基于灰色關聯協同效應權重配置的費用預測模型

趙 潞, 方志耕, 于 亮, 張亞東, 邱璽睿, 華晨晨

(1. 南京航空航天大學經濟與管理學院, 江蘇 南京 211106; 2. 中國航天科技集團有限公司, 北京 100048)

0 引 言

復雜裝備是指客戶需求復雜、產品組成復雜、產品技術復雜、制造過程復雜、項目管理復雜的一類裝備,如航天器、飛機、航空母艦、武器系統等[1]。隨著時代的進步,費用逐漸成為影響裝備發展的首要問題,如何篩選影響復雜裝備費用的關鍵要素并精確有效地進行費用估算預測,提高經費使用效率,越來越成為軍事領域關注的重點。

現有的費用預測問題研究可分為兩類,一類是通過歷年的裝備費用樣本數據,研究僅考慮時序的費用預測問題[2-4];另一類是根據樣本的費用及參數信息,對目標裝備的費用進行估算預測,常見的傳統方法包括參數法、類比法和工程估算法等[5]。由于影響復雜裝備費用的要素眾多,而裝備本身又具有小樣本、貧信息的特點,通過一般傳統方法較難解決這類問題。王景玫等[6]針對航天裝備小子樣、復雜度高等問題,提出了基于技術成熟度與支持向量機的航天型號研制成本預測模型,提高了預測精度。Zhang等[7]設計了基于模糊集的民用飛機通用性指標評估方法,通過層次分析法確定各指標權重并構建神經網絡模型,用于預測新型飛機的研發成本。蔡偉寧等[8]利用3種預測方法構建組合預測模型,對飛機研制費用進行預測,取得了良好效果。此外,灰色系統理論也被廣泛應用于解決復雜裝備小樣本、多變量費用預測的問題,Jiang等[9]通過傅里葉級數的殘差修正模型對傳統灰色模型GM(1,N)模型進行改善,提高預測準確度。袁泉等[10]對GM(0,N)中參數的累加順序進行改進。吳利豐等[11-12]從相似度和敏感性角度對樣本數據進行重新排序,上述幾種方法都提高了GM(0,N)模型的費用預測精度。Tian等[13]提出了一種基于灰色數列的IN-GM(0,N)模型,用以解決信息不確定的成本因素下商用飛機成本預測問題。Chen等[14]通過建立跨界缺失數據的特征序列N-GM(0,N)模型預測總體成本空缺數據的灰色區間,并通過對參考序列的排序將其白化,實現復雜裝備總體成本的估算。Chen等[15-16]使用灰色關聯分析篩選費用關鍵影響要素并進行相關性分析,通過二次回歸分析降低要素間相關性的影響,并進行商用航空飛機的費用估算;在后續研究中,又提出了變量重要性投影分析方法和回歸模型的組合,通過逐步回歸解決小樣本和參數間強相關性問題,以此提高成本預測精度。灰色系統理論還可以和信息熵理論[17]、神經網絡[18-22]等不同理論方法結合,以進一步提高復雜裝備費用預測的準確性。

隨著研究的深入發現,在灰色整數階預測結果較差時,采用分數階模型能夠取得更好的結果。文獻[23-25]提出并總結了分數階累加的離散灰色模型,并研究了其適用范圍。羅佑新[26]在單變量分數階灰色模型FGM(1,1)的基礎上,建立了多變量分數階累加灰色模型FMGM(1,N),并驗證了模型的有效性。方世力[27]通過極大熵理論篩選費用關鍵影響要素并確定權重,構建異階多參數分數階灰色模型FOGM(0,N),有效提高了運載火箭費用預測精度。在已有的相關研究中,往往存在以下幾個方面的問題:① 以樣本數據進行建模預測時未考慮到各樣本與目標間的不同相似度會對費用關鍵影響要素的篩選和費用預測產生影響;② 在多參數費用估算預測問題中,分數階模型的階數通常是一個恒等常數;③ 估算預測模型中各要素間往往存在著協同效應和共線性,難以解決這類情況下關鍵要素的篩選和實際權重分配問題。

本文針對同類型復雜裝備小子樣、貧信息的情況,根據相似信息優先原理,將各樣本按與目標的相似度大小進行排序;在灰色關聯度篩選并確定費用關鍵影響要素權重大小的基礎上,提出了在要素間具有協同效應的情況下,參考Shapley值思想進行權重的進一步分配,并借助異階參數的分數階GM(0,N)模型進行費用預測。經過實例測算對比,本文方法能夠有效地提高復雜裝備費用預測的精度,證明了所提方法的有效性和可行性。

1 考慮協同效應的灰色預測模型構建

1.1 灰色關聯度分析

灰色關聯度分析是在小樣本、貧信息下,將因素之間發展趨勢的相似或相異程度,亦即“灰色關聯度”,作為衡量因素間關聯程度的一種方法。當兩個因素變化的趨勢具有一致性,即同步變化程度較高時,可謂二者關聯程度較高;反之,則較低[28]。

在進行費用預測前,通過灰色關聯度分析能夠較為有效地確定與目標裝備更為相似的樣本。若樣本與目標裝備各參數指標值趨近一致,則二者費用應接近;若樣本與目標裝備各參數指標值變動趨勢相似,則二者指標所對應的費用也應符合指標變動規律。同理,若多個相似樣本的某一費用影響要素(即特征參數)的變動趨勢與費用變動趨勢一致,則說明該要素的變動引起費用的同步變動,該要素對費用的影響程度相對較大,可初步選作費用關鍵影響要素。灰色關聯分析定義如定義1所示。

定義 1設Xi={xi(j)|i=1,2,…,n;j=1,2,…,m}為系統行為序列,X0={x0(1),x0(2),…,x0(m)}為參考序列。

則

(1)

稱

(2)

為序列Xi與X0的灰色關聯度[28]。

(3)

定理 1當原始數據的累加階數r∈(0,1)時,將樣本數據按關聯度大小從低到高排序,與目標型號灰色關聯度大的樣本中,其同類要素權重更大。

x(0)(i)的系數為

x(0)(i-1)的系數為

因此,在同類要素x(r)(k)的表達式中,x(0)(i)比x(0)(i-1)具有更大的權重,x(0)(i)所在的樣本對應的灰色關聯度大于x(0)(i-1)所在的樣本,符合相似信息優先原則,即與目標型號越相似的樣本數據在建模時應具有越高的權重。

證畢

根據定理1,計算各樣本型號Ai(i=1,2,…,n-1)與目標型號An費用影響要素間的灰色關聯度,從低到高進行重新排序并除去關聯度較低的樣本數據,以保證關聯度越高的樣本型號數據在預測費用時所占的權重越大。最終重新排列后的數據矩陣如下所示:

(4)

此時,An-1為與所求型號An最相似的樣本型號數據,A1為在滿足設定的關聯度邊界條件下與所求型號An最不相似的樣本型號數據。

對式(4)中的各費用影響要素做與費用間的灰色關聯度分析,劃定關聯度邊界值θ,當γj1(j=2,3,…,N)>θ時,保留該項要素作為費用的關鍵影響要素,反之則舍去,獲得要素篩選矩陣如下所示:

(5)

1.2 考慮要素協同效應的Shapley值權重配置模型

一般來說,要素對費用的影響程度越大,則該要素在費用估算預測模型中的權重應越大。由于通過灰色關聯度篩選的費用關鍵影響要素間可能存在著協同效應,若直接采用要素與費用間的灰色關聯度大小來確定要素權重,則忽視了要素間協同作用的影響,使得各要素權重配置不合理,費用預測的偏差增大。通過相關性分析雖能判斷兩個要素間可能存在協同效應,但難以衡量單個要素對費用的實際影響程度,也難以測定各要素在費用估算預測模型中的實際權重。因此,可通過灰色比較關聯重要性進行協同作用下費用關鍵影響要素實際權重的配置。

(6)

定義 4設γj1(j=2,3,…,m,23,24,…,23,…,m)表示各要素與費用間的灰色關聯度,I={2,3,…,m}為m-1個原始要素的集合,參考Shapley值思想進行要素協同效應下灰關聯提高的貢獻度分配,分配計算內容如表1所示。

表1 要素灰色比較關聯重要性計算表Table 1 Table for calculating importance of grey comparative association of elements

其中,s為I的子集,s?I;v(s)為s對應的灰色關聯度,若組合后集合的灰色關聯度低于組成該集合的任一原始要素的灰色關聯度,則表1中該集合的v(s)=0,即該組合不存在正向協同效應;v(si)為集合s中除去要素i后剩余要素集合的灰色關聯度,若v(si)>v(s),則v(s)=v(si)=0,即要素i參與后對灰色關聯度提高起到負作用,加入要素i后的組合也不存在正向協同效應;v(s)-v(si)為要素i使灰色關聯度提高的邊際貢獻;|s|為集合中元素的個數;w(|s|)為各元素個數所占的權重;w(|s|)[v(s)-v(si)]為在要素i存在協同效應的各子集中i的貢獻度,累加后為要素i的總貢獻度,即i的灰色比較關聯重要性。

定理 2若存在要素間的灰色關聯協同影響效應,集合s對應的灰色比較關聯重要性權重w(|s|)=(|s|-1)!·(n-|s|)!/n!。

證畢

定理 3若存在要素間的灰色關聯協同影響效應,各原始單要素的灰色比較關聯重要性應為∑s∈Siw(|s|)[v(s)-v(si)],Si為子集個數。

證明s為I的子集,當s=1、即不考慮與其他要素間關系時,v(s)為該要素與費用間的灰色關聯度,v(si)為除去該要素后子集中的其他要素與費用間的灰色關聯度,該要素的灰色比較關聯重要性權重為w(|1|)=(n-1)!/n!=1/n,故該要素在不考慮協同效應影響下的灰色比較關聯重要性為w(|1|)[v(1)-v(1i)];當s=2、即考慮兩個要素間的協同效應時,根據上述步驟可知,所求要素對應情況下的灰色比較關聯重要性為w(|2|)[v(2)-v(2i)]。以此類推,當要素間存在灰色關聯協同影響效應時,要素在各子集s下對應的灰色比較關聯重要性為w(|s|)[v(s)-v(si)],故該要素的總灰色比較關聯重要性為∑s∈Siw(|s|)[v(s)-v(si)]。

證畢

在構造要素灰色比較關聯重要性計算表時,只考慮灰色關聯度擴大的灰色關聯協同影響效應,在此基礎上進行相關貢獻度的分配,故要素灰色比較關聯重要性計算表在形式上與Shapley值計算表相似,但在不滿足Shapley值思想有效性的前提下也可進行分配計算。

定理 4當存在要素間的灰色關聯協同影響效應時,各關鍵影響要素的實際權重為灰色比較關聯重要性的歸一化值。

證畢

定理 5當不存在要素間的灰色關聯協同影響效應時,要素的權重應為灰色關聯度的歸一化值。

證畢

1.3 異階離散分數階累加預測模型

在灰色分數階累加模型中,多參數的累加模型階數一般都為同階,而異階離散分數階模型不同參數的階數不同,且分別代表其權重。通過灰色關聯協同效應權重配置獲得各費用關鍵影響因子的實際權重,以此作為對應參數的累加階數,構建異階離散分數階累加費用預測模型。

(7)

參數的最小二乘估計滿足:

[a,b2,b3,…,bm]T=(BTB)-1BTY

(8)

其中

(9)

(10)

引理 1在異階離散分數階累加GM(0,N)模型中,累加階數ri越大,在相對擾動界中影響力越大,對解的影響越敏感,反映費用影響要素的權重越大,反之亦然。相關證明過程詳見文獻[27]。

模型中的累加階數ri分別為各要素在協同效應下的實際權重,由于費用不參與要素協同效應的權重分配,故其階數r1可取各要素權重的平均值。以最小二乘求得模型系數后計算得到目標費用的r1階累加值,通過累減還原得到預測費用。

1.4 預測模型構建及求解步驟

綜上所述,基于灰色關聯協同效應權重配置的費用預測模型構建及求解步驟如下。

步驟 1計算樣本與待預測裝備的灰色關聯度。

步驟 2根據步驟1中結果的大小對樣本進行篩選排序,計算各費用影響要素與費用間的灰色關聯度,篩選費用關鍵影響要素。

步驟 3構建樣本協同效應矩陣,并計算各關鍵影響要素協同效應下的灰色關聯度。

步驟 4計算各關鍵影響要素的灰色比較關聯重要性及權重。

步驟 5構建灰色分數階累加預測模型并求解系數。

步驟 6將待預測裝備各關鍵影響要素累加值代入預測模型,累減還原得到費用預測結果。

2 實例分析

2.1 民用飛機成本費用預測

為了便于比較,本文采用文獻[18]中的相同樣本數據進行目標裝備的費用估算預測,并與原文方法進行對比,以此證明本文方法的合理性及可行性。

表2為部分進行脫密處理后的民用飛機參數和成本費用信息,現使用表中前7組數據,對機型8和機型9兩種大型飛機的成本費用進行預測,并對預測結果精度進行比較。

表2 各型號民用飛機成本費用與相關參數Table 2 Cost expenditure and related parameters of each type of civil aircraft

步驟 1原始數據無量綱化處理。

以機型8為待預測裝備為例,通過均值法進行無量綱化處理,消除數據中不同量綱的影響,得到處理后的數據矩陣如表3所示。

表3 各型號民用飛機成本費用與相關參數處理表Table 3 Cost expenditure and related parameter processing table of different types of civil aircraft

步驟 2計算各樣本與待預測型號的灰色關聯度。

由于機型8為待預測裝備,沒有成本費用數據,在計算樣本與待預測型號的灰色關聯度時僅考慮各費用影響要素間的相似性。根據式(1)和式(2)計算樣本型號1～7與待預測型號8的灰色關聯度,此時系統行為序列為

以此類推,分別計算得到各樣本與待預測型號的灰色關聯度并劃定邊界值θ,將關聯度大于θ的樣本型號按關聯度從低到高進行排序,此處取θ=0.60,計算結果如表4所示。

表4 型號8灰色關聯度排序表Table 4 Model 8 grey relational grade ranking table

步驟 3篩選費用關鍵影響要素。

對篩選完成后不包含待預測裝備的數據矩陣重新進行無量綱化處理,以便根據高相似度的樣本數據進行費用關鍵影響要素的選取。篩選排序并無量綱化后的數據矩陣如表5所示。

表5 篩選排序數據處理表Table 5 Filtering and sorting data processing table

對表5中的費用影響要素,即特征參數進行篩選,確定關鍵影響要素,此時系統行為序列為各費用影響要素序列:X1={2.233 3,1.575 3,1.024 9,0.917 3,0.650 1,0.259 6,0.339 5},X2={1.031 2,1.019 1,0.994 8,1.019 1,1.031 2,0.958 4,0.946 3},…,X6={1.311 1,1.157 5,1.053 3,1.141 1,1.020 4,0.559 6,0.757 1};參考序列為X0={1.831 8,1.400 3,1.012 1,1.221 2,0.854 7,0.223 8,0.456 0}。

根據式(1)和式(2)計算得到上述民用飛機的費用影響要素與費用間的灰色關聯度分別為:0.748 5,0.583 5,0.683 2,0.570 4,0.737 7,0.679 7。由式(9)和式(10)可知,第1行的樣本數據一般不參與分數階累加預測模型的系數求解,而在測算過程中往往取比參與計算的樣本數量少2個左右的要素作為費用關鍵影響要素[27]。當選擇要素過多時,不易求解含常數項的分數階累加預測方程系數;當選擇要素過少時,所建立的方程丟失信息過多,忽略了部分對費用變動較為敏感的要素。由于灰色關聯度越高,要素對費用的影響程度越大,此處設定影響要素灰色關聯度邊界值θ=0.65,故選取最大起飛重量、發動機最大推力、最大載油量和機身長度作為民用飛機費用的關鍵影響要素。

步驟 4構建協同效應矩陣并計算要素灰色關聯度。

將費用關鍵影響要素指標值分別相乘,構建如式(6)所示的協同效應數據矩陣,對所得矩陣進行無量綱化處理后根據式(1)和式(2)分別計算單要素指標、兩要素相乘指標、三要素相乘指標、…、n要素相乘指標與費用間的灰色關聯度,以判斷是否存在協同效應,計算結果如表6所示。

表6 協同效應下要素與費用的灰色關聯度Table 6 Grey relational grade between elements and costs under synergistic effect

步驟 5要素間協同效應下權重的分配。

根據定義4,通過Shapley值思想計算各要素的灰色比較關聯重要性,具體過程如表7所示。

表7 要素1灰色比較關聯重要性計算表Table 7 Table for calculating relational importance of grey comparative of elements 1

根據定理3,由表7中數據計算結果可知,要素1的灰色比較關聯重要性為

φ1=0.173 8+0.014 3+0+0.017 3+0+0+0+

0=0.205 4。

同理可得φ2=0.182 5,φ3=0.204 2,φ4=0.224 5。由此,可根據定理4確定各要素對費用影響程度的權重為w1=0.251 6,w2=0.223 5,w3=0.250 0,w4=0.274 9。

步驟 6灰色分數階累加預測模型構建及求解。

根據引理1,以步驟4中獲得的各要素權重作為分數階累加預測模型中各要素的累加階數,由于費用不參與要素協同效應的權重分配,故費用項的階數為各要素權重的平均值0.25。根據分數階累加公式:

以此分別計算各費用關鍵影響要素的樣本參數累加值,得到樣本數據矩陣為

Y=(265.675,235.671 9,272.747 7,236.857 1,
147.046 5,161.281 7)T

通過式(8)最小二乘法求得分數階累加預測模型的系數值,將其代入式(7),得到分數階累加預測模型為

步驟 7累減還原得到預測結果。

由于該預測模型所需的自變量值為分數階累加后的參數值,因此在進行費用預測時需通過分數階累加公式計算在已有樣本情況下待預測型號的各參數累加值,即

累減還原后得到型號8的預測費用為

預測誤差為-9.561 6%。經過相同步驟得到型號9的預測費用為172.933 8百萬元,預測誤差為0.309 6%。與原文模型的擬合預測對比結果如表8和表9所示。

表8 多元線性回歸模型、GM(0,N)模型、GM(0,N)-BP組合模型與本文模型擬合預測效果檢驗表Table 8 Multiple linear regression model, GM(0,N) model, GM(0,N)-BP combination model and the proposed model fit prediction effect test table

表9 不同預測模型平均誤差結果對比Table 9 Comparison of the average error results of different prediction models %

由表8和表9可知多元線性回歸、GM(0,N)模型和GM(0,N)-反向傳播(back propagation, BP)神經網絡組合模型的平均擬合誤差分別為1.980 0%、5.325 7%和0.002 9%,預測平均誤差分別為16.670 0%、26.725 0%和11.650 0%。與這3種方法相比,采用本文所提方法的擬合誤差為1.562 9%,預測平均誤差降低到4.935 6%,擬合精度相比前兩種方法均有所降低,而預測平均誤差為所采用的4種方法中最佳的。

為避免數據測算出現的偶然性,證明本文所提出的方法具有一定的有效性和可行性,對表2中各型號的費用分別進行了估算預測,預測結果如表10所示。

表10 各型號民用飛機成本費用預測誤差表Table 10 Cost expenditure forecast error of each type of civil aircraft

表10中的預測結果表明,通過本文方法對多組參數樣本分別進行模型構建和費用預測,盡管由于部分待預測型號與其余已知樣本間的總體灰色關聯度不高,相似程度較低,使得預測誤差相對較大,但預測結果的平均誤差為6.41%。若使用與目標更為相似的多個樣本則能使預測精度進一步提高,總體而言,預測結果仍具有較高的精確性,在一定程度上能夠滿足工程實際問題中的需要。

2.2 原樣本變化情況下民用飛機成本費用預測

由于在樣本相似度排序和費用關鍵影響要素篩選中都運用了灰色關聯分析,當樣本數量變動時,有時會導致排序順序和要素篩選結果的變動,從而使得預測模型及預測結果發生變化。本節以表2中的數據為例,分別考慮新增和減少一個民機樣本的情況下,型號8的成本費用預測變動情況。

(1) 減少一個樣本數據

去除表2中與型號8灰色關聯度較高的樣本型號1,計算得到剩余樣本與待預測型號的灰色關聯度如表11所示。經上述步驟計算得到各費用影響要素與費用間的灰色關聯度分別為:0.661 7,0.563 6,0.616 9,0.531 1,0.689 2,0.653 7。

表11 型號8灰色關聯度排序表Table 11 Model 8 grey relational grade ranking table

當選擇最大起飛重量、發動機最大推力、最大載油量和機身長度4個要素作為費用關鍵影響要素時,各要素的累加階數(即權重)分別為0.228 7,0.261 4,0.244 7,0.265 2,費用的累加階數為0.25。通過最小二乘回歸得到型號8的費用估算預測模型為

經預測得到型號8的費用為44.41百萬元。

當選擇最大起飛重量、最大載油量和機身長度3個要素作為費用關鍵影響要素時,各要素的累加階數(即權重)分別為0.335 3,0.285 1,0.379 6,費用的累加階數為1/3。通過最小二乘回歸得到的型號8的費用估算預測模型為

預測所得型號8的費用為48.654 8百萬元。

(2) 增加一個樣本數據

在表2樣本數據的基礎上,增加型號10的樣本數據,其費用及各參數值如表12所示。計算得到的所有樣本與待預測型號8的灰色關聯度如表13所示。

表12 型號10樣本數據Table 12 Model 10’s sample data

表13 型號8灰色關聯度排序表Table 13 Model 8 grey relational grade ranking table

經上述步驟計算得到各費用影響要素與費用間的灰色關聯度分別為:0.715 8,0.542 7,0.812 1,0.540 3,0.640 5,0.657 1。設定灰色關聯度邊界值θ=0.60,選擇最大起飛重量、發動機最大推力、最大載油量和機身長度4個要素作為費用關鍵影響要素,各要素的累加階數(即權重)分別為0.226 8,0.321 2,0.200 7,0.251 4,費用的累加階數為0.25。通過最小二乘回歸得到的型號8的費用估算預測模型為

預測所得型號8的費用為57.36百萬元。

與原樣本數據預測對比的結果如表14所示。

表14 不同樣本量預測結果及誤差對比Table 14 Comparison of prediction results and errors for different sample sizes

通過預測結果對比分析可知,由于本文預測模型中相似樣本的選取排序、關鍵影響要素的篩選和權重的設定都是基于灰色關聯度進行的,當樣本數量發生變動時,各樣本間及要素與費用間的灰色關聯度都會發生變動,導致最終預測結果發生改變。通過對比原始數據和增減樣本后的要素灰色關聯度可以發現,在減少一個相似度較高的樣本后,剩余樣本的總體灰色關聯度降低,預測結果偏差增大;在增加一個相似度較高的樣本后,樣本的總體灰色關聯度提高,預測結果偏差變小,且在樣本變動時,各要素灰色關聯度間的大小關系發生了變化,由此可見樣本量的變動會對關鍵影響要素的篩選產生影響。因此,在原有樣本數據發生變動時,關鍵影響要素的選取、權重的確定和預測模型也會發生相應的改變,預測結果也會發生變化。

此外,通過算例對比分析可知,在小子樣情況下,關鍵影響要素選擇比樣本數量少2時能夠在一定程度上提高預測精度;樣本與待預測裝備的總體灰色關聯度越高,關鍵影響要素的篩選及權重的確定越準確,預測精度越高。

3 結束語

本文提出了一種基于灰色關聯協同效應貢獻度分配的由要素權重配置確定灰色多元離散分數階模型階數的方法。該方法考慮了各費用影響要素間的協同效應,依據各要素灰色比較關聯重要性的大小,將權重分配到各個獨立要素中,進一步挖掘了費用影響要素的潛在作用。預測結果顯示,該方法比傳統的多元線性回歸、GM(0,N)模型及部分改進后的GM(0,N)模型具備更高的估算預測精度,也具有一定的適用性。

在復雜裝備研制初期,尤其是樣本量不足、相關的費用影響要素較少且存在大量協同效應的情況下,本文提出的方法能夠更好地適用于復雜裝備的費用估算,并取得了良好的預測效果。

本文通過灰色關聯協同效應權重配置模型和異階灰色分數階累加預測模型,較好地解決了貧信息背景下同類或相似類型復雜裝備的費用預測問題,但在面對全新的新型復雜裝備費用預測問題時,可能出現以往樣本與待預測新裝備關聯度低或無樣本信息的情況。本文方法僅能通過添加與目標裝備的費用關鍵影響要素較為接近的樣本來嘗試進行預測,易出現預測偏差較大或無法進行預測的結果。因此,在面對全新的復雜裝備時,如何對費用進行精準預測,仍需進一步研究。