基于動態估計反饋的灰色理論航跡關聯算法

邱建杰, 蔡益朝, 李 浩, 黃權印

(空軍預警學院, 湖北 武漢 430014)

0 引 言

在預警防空情報系統中為了對多目標航跡數據進行融合,首先需要進行“航跡-航跡”之間的數據關聯[1]。因此,作為整個空情系統的基礎,航跡關聯的正確率直接決定了后續航跡融合與目標識別的質量[2-5],并對后續的對敵威脅評估、戰場態勢生成乃至于戰略指揮決策都起著關鍵性作用。為了進一步提高航跡關聯的正確率,給后續空情系統的高效運轉提供可靠支撐,廣大學者對關聯場景中的各類問題做了大量深入研究,并開發出了特點各異的關聯算法。

當前應用較為廣泛的航跡關聯算法大致可分為基于概率統計類[6-8]、基于模糊數學類[9-11]、基于人工智能與神經網絡類[12-14]3種。其中,基于概率統計類關聯算法的核心觀點是計算航跡間的各類統計距離,再通過假設檢驗來驗證航跡間是否關聯,該類算法步驟簡短易實現,在航跡數量較少,傳感器量測精度較高的情況下可以取得較好的關聯效果,但隨著觀測區域目標數量與傳感器誤差的增大,該類算法往往難以達到預期效果;基于模糊數學類的關聯算法則通過各類模糊隸屬度函數來計算航跡間的模糊隸屬度,通過比較模糊隸屬度的大小來判斷航跡間的關聯關系,這就轉換了關聯思路,進一步提升了算法在密集場景下的關聯正確率,但這類算法參數設置過于復雜,不利于工程實現;基于人工智能類的航跡關聯則是利用神經網絡強大的學習能力以及非線性擬合能力通過在樣本數據上的不斷訓練迭代來調整神經回路中的隱含參數以解決各類復雜場景下的關聯問題,但難點在于如何獲取足夠的適用于作戰場景的樣本數據。

灰色理論中的灰色關聯分析法則為航跡關聯提供了一種新方法:通過點跡序列所組成航跡的幾何形狀的相似度來判斷航跡間的關聯概率,同時灰色關聯分析法還具有對樣本數量要求不高,不須依賴噪聲先驗分布規律等優點[15-16]。據此,文獻[17-18]提出一種基于灰色理論的航跡關聯模型,文獻[19]利用多維分配理論將雙傳感器關聯拓展至了多傳感器,實現了全局最優航跡關聯,但由于文獻[17-19]中使用兩級最大、最小差來計算航跡間的灰色關聯度,難以反映航跡間的相對關系,故而當傳感器觀測目標數量不完全相同時關聯效果急劇下降。因此,文獻[20]改用三級最大、最小差來計算航跡間的灰色關聯度,同時省略了區間值化的過程,進一步強化了航跡間的相對關系,使不同傳感器間的數據具有了可交換性。文獻[21]通過考慮航跡整體態勢相似度與歷史局部特征相似度對灰色關聯矩陣進行修正,從而實現兩級關聯判決,進一步推進了灰色關聯理論與航跡關聯問題的實質結合。但上述文獻存在未充分考慮歷史航跡,或是利用航跡歷史信息時直接對其進行序貫求和等問題。而在密集目標等特殊環境下,傳感器誤差可能使鄰近目標的點跡易位,對于這類信息不經篩選直接利用,在一定程度上會加劇航跡錯批的可能性。考慮到這一問題,本文利用Sage-Husa估計器[22-25]來實時估計傳感器觀測噪聲協方差,并利用Critic權重法[26-28]將觀測噪聲協方差轉化為各時刻傳感器輸出數據的信度權重,再利用序貫航跡關聯算法的思想對各時刻的灰色關聯度進行序貫加權求和,從而進一步降低傳感器誤差較大時對于關聯系統的影響。經過多場景下的仿真驗證,本文提出的關聯算法比加權法、修正加權法、模糊法以及傳統的灰色關聯度關聯算法更加理想,同時相較于傳統灰色關聯度算法,改進后本文算法能夠更加正確有效的突出航跡關聯對間的灰色關聯度。

1 問題描述

1.1 系統方程

為了便于表達,本文所描述的關聯模型均是在坐標轉換、誤差配準等數據預處理工作已完成的前提下進行的。

考慮到勻速目標可由勻加速目標將加速度設零得到,以勻加速目標為例,其運動模型為

(1)

(2)

(3)

H(k+1)為傳感器的觀測矩陣,一般來說在預警防空情報系統中傳感器只能通過目標當前狀態觀測到位置信息,故

(4)

(5)

W(k)、V(k+1)分別表示目標運動時產生的過程噪聲以及傳感器在對目標進行探測過程中產生的觀測噪聲。且兩類噪聲滿足

(6)

式中:q,r分別表示過程噪聲與觀測噪聲的均值;Q(k),R(k)為其對應的噪聲協方差矩陣。在傳統的關聯模型中通常將噪聲均值設定為零,且一般用常值矩陣來表示噪聲協方差矩陣代入運動方程計算,但在作戰環境下復雜的作戰背景以及敵方電磁干擾會令觀測噪聲的協方差矩陣具有時變特性。因此,本文將采用Sage-Husa估計器來實時估計觀測噪聲的協方差矩陣,并將其作為評估傳感器實時性能的依據,為后續本文算法的開展奠定基礎。

1.2 灰色關聯分析法原理

灰色關聯分析法的主要思想是將航跡關聯問題轉化為模式識別問題,即將傳感器l探測到的nl個目標點跡視為對應數量的已知模式,將傳感器m探測到的nm個目標點跡視為待識別模式,將待識別模式與識別模式進行兩兩對應,即可實現關聯功能。

在介紹前先做如下假設:

為了防止量綱不同導致數據間失去可比性,在計算航跡間灰色關聯度前,要對航跡進行生成化處理。灰色關聯分析法一般采用區間值化來對航跡信息的各維度狀態信息進行標準化處理。

(7)

式中:o=1,2,…,no;i=1,2,…,n1。則參考序列目標i的點跡與待識別序列目標j的點跡在k時刻指標o方面的關聯系數為

(8)

式中:Δij(k,o)稱為Xi和Xj第o個指標的絕對差,即k時刻兩目標點跡標準化后第o個指標的數據差值絕對值

Δij(k,o)=|ΔXi(k,o)-ΔXj(k,o)|

(9)

ξij={ξij(k,o),o=1,2,…,no}

(10)

為了便于進行篩選識別正確的航跡關聯對,將每個目標與參考目標各指標上的關聯系數融合為一個值,便稱為待識別目標與參考目標在當前時刻的灰色關聯度,記為

γij=γ(Xi,Xj)

(11)

按照各指標設定的權重來計算灰色關聯度

(12)

通常采用平均法,即取αo=1/no(o=1,2,…,no)。

在計算出各航跡間的灰色關聯度后,即可根據其構建出與之對應的灰色關聯矩陣:

(13)

運用最大灰色關聯度原則來選取對應的候選航跡關聯對,即令

(14)

式中:i=1,2,…,n1。接著對候選航跡關聯對進行關聯門限判別,超過判別門限的才可確定為航跡關聯對,即

其中,ε為關聯門限,一般取ε>0.5。

2 基于動態估計反饋的灰色關聯度航跡關聯算法

從第1.2節的描述中不難看出,傳統的灰色理論分析法僅依靠當前時刻的目標狀態開展航跡關聯,而并未考慮到航跡歷史信息的重要性,在復雜電磁環境下當傳感器性能被抑制時算法性能將受到影響。為了使算法具有更加廣泛的應用場景以及更加優秀的關聯效果,在算法中引用序貫關聯算法[8]的思想,同時將傳感器輸出數據的實時質量轉化為各時刻的序貫權重,使算法能夠動態調整各時刻目標狀態的參考程度,從而更加合理的利用航跡歷史信息,有效提升正確航跡關聯對與非航跡關聯對間的對比度。

2.1 傳感器數據質量評估

傳統的航跡質量評估指標主要以精確度為主,常用的指標有位置均方根誤差、速度均方根誤差[25]以及狀態估計協方差中其他元素。但部分傳感器本身并不生成狀態估計協方差或由于通信帶寬原因導致其無法傳輸,這使得航跡質量評估工作需要離線進行。因此,為了在線評估航跡質量,工程上采用量測協方差近似替代狀態估計協方差[20],并通過先驗知識來假定噪聲的協方差矩陣,以常值觀測協方差矩陣進行濾波計算[29]。然而,由于目標的實時非規則機動以及實際復雜環境等因素的影響,系統的模型以及噪聲往往難以準確確定,并且噪聲可能具有時變的統計特性[24]。

對此,Sage與Husa[30]提出一種基于極大后驗無偏噪聲估計器,可實時估計出符合最大似然準則的量測噪聲與過程噪聲,具體表示為

(15)

(16)

(17)

(18)

由于Sage-Husa估計器是基于卡爾曼濾波算法提出的,但實際目標跟蹤過程中可能存在非線性噪聲且原始算法存在容易發散等問題,因此需將Sage-Husa估計器與無跡卡爾曼濾波(unsented Kalman filter, UKF)算法結合。

UKF算法流程如下[31]。

步驟 1從目標當前狀態附件抽取2n+1個sigma點。

(19)

步驟 2利用狀態轉移方程f(x)計算轉移后的新sigma點。

(20)

式中:qk為過程噪聲均值。

(21)

(22)

步驟 4將轉移后的sigma點利用觀測方程h(x)進行再一次轉移。

(23)

式中:rk為觀測噪聲均值。

(24)

(25)

步驟 6利用觀測協方差的估計值PZZ,k求增益矩陣Kk。

(26)

(27)

步驟 7計算目標狀態與協方差。

(28)

(29)

已知在傳統的線性系統中有

Pk|k-1=Φ(k)Pk-1|k-1Φ(k)T+Qk

(30)

PZZ,k=H(k)Pk|k-1H(k)T+Rk

(31)

式中:Pk|k-1,PZZ,k分別為目標狀態協方差與觀測協方差的估計值。

由式(22)、式(25)易知:

(32)

結合式(15)～式(18)、式(20)～式(24)可得在UKF中,噪聲的估計值如下:

(33)

(34)

(35)

(36)

考慮到式(33)～式(36)中是對各時刻的數據求平均,而對于時變的噪聲數據則應盡量提高新數據的影響力,因此在每個時刻數據前乘上一衰減記憶因子{ηi,i=1,2,…,k}用以調整各時刻噪聲數據的權重,令

(37)

式中:b為遺忘因子,一般取0

(38)

即可得到遞推式:

(39)

同理可得

(40)

(41)

(42)

2.2 動態序貫灰色關聯度

在獲取系統的量測噪聲協方差矩陣后,從中提取其對角元素,即當前時刻各方向上的量測噪聲誤差標準差σx(k),σy(k),σz(k),并使用Critic權重法將其轉化為各時刻的動態序貫權重。

假設當前系統所處時間序列為第k時刻,共有x,y,z3個方向的數據作為評價指標,則可構成量測噪聲誤差標準差矩陣:

(43)

首先對數據進行標準化處理,由于噪聲標準差屬于逆向指標,故令

(44)

接著計算標準化后的數據標準差σj以反映出當前各指標的對比性

(45)

計算指標j與其他指標間的矛盾性系數fj:

(46)

式中:rij表示指標i,j間的相關系數,本文采用的為皮爾遜相關系數。

則第j個指標的信息承載量Cj為

Cj=σjfj,j=1,2,3

(47)

根據各指標的信息承載量大小來確定指標權重ωj:

(48)

計算各時刻的評估分值Si:

(49)

(50)

接著按照第1.2節中所述原理計算待識別航跡間的灰色關聯系數,但航跡關聯研究中各傳感器數據是公共坐標系下的觀測值,其相對關系是航跡關聯判斷中最為重要的因素,不應采用區間值化方法改變數據列之間的相對關系[20]。由于式(8)中的兩級最大最小差計算出的灰色關聯系數不具有交互性,即存在將待識別航跡與參考航跡交換后灰色關聯系數不統一的問題,故本文參考文獻[20]中的思路略過區間值化的過程直接使用指標間的絕對差值|Xi(k,o)-Xj(k,o)|替代,并采用三級最大最小差來計算修正灰色關聯系數。

(51)

同時,傳統灰色理論航跡關聯中將各指標關聯系數求和取平均來計算航跡間的灰色關聯度,默認目標跟蹤時各指標權重相同,即在式(12)中令αo=1/no(o=1,2,…,no),這與實際情況存在出入。故咨詢數據融合領域專家對模型中的目標信息進行主觀賦權:由于在三維運動模型中,目標在高度上的機動性要低于平面方向,因此目標z方向上的信息參考價值應稍低于x,y方向;同時,考慮到當前主流傳感器只能觀測到目標的位置信息,而速度信息則依靠位置信息的迭代計算而來,加速度信息則由速度信息得來,故而其重要性應依次遞減。綜上,結合專家空情數據處理經驗,給出各指標權重為

α=[0.3,0.3,0.2,0.06,0.06,0.03,0.02,0.02,0.01]

(52)

式中:前3維分別表示x,y,z方向的位置信息權重;4～6維分別為對應方向上的速度信息權重;7～9維分別為對應方向上的加速度信息權重,即令α1=a2=0.3,a3=0.2,α4=α5=0.06,α6=0.03,α7=α8=0.02,α9=0.01。

則k時刻兩航跡間的動態序貫灰色關聯度為

(53)

則可根據式(53)構建k時刻序貫灰色關聯矩陣

(54)

算法 1 基于動態估計反饋的灰色理論航跡關聯算法If γ'ij(k)=maxj γ'ij(k) If 是該行唯一最大關聯度γ'ij(k)=γ'ij(k)γ'mj(k)=0, m≠i Else多義性處理 EndElse γ'ij(k)=0End

計算出序貫灰色關聯矩陣后,根據上述原則來提取候選關聯對的序貫灰色關聯度;同時,本文算法考慮在密集目標等場景下,目標間初始關聯度必然較低,因此為了避免漏關聯,本文采用動態步進關聯門限,即令

(55)

若關聯系統中存在M(M≥3)個傳感器,則可按照上文所述方法構建k時刻任意兩傳感器間的序貫灰色關聯矩陣。同時,構建多傳感器的全局統計量為

(56)

式中:

(57)

定義二進制變量為

(58)

如此,可令多傳感器關聯問題轉化為多維分配問題,即求解:

(59)

關于式(59),可采用拉格朗日松弛算法對其求解,且所解出的航跡關聯對同樣需經過關聯門限檢驗,而后即可實現全局最優關聯。綜上所述,基于動態估計反饋的灰色關聯度航跡關聯算法流程圖如圖1所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 Algorithm flow chart

3 仿真分析

為了便于問題描述,本文以三維坐標下的雙傳感器關聯系統為例使用計算機對其建模,進行50次蒙特卡羅仿真實驗,使用瞬時關聯正確率與平均關聯正確率來衡量關聯結果理想與否。同時選用傳統灰色理論航跡關聯算法[19]、加權法[6]、模糊法[10]作為對照組與本文所提算法進行對比,以更加直觀體現本文對算法改進后的效果。

假設兩傳感器所輸出數據已完成時空配準,坐標轉換等數據預處理工作,系統仿真步數為100步,采樣周期為1 s,現共設定3種不同的航跡關聯場景。

場景 1常規觀測場景,目標數量為50批,將目標運動范圍大致限定在一個300 km×300 km×300 km立體空間內,初始位置按正態分布產生,航向在0～2π按正態分布隨機產生,加速度在一定范圍內按均勻分布產生。

場景 3密集編隊飛行場景,在場景2的基礎上,于航跡起始階段將目標分為8組密集飛行編隊,令其高度始終相同,降低目標加速度,以使同一編隊目標初期的運動速度基本保持一致,同時各編隊做相向運動,并于不同時刻相交。此外,關于對照組中的加權算法,考慮到目標狀態維度為9維,根據χ2假設檢驗表中99%的把握對應值將該算法檢驗閾值定為2.0。場景中其他相關參數如表1所示。

表1 各關聯場景參數設置Table 1 Parameter settings for each associated scene

表2 不同場景下各算法關聯正確率Table 2 Correlation accuracy of each algorithm in different scenarios %

表3 不同場景下各算法耗時情況Table 3 Time consumption of each algorithm in different scenarios s

圖2 目標運動軌跡俯視圖Fig.2 Top view of target motion trajectory

圖3 不同場景下各算法瞬時關聯正確率Fig.3 Instantaneous association accuracy of various algorithms in different scenarios

分析圖3及表2,不難看出,在場景1(常規關聯場景)本文所選4類算法都有比較理想的表現,除加權法外,其他3種算法關聯正確率均在90%以上。而由場景1切換至場景2后,由于傳感器的性能降低,目標初始空間位置分布密集以及噪聲協方差時變等原因,3類傳統算法的關聯效果均嚴重下降,傳統灰色分析法下降了約15%,其他兩種傳統算法關聯正確率下降均在30%以上,而本文算法正確率基本不受影響,這充分證明了本文算法能夠有效應對密集目標下的航跡關聯問題。同時,由場景2切換至場景3后,從圖3(c)中可以看到,由于目標在飛行初期進行了密集編隊飛行,此時同一編隊的運動方向基本一致,因而各關聯算法的初始關聯效果均不理想,值得注意的是,在第20～25步左右,由于編隊飛行目標大多于此時相交,使得本文算法的關聯正確率出現了小幅下降,而其他算法由于關聯正確率較低或還未收斂,這些相交的編隊目標在這幾個算法中本就屬于錯誤關聯對,因而在目標相交時沒有出現關聯正確率下降的現象。但總的來說本文算法的效果仍然最好且較場景2僅下降約3%,保持在90%以上,這充分說明本文算法對于時變噪聲協方差下做相似運動的密集目標關聯場景具有較強的適應性。從表3可以看到,各算法在3類場景下的耗時依次遞增,但從場景1轉換至場景2后的耗時幾乎成倍增長,而場景2與場景3的耗時增加并不大。經分析,這是由于場景1中目標比較分散,而場景2與場景3目標初始位置分布十分密集,如多義性處理這類算法步驟在場景1中因不符合條件被跳過并未執行,且后兩種算法中噪聲協方差并非一定的,在很大程度上增加了算法的計算復雜度。本文算法在所有算法中的耗時最高,犧牲了一定時間效率,但本文算法較傳統灰色分析法在3類場景中的耗時最多增加了不到0.7 s,而關聯效果最高能提高近18%;加權法的耗時雖然較低,但其在目標比較分散時的關聯正確率也僅有72%,在噪聲統計特性未知等復雜場景(場景2、場景3)下的關聯效果差的難以接受。

同時分析圖3(b)、圖3(c)可知,在密集目標場景下相較于傳統的灰色分析法,本文算法的優勢在于初始關聯正確率高,收斂速度快。起始關聯正確率高,是由于本文根據專家意見對于各指標的權重進行了合理的主觀賦權,因而在密集目標的情況下本文提高了正確關聯對之間的辨識度;而收斂速度快,則是由于本文充分利用了航跡歷史信息,對其進行序貫處理,而并非同傳統灰色關聯算法那般待目標分開后才可收斂。為了驗證上述結論,分別畫出場景2中第1步、第5步以及第10步時傳統灰色分析法與本文算法中各目標間的灰色關聯度三維柱狀圖如圖4～圖6所示(正確關聯對在兩傳感器中的序號相同)。

圖4 第1步中兩算法各目標間關聯度Fig.4 Correlation degree between the two algorithms’ targets in step 1

分析圖4～圖6易知,在第1步時由于目標比較密集,故傳統灰色關聯度無法很好地篩選出正確的航跡關聯對,而本文算法由于對算法中各指標權重實施了專家賦權,同時在關聯前期采用了動態步進關聯門限,因而能夠起到提高算法目標分辨力的作用。由于本文目標通過Critic權重法對目標進行了動態序貫處理,因而具有更快的收斂速度,對比圖5(a)與圖5(b),可以看到在第5步時傳統灰色關聯度仍無法有效篩選出正確的關聯對,而本文算法中正確關聯對與錯誤關聯對間的灰色關聯度已逐步拉開。當系統運行至第10步時,目標已逐步分散,此時傳統灰色分析法亦可篩選出正確關聯對,但有較多的錯誤關聯對與正確關聯對極為接近,若環境條件稍有變化則仍易造成錯誤關聯,而本文算法中僅有少數錯誤關聯對與正確關聯對間的灰色關聯度比較接近,這說明本文算法具有更強環境適應能力。

圖5 第5步中兩算法各目標間關聯度Fig.5 Correlation degree between the two algorithms’ targets in step 5

同時,為了進一步驗證本文算法在目標分辨力上的優勢,現定義目標關聯判定信度為υi(k)=γc(k)/γe(k),其中γc(k)表示k時刻目標i正確航跡關聯對間的灰色關聯度,γe(k)表示k時刻目標i錯誤關聯對中的最大灰色關聯度。若υi(k)<1,則說明k時刻對目標i進行了錯誤的關聯判定,反之,若υi(k)越大則說明對該目標進行正確關聯判別的信度就越高。某次蒙特卡羅仿真實驗中本文算法與傳統灰色分析法在場景2的第1步、第5步與第10步中各目標的關聯判定信度如圖7所示。

圖7 各目標關聯判定信度Fig.7 Correlation determination reliability of each target

顯然,從圖7中可以看出,無論是做出正確關聯的頻率,還是算法的關聯判斷信度,本文都要高于傳統灰色分析法。

4 結束語

傳統算法僅將當前時刻的目標信息作為關聯判定依據,因而當環境噪聲統計特性未知、目標比較密集或出現航跡交叉等情況時關聯效果極差,因而本文算法在傳統灰色分析法基礎上增加了一種動態估計反饋機制:引入了Sage-Husa估計器來實時估計傳感器的噪聲協方差作為評估輸出數據質量的依據,并使用Critic賦權法將實時噪聲協方差轉換為各時刻序貫權重,再參考序貫航跡關聯算法的思想根據Critic法所得結果對各時刻航跡間的灰色關聯度賦權并求和,從而在對當前時刻的航跡情況做出判決前同時考慮過去時刻的航跡信息。以保證應對實戰中具有時變統計特性的噪聲協方差的同時,還能充分利用航跡歷史信息,有效解決密集目標場景下的關聯問題。仿真證明,在密集目標與時變噪聲協方差等特殊關聯場景下,無論是在關聯正確率,還是關聯判定的可靠性方面,本文算法明顯優于傳統灰色分析法以及模糊法、加權法等經典算法,充分驗證了本文算法的性能優越性以及魯棒性。但需要指出的是,盡管本文算法在相當程度上提高了關聯工作的可靠性,但卻犧牲了一定的時間效率,且從根本上講本文算法最終仍是將航跡關聯問題轉化為了多維分配問題,此時若要進行全局最優關聯,則需要求傳感器數量不超過5,否則便易造成計算量爆炸問題,后續需考慮將各類智能算法應用于多維分配問題的求解,以進一步優化本文算法的性能。