,而噪聲相對雜波和目標較弱。因此,頻域向量x具有近似稀疏性,非零值集中在頻率fd和±fb處。

1.2 非均勻采樣回波信號模型

(6)

式中:M

圖1 感知矩陣構造方式Fig.1 Construction way of sensing matrix

因此,式(5)在非均勻采樣條件下可改寫為欠定方程組:

y′=A′x

(7)

式(7)的解有無窮多個,但由于x具有近似稀疏性,式(7)可轉換為最小絕對收縮和選擇(least absolute shrinkage and selection operator, LASSO)問題,從而通過CS重構算法恢復信號完整頻譜[20,31]:

(8)

1.3 CAMP算法

針對式(8),CAMP算法執行迭代如下[20]:

(9)

(10)

(11)

由于雜波背景的復雜性和缺損信號數量的不確定性,最佳閾值參數τ是變化的。文獻[19]給出了一種自適應方案,但需要多次執行CAMP算法以選擇最佳閾值,運算量較高。此外, LASSO問題導出的復軟閾值函數會導致重構精度下降[21]。為解決上述問題,本文提出FACAMP頻譜重構算法。

2 FACAMP頻譜重構算法

本節對FACAMP算法進行理論分析,首先推導了基于MMSE準則的復降噪函數ηMMSE,并以此代替復軟閾值函數;其次,給出了ηMMSE參數的自適應估計方案;最后,給出了FACAMP算法的實現步驟。

2.1 構造復降噪函數

文獻[33]針對實數信號,將稀疏信號的非零元素建立為伯努利-高斯先驗模型[34]:

(12)

(13)

(14)

式中:

(15)

2.2 參數估計

2.2.1σ0t的估計

(16)

2.2.2pt的估計

(17)

(18)

則錯誤判決概率為

(19)

將錯誤判決概率設為α,得到閾值γt:

(20)

(21)

式中:sum(·)為計數函數;1(·)為指示函數。

2.2.3ut與σ1t的估計

(22)

假設各元素獨立同分布,構造似然函數:

(23)

(24)

至此,給出了所有未知參數的估計。將式(14)改寫為

(25)

2.3 FACAMP頻譜重構算法實現步驟

綜上所述,FACAMP頻譜重構算法流程歸納為算法1所示。

算法 1 FACAMP頻譜重構算法輸入 非均勻采樣慢時間信號y',感知矩陣A';輸出 頻譜x的非稀疏估計x～;初始化:x^0=0,z0=y',t=1,tmax=100;步驟 1 更新非稀疏估計x～t=A'Hzt-1+x^t-1;步驟 2 通過式(20)計算閾值γt;步驟 3 分別通過式(16)、式(21)、式(24)計算估計值σ^0t,p^t,σ^1t和μ^t;步驟 4 更新中間變量zt=y'-A'x^t-1+zt-11δ?η^MMSEt(R)?x(R)(x～t);步驟 5 更新稀疏估計和迭代次數x^t=η^MMSEt(x～t),t=t+1;步驟 6 迭代終止條件若t>tmax或x^t+1-x^t22/x^t22<10-5終止迭代,否則執行步驟1至步驟5的循環操作。

(26)

(27)

至此,本文給出了FACAMP頻譜重構算法的實現步驟。下面對比現有算法對實測數據的處理結果,分析FACAMP頻譜重構算法的重構性能。

3 實驗與分析

為驗證所提算法的有效性,本文采用某OTHR海面回波實測數據進行驗證分析。數據的脈沖數量為N=512,在距離維度截取了80個距離單元。通過FFT進行相參積累,得到完整信號的距離多普勒(range Doppler, RD)圖,如圖2所示。幅度單位已轉換為dB,為更好展示實驗結果,值域范圍設置為230～290 dB,圖中包含強海雜波和3個目標,分別標注為目標1、目標2和目標3,目標參數設置如表1所示,其中信噪比表示相參積累后的信噪比,由于目標頻率均未設置在網格點上,各目標的相參積累增益不同。

圖2 完整回波信號RD圖Fig.2 RD diagram of complete echo signal

實驗測試包括頻譜重構結果、采樣信號數量對重構精度的影響、算法復雜度分析和目標檢測性能分析4個方面。對比算法分別為補零FFT法、正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit, OMP)[15-16]法、自適應復近似消息傳遞(adaptive complex approximate message passing, ACAMP)[19]法、奇異值閾值算子的魯棒主成分分析(robust principal component analysis-singular value thresholding, RPCA-SVT)[18]法和非精確增廣拉格朗日乘數(inexact augmented Lagrange multiplier, IALM)[9]法,參數設置與原文獻保持一致。其中OMP、ACAMP和FACAMP為CS重構算法,RPCA-SVT與IALM為LRMR算法。

3.1 頻譜重構結果

分別將降采樣率δ設置為0.5和0.78,對應有效采樣脈沖個數分別為M=256和M=400,采樣方式為隨機采樣。圖3展示了當M=256時,通過各算法重構的RD圖,圖4為第13個距離單元(目標3)的頻譜。圖5展示了當M=400時,通過各算法重構的RD圖,圖6為第46個距離單元(目標2)的頻譜。對重構的目標所在位置進行了標注。

圖3 RD圖重構結果(M=256)Fig.3 RD map reconstruction results (M=256)

圖4 頻譜重構結果(M=256)Fig.4 Spectrum reconstruction results (M=256)

圖5 RD圖重構結果(M=400)Fig.5 RD map reconstruction results (M=400)

圖6 頻譜重構結果(M=400)Fig.6 Spectrum reconstruction results (M=400)

從圖3、圖4可知:當M=256時,OMP、ACAMP、FACAMP能夠較好地實現頻譜重構,補零FFT、RPCA-SVT和IALM的重構性能欠佳。其中OMP重構信號是不連續的,因為背景中包含許多零值,而ACAMP和FACAMP則能夠較好地同時實現目標、海雜波與噪聲的重構。

從圖5、圖6可知:當M=400時,除補零FFT外的所有算法均能實現信號與海雜波的重構。其中RPCA-SVT重構的RD圖含有較多的虛假重構點,IALM、ACAMP與FACAMP的重構效果相對較好,與原信號頻譜最為接近。此外,根據近似消息傳遞的狀態演化分析[32],FACAMP重構的噪聲信號與原信號一樣,均服從零均值高斯分布。

3.2 采樣信號數量對重構精度的影響

圖7 NMSE與采樣脈沖數曲線Fig.7 NMSE versus sampling pulse number curve

從圖7可知,基于CS的OMP、ACAMP和FACAMP在采樣脈沖數少于384時,NMSE低于RPCA-SVT和IALM算法,FACAMP相對于ACAMP的NMSE降低了約2～3 dB。隨著采樣數的增加,RPCA-SVT和IALM的NMSE不斷降低,其中IALM在采樣脈沖數高于400時,NMSE最低。因此,可以得出以下結論:在低采樣數條件下,CS重構算法的重構精度高于LRMR重構算法;在高采樣數條件下,RPCA-SVT和IALM的重構精度更高;在CS重構算法中,FACAMP的重構精度始終高于OMP和ACAMP。

3.3 算法復雜度分析

圖8 FACAMP收斂曲線Fig.8 FACAMP convergence curve

因此,上述算法總復雜度由高到低的排序為:IALM>RPCA-SVT>ACAMP>OMP>FACAMP。

算法復雜度可以通過運算時間表征。在采用Intel八核處理器和內存為16G的計算機上,利用上述實驗數據,采用仿真軟件對5種算法進行RD譜重構,分別設置不同的采樣脈沖數,得到運算時間曲線,如圖9所示。通過圖9可知,運算時間隨采樣脈沖數的變化并不明顯,其中FACAMP的運算時間約為1 s,OMP的運算時間約為10～20 s,ACAMP的運算時間約為30 s。RPCA-SVT的運算時間約為400～700 s,而IALM的運算時間達到2 000 s以上。FACAMP的運算時間明顯少于其他算法,與理論分析結果保持一致。

圖9 運算時間曲線Fig.9 Running time curve

綜上所述,將各算法的重構性能歸納于表2,運算時間和NMSE均為對本文的RD圖進行重構而得到的數據。

表2 算法重構性能比較Table 2 Algorithm reconstruction performance’s comparison

3.4 目標檢測性能分析

本節通過繪制檢測性能曲線,進一步驗證算法對目標的重構性能。根據CAMP算法的狀態演化分析,其具有保持背景噪聲高斯性的獨特優勢[20],且由于多普勒域存在強海雜波的干擾,使用距離維單元平均恒虛警處理(cell average-CFAR, CA-CFAR)得到目標的檢測性能曲線。設置虛警概率為Pf=10-3,檢測閾值通過106次蒙特卡羅仿真計算得到,信噪比(signal-to-noise ratio, SNR)范圍設置為0～26 dB,其定義為SNR=10lg(Ps/Pn),其中Ps和Pn分別表示信號功率和噪聲功率。將參考單元和保護單元的數量分別設置為24和4,通過在2 000組實測數據中注入目標以計算檢測概率。圖10為采樣脈沖數分別為256、320、384時FACAMP和補零FFT的檢測性能曲線,以及完整采樣條件下FFT的檢測性能曲線。

圖10 檢測性能曲線Fig.10 Detection performance curve

從圖10可知,當采樣脈沖數分別為256、320、384時,由補零FFT導致的頻譜失真現象會使目標覆蓋于噪聲背景中。當SNR為0～26 dB時,幾乎無法檢測到目標。而FACAMP有效解決了頻譜失真問題,使目標的檢測性能有了很大的提升,且隨著采樣脈沖數的增加,目標的檢測性能不斷提升。

4 結束語

本文針對OTHR非均勻采樣的頻譜重構問題,提出了一種FACAMP頻譜重構算法,算法具有重構精度高、運算速度快、自適應性強和可保留背景噪聲高斯性的優點。與低秩矩陣恢復算法相比,所提算法在低采樣脈沖數下具有更高的重構精度,且運算復雜度顯著降低;與CS重構算法相比,所提算法運算速度和重構精度均有一定提升,且能夠與現有CFAR處理方案結合。由于在實際應用中,采樣數量是已知的,在下一步工作中,可以通過自適應選擇頻譜重構算法實現最高的重構精度,同時需綜合考慮運算時間的成本,選擇最佳頻譜重構方案。