地形跟隨中航跡跟蹤模型預(yù)測(cè)控制方案設(shè)計(jì)

卜瑞宇, 王 彪, 李宏成, 唐超穎, 朱日楠

(南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院, 江蘇 南京 211100)

0 引 言

隨著地面與機(jī)載防空設(shè)施的日益完備,開展對(duì)先進(jìn)低空突防技術(shù)的深入研究,并實(shí)現(xiàn)有效應(yīng)用的意義逐步提升。地形跟隨飛行[1]作為實(shí)現(xiàn)低空突防的關(guān)鍵技術(shù)之一,利用俯仰機(jī)動(dòng)動(dòng)作,使飛行器緊貼地形輪廓飛行,有效借助地球曲率與地形起伏造成的遮擋作為掩護(hù),綜合考慮與地形的貼近度和飛行機(jī)動(dòng)性兩方面要素,利用低空高速飛行完成任務(wù)。

地形跟隨系統(tǒng)設(shè)計(jì)主要包括航跡規(guī)劃、航跡跟蹤、地形評(píng)估、傳感器融合[2]等內(nèi)容。一段時(shí)間以來,諸多學(xué)者對(duì)數(shù)字地圖技術(shù)進(jìn)行了卓有成效的研究。利用數(shù)字地圖信息完成地形跟隨任務(wù)的策略便于開展全局優(yōu)化,此策略已成為當(dāng)前主流的實(shí)現(xiàn)方案[3]。該方案的實(shí)現(xiàn)可分解為航跡規(guī)劃與航跡跟蹤兩部分[4],即依據(jù)數(shù)字地圖完成航跡規(guī)劃,然后依據(jù)跟蹤規(guī)劃航跡完成飛行任務(wù)。本文重點(diǎn)關(guān)注航跡跟蹤部分的研究,期望控制飛機(jī)跟蹤參考航跡,盡可能實(shí)現(xiàn)跟蹤誤差最小化,對(duì)于航跡規(guī)劃內(nèi)容不做詳細(xì)討論。

在航空航天高帶寬應(yīng)用場(chǎng)景中,針對(duì)優(yōu)化理論、控制理論的研究日益深入。單回路航跡跟蹤經(jīng)典控制方法如比例-積分-微分[5](proportional integral derivative, PID)控制、自抗擾控制[6],缺乏變量之間的耦合信息,對(duì)變量的硬約束簡(jiǎn)化為易于處理的輸入約束,較難保證系統(tǒng)整體性能。模型預(yù)測(cè)控制(model predictive control, MPC)方便處理多輸入多輸出問題,具備直接處理約束的能力,不僅滿足了實(shí)際應(yīng)用需求,而且提供了較高的綜合控制質(zhì)量[7]。與常用的非線性控制方法,如滑模控制[8]、反步控制[9]相比,MPC有著滾動(dòng)時(shí)域優(yōu)化、實(shí)時(shí)反饋校正、協(xié)調(diào)目標(biāo)分配等優(yōu)勢(shì)[10],對(duì)于控制指標(biāo)變化、模型失配、系統(tǒng)干擾等情況的處理更加游刃有余。文獻(xiàn)[11]在MPC框架內(nèi)設(shè)計(jì)了直升機(jī)超低空飛行的軌跡優(yōu)化策略,對(duì)地面、障礙物等保證了良好安全裕度。文獻(xiàn)[12]在系統(tǒng)存在不確定性和動(dòng)態(tài)干擾時(shí),應(yīng)用狀態(tài)擴(kuò)展雙反饋MPC,能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)無人機(jī)側(cè)向航跡穩(wěn)定、準(zhǔn)確的控制。同時(shí),MPC的應(yīng)用研究也不應(yīng)忽視對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析,MPC因其有限時(shí)域滾動(dòng)開展優(yōu)化的實(shí)現(xiàn)形式,使得穩(wěn)定性分析具有難度。自MPC誕生以來,針對(duì)其穩(wěn)定性、閉環(huán)特性等的理論研究從未終止,文獻(xiàn)[13]提綱挈領(lǐng)地將MPC穩(wěn)定設(shè)計(jì)的要素提煉為:局部鎮(zhèn)定控制器、終端集、終端代價(jià)函數(shù)。考慮到針對(duì)不同的MPC問題,設(shè)計(jì)與分析具有差異性,本文研究專注討論所設(shè)計(jì)的航跡跟蹤MPC控制器的穩(wěn)定性問題。

地形跟隨飛行需要在二維空間內(nèi)實(shí)現(xiàn)精確的位置控制,時(shí)域參數(shù)作為MPC設(shè)計(jì)的主要優(yōu)化決策變量[14],采用固定時(shí)域設(shè)置的MPC策略難以根據(jù)系統(tǒng)演化狀態(tài)和運(yùn)行趨勢(shì)做出實(shí)時(shí)調(diào)整。近年來,關(guān)于自適應(yīng)時(shí)域策略的應(yīng)用討論已在無人車輛循跡與蒸餾系統(tǒng)過程控制等領(lǐng)域逐步展開。文獻(xiàn)[15]針對(duì)電動(dòng)汽車路徑跟蹤問題,綜合考慮動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性和跟蹤魯棒性,實(shí)現(xiàn)時(shí)域長(zhǎng)度在線切換,滿足了對(duì)不同路徑的跟蹤控制需求。文獻(xiàn)[16]在工業(yè)蒸餾控制中利用非線性規(guī)劃靈敏度計(jì)算的結(jié)果在線更新時(shí)域長(zhǎng)度,相比于固定時(shí)域的方法,能夠保持良好的系統(tǒng)性能且計(jì)算時(shí)間可顯著縮短。文獻(xiàn)[17]結(jié)合強(qiáng)化學(xué)習(xí)對(duì)MPC方案的時(shí)域參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)調(diào)整,在倒立擺和碰撞避免系統(tǒng)中的應(yīng)用顯著改進(jìn)了效果。自適應(yīng)時(shí)域(adaptive horizon MPC, AHMPC)作為MPC策略的應(yīng)用擴(kuò)展,能夠根據(jù)場(chǎng)景實(shí)時(shí)調(diào)整時(shí)域參數(shù)設(shè)計(jì),而針對(duì)其在地形跟隨領(lǐng)域的應(yīng)用研究較為少見,本研究將關(guān)注AHMPC策略的設(shè)計(jì)與討論。

整體而言,本文針對(duì)地形跟隨飛行問題,設(shè)計(jì)了用于實(shí)現(xiàn)精確跟蹤參考航跡的MPC控制器,并結(jié)合Lyapunov理論進(jìn)行了控制器穩(wěn)定性分析。接著,討論并設(shè)計(jì)了航跡跟蹤方法以及跟蹤效果的綜合評(píng)價(jià)策略。同時(shí),考慮到地形跟隨飛行時(shí)不同航跡段的跟蹤需求差異,結(jié)合對(duì)MPC時(shí)域參數(shù)的應(yīng)用影響分析,設(shè)計(jì)了時(shí)域參數(shù)切換的自適應(yīng)方案。最后,在地形跟隨飛行背景下進(jìn)行了整體仿真驗(yàn)證和結(jié)果分析。

1 飛行器模型描述

本研究使用六自由度戰(zhàn)斗機(jī)模型研究地形跟隨飛行問題,飛機(jī)具體參數(shù)可參見文獻(xiàn)[18]。小擾動(dòng)條件下,對(duì)飛機(jī)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行縱垂向和橫側(cè)向的解耦和分組,可以得到本研究所需要的飛機(jī)縱向運(yùn)動(dòng)方程:

(1)

u=[δt,δe]T

(2)

式中:δt,δe分別代表油門開度、升降舵偏轉(zhuǎn)。考慮水平穩(wěn)態(tài)飛行條件對(duì)非線性模型進(jìn)行配平,配平點(diǎn)為V=200 m/s,h=80 m,配平目標(biāo)是從初始條件開始找到合適的輸入使如下目標(biāo)函數(shù)最小化:

(3)

式中:α,β為攻角和側(cè)滑角;r為偏航角速度,然后在平衡狀態(tài)下對(duì)飛行器模型進(jìn)行線性化。

2 跟蹤控制器設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析

2.1 MPC控制器設(shè)計(jì)

本研究航跡規(guī)劃部分選擇能兼顧飛機(jī)機(jī)動(dòng)特性、航跡質(zhì)量等要素的三次樣條函數(shù)生成參考航跡的方案[19],通過求解規(guī)劃問題來確定航跡曲線形狀。整體控制框圖如圖1所示。

圖1 整體控制框圖Fig.1 Block diagram overall control

將被控對(duì)象按一定的采樣周期進(jìn)行離散化后的狀態(tài)方程為

(4)

式(4)中的狀態(tài)量、輸出量和控制量依次為

其中,pow表示發(fā)動(dòng)機(jī)功率;h為飛行高度。

MPC在處理增量式問題時(shí)具有天然優(yōu)勢(shì),且方便引入積分,有助于消除靜態(tài)誤差,控制器設(shè)計(jì)采用狀態(tài)增廣形式,包含“預(yù)測(cè)模型”等要素的設(shè)計(jì)流程公式表達(dá)可參見文獻(xiàn)[20]。

在本研究的應(yīng)用中,由于系統(tǒng)未來的控制增量未知,需要構(gòu)建考慮跟蹤誤差以及控制增量的目標(biāo)函數(shù),并對(duì)其進(jìn)行求解,才能獲得最終的優(yōu)化控制序列ΔU*(k),目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式為

(5)

進(jìn)一步地,將目標(biāo)函數(shù)整理為二次型的形式:

J(x(k),ΔU(k))=[ΔUT(k),ε]THk[ΔUT(k),ε]+
Fk[ΔUT(k),ε]+Pk

(6)

(7)

同時(shí),需要滿足的控制增量、控制量、輸出量約束為

(8)

式中:Δumin和Δumax分別表示控制時(shí)域內(nèi)控制增量約束閾值;umin和umax分別表示控制時(shí)域內(nèi)控制量約束閾值;ymin和ymax為輸出約束閾值;i=0,1,…,Nc-1;j=1,2,…,Np;εmax為松弛因子閾值。引入松弛因子后,當(dāng)優(yōu)化問題不存在可行解時(shí),松弛因子會(huì)自動(dòng)擴(kuò)大約束范圍,盡可能獲取優(yōu)化解[21]。

求解式(7)表述的二次規(guī)劃問題可以得到優(yōu)化控制序列:

ΔU*(k)=[Δu*(k|k),Δu*(k+1|k),…,
Δu*(k+Nc-1|k)]T

(9)

ΔU*(k)是關(guān)于預(yù)測(cè)時(shí)域、控制時(shí)域、測(cè)量值x(k)的函數(shù),且是非線性的關(guān)系[22]。根據(jù)MPC的基本原理,得到的開環(huán)控制序列的第一步作用于系統(tǒng),下一個(gè)采樣時(shí)刻,將用新的測(cè)量值更新約束優(yōu)化問題,重新求解二次規(guī)劃問題,作用于系統(tǒng)的控制量為

u*(k)=u*(k-1)+Δu*(k|k)

(10)

2.2 穩(wěn)定性分析

對(duì)于最優(yōu)控制問題,往往選擇其目標(biāo)函數(shù)作為展示系統(tǒng)Lyapunov穩(wěn)定性的一個(gè)理想函數(shù)[23]。最優(yōu)控制作為MPC最為重要的理論參考,Lyapunov穩(wěn)定性分析方法同樣作為MPC性能保證的基本策略,但由于MPC只在有限時(shí)域內(nèi)考慮最優(yōu)控制問題,相鄰時(shí)刻的優(yōu)化問題在MPC框架下是相互獨(dú)立的,相鄰時(shí)刻的目標(biāo)函數(shù)可比性和關(guān)聯(lián)性弱,約束的存在又使得閉環(huán)系統(tǒng)展現(xiàn)出非線性特性。對(duì)于不同的MPC問題,難以采用通用的分析方案,而Lyapunov第二穩(wěn)定性定理通常用于證明此類系統(tǒng)穩(wěn)定性問題[24]。

定理 1對(duì)于用離散化狀態(tài)空間模型描述的被控對(duì)象,應(yīng)選取合適的Q,R、預(yù)測(cè)時(shí)域(Np≥1)、控制時(shí)域(1≤Nc≤Np),確保優(yōu)化問題有解。選取k時(shí)刻目標(biāo)函數(shù)J*(k)作為L(zhǎng)yapunov函數(shù),在k+1時(shí)刻,若滿足J*(k+1)≤J*(k),那么ΔU*(k)就能保證系統(tǒng)的穩(wěn)定。

證明借助最優(yōu)控制穩(wěn)定分析的思路,將每一步滾動(dòng)優(yōu)化得到的優(yōu)化序列ΔU*(k)所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)J*(k)作為L(zhǎng)yapunov函數(shù)V*(k)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,表述為

(11)

根據(jù)MPC的基本特點(diǎn),得到的開環(huán)控制序列僅第一步作用于系統(tǒng),在下一個(gè)采樣時(shí)刻,將用新的測(cè)量值刷新約束優(yōu)化問題。從實(shí)現(xiàn)條件出發(fā),將未作用于系統(tǒng)的控制增量序列充分利用,建立k時(shí)刻與k+1時(shí)刻的中間過渡關(guān)系:

(12)

ΔU(k+1)為引入的k+1時(shí)刻的中間過渡解,前Nc-1個(gè)序列分量由ΔU*(k)中分量移位得到,中間過渡解ΔU(k+1)對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值為J(k+1)。圖2為k時(shí)刻與k+1時(shí)刻的控制序列關(guān)系示意圖,其中藍(lán)色實(shí)線表示k時(shí)刻的控制增量?jī)?yōu)化序列ΔU*(k),藍(lán)色虛線表示式(12)所構(gòu)造的中間過渡解ΔU(k+1),黑色實(shí)線表示k+1時(shí)刻重新求解所得到的優(yōu)化增量序列ΔU*(k+1)。ΔU(k+1)與ΔU*(k)的分量關(guān)系可表述為

圖2 控制序列關(guān)系Fig.2 Relationship of control sequence

Δu(k+i|k+1)=Δu*(k+i|k),
i=1,2,…,Nc-1

(13)

中間過渡解ΔU(k+1)對(duì)應(yīng)松弛因子與優(yōu)化序列ΔU*(k)對(duì)應(yīng)松弛因子的關(guān)系為

ε(k+1)=ε*(k)

(14)

注意到:除了ΔU*(k)與ΔU(k+1)的首項(xiàng)和末項(xiàng)不同外,其余各項(xiàng)均相同,這就使得產(chǎn)生的狀態(tài)序列軌線也相同,那么目標(biāo)函數(shù)J(k+1)與J*(k)由于存在諸多相同項(xiàng)而變得易于計(jì)算、比較[23]。

中間過渡解ΔU(k+1)對(duì)應(yīng)的狀態(tài)序列和輸出序列為

(15)

(16)

其中,x*(k+i+1|k)和y*(k+i+1|k)為k時(shí)刻ΔU*(k)所對(duì)應(yīng)的狀態(tài)序列和輸出序列。

式(15)和式(16)滿足控制器的約束設(shè)置,k+1時(shí)刻的中間過渡解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值J(k+1)為

(17)

將J*(k)代入式(17),式(17)可進(jìn)一步改寫為

(18)

中間過渡解ΔU(k+1)滿足式(8)的約束關(guān)系,且目標(biāo)函數(shù)值J(k+1)有界,故ΔU(k+1)是k+1時(shí)刻優(yōu)化問題的可行解[25],根據(jù)優(yōu)化解與可行解對(duì)目標(biāo)函數(shù)取值的影響,總存在如下關(guān)系:

J*(k+1)≤J(k+1)

(19)

進(jìn)一步地,可以得到:

J*(k+1)≤J(k+1)≤J*(k)

(20)

對(duì)于任意k(k≥0),目標(biāo)函數(shù)J*(k)總是單調(diào)遞減的,松弛因子的引入進(jìn)一步保證了遞推的可行性。故選取J*(k)作為L(zhǎng)yapunov函數(shù)可以保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

證畢

3 誤差評(píng)價(jià)與自適應(yīng)時(shí)域方案設(shè)計(jì)

3.1 誤差評(píng)價(jià)方法設(shè)計(jì)

對(duì)于本文所研究的航跡跟蹤問題,在慣性坐標(biāo)系內(nèi)選取參考航跡點(diǎn),根據(jù)當(dāng)前位置和速度矢量,利用歐拉法對(duì)參考航跡點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算,是慣性系下進(jìn)行航跡跟蹤及跟蹤誤差計(jì)算的主要做法[26]。在有限時(shí)域內(nèi)利用MPC計(jì)算參考航跡點(diǎn)的方案設(shè)計(jì)如圖3所示,其中ΔT為系統(tǒng)采樣時(shí)間,hi(i=1,2,…,Np)為預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)參考航跡點(diǎn)的離地高度,pi為i時(shí)刻的飛機(jī)離地高度,hi與pi的差值表示慣性系下的跟蹤誤差。

圖3 慣性系下跟蹤控制與誤差評(píng)價(jià)示意圖Fig.3 Schematic diagram of tracking control and error evaluation in inertial frame

由于飛行中爬升和俯沖動(dòng)作頻繁,本研究利用MPC前視預(yù)測(cè)能力,進(jìn)行了機(jī)體系下的航跡跟蹤及誤差評(píng)價(jià)方法設(shè)計(jì),機(jī)體系下誤差評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)示意圖如圖4所示。由圖3和圖4中的幾何關(guān)系,可以得到在預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)慣性系與機(jī)體系評(píng)價(jià)跟蹤誤差的關(guān)系式:

圖4 機(jī)體系下誤差評(píng)價(jià)示意圖Fig.4 Schematic diagram of error evaluation in body system

hi=pi+iVΔTsinγ+ei

(21)

式中:i=1,2,…,Np;ei為待確定參數(shù),表示有限時(shí)域內(nèi)機(jī)體系下的跟蹤誤差。

用相鄰的預(yù)測(cè)跟蹤誤差與行進(jìn)距離的關(guān)系表示航跡角的預(yù)測(cè)偏差量λi有:

(22)

γi=γ+λi

(23)

式中:γi表示慣性系下預(yù)測(cè)時(shí)域內(nèi)航跡角的預(yù)測(cè)值。有限時(shí)域內(nèi)的縱向位移信息用pn(i)表示:

pn(i)=pn+iVΔTcos(γ)

(24)

其中:i=1,2,…,Np;pn為當(dāng)前時(shí)刻的縱向位移數(shù)據(jù)。

為方便表述,當(dāng)γ為角度制單位且角度較小時(shí),認(rèn)為存在sinγ=γ/57.3,等式右側(cè)為弧度制下的航跡角大小。結(jié)合式(21)、式(22)、式(23)可以得到慣性系與機(jī)體系下跟蹤誤差評(píng)價(jià)的轉(zhuǎn)換關(guān)系矩陣:

(25)

式中:

xe(k)=[V,a,q,θ,pow,h,V1,γ1,h1,…,VNp,γNphNp]T

xb(k)=[V,a,q,θ,pow,h,Vr1,λi,e1,…,VrNp,λNp,eNp]T

式中:Vi=Vri(i=1,2,…,Np);xe(k),xb(k)均為增廣向量;I6×6與I3Np×3Np為6×6維和3Np×3Np維的單位矩陣;0為維數(shù)相容的零矩陣。

同時(shí),采用最大跟蹤超調(diào)edmax、最大跟蹤滯后edmin、平均跟蹤誤差edm、跟蹤標(biāo)準(zhǔn)差eds、航跡角偏差eγm衡量飛行跟蹤精度。為避免出現(xiàn)上述多個(gè)參數(shù)間評(píng)價(jià)效果不均的情況,設(shè)計(jì)用于評(píng)估地形跟隨飛行中產(chǎn)生的航跡角、航跡跟蹤誤差的綜合指標(biāo)函數(shù)。根據(jù)函數(shù)中各評(píng)價(jià)參數(shù)的量綱關(guān)系,設(shè)置權(quán)重系數(shù),綜合評(píng)價(jià)函數(shù)表述為

Sw=W1edm+W2eds+W3eγm+W4edmax+W5edmin

(26)

式中:W1,W2,W3,W4,W5為各評(píng)價(jià)參數(shù)的對(duì)應(yīng)量綱系數(shù)。Sw越小說明整體航跡跟蹤效果越好。

3.2 自適應(yīng)時(shí)域方案設(shè)計(jì)

與其他利用MPC進(jìn)行軌跡跟蹤控制(如無人車輛控制[27]、船舶控制[28]等)相比,地形跟隨飛行更具有挑戰(zhàn)性,這體現(xiàn)在飛機(jī)必須與地形保持最小的安全距離,并以足夠快的速度移動(dòng),以最大限度地降低被發(fā)現(xiàn)或跟蹤的可能性。

MPC航跡跟蹤控制設(shè)計(jì)中的主要參數(shù)包括采樣時(shí)間Ts,預(yù)測(cè)時(shí)域Np,控制時(shí)域Nc,狀態(tài)權(quán)重陣Q與控制權(quán)重陣R。這其中,采樣時(shí)間與系統(tǒng)反饋效率和優(yōu)化要求相關(guān)聯(lián)。Q,R作為軟約束,允許存在一定的偏離,Q反應(yīng)了對(duì)不同時(shí)刻輸出誤差的重視程度,R則是對(duì)控制增量的劇烈變化施加適度抑制,均對(duì)系統(tǒng)作用有限。時(shí)域參數(shù)Nc體現(xiàn)了控制作用的能力和自由度,與在線優(yōu)化計(jì)算量關(guān)系緊密;時(shí)域參數(shù)Np的設(shè)置需要關(guān)注未來時(shí)域內(nèi)輸入變化產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)影響,與系統(tǒng)實(shí)際性能緊密關(guān)聯(lián)。經(jīng)過遍歷調(diào)整參數(shù)后發(fā)現(xiàn):Np越大,系統(tǒng)獲取的未來時(shí)域內(nèi)的前視狀態(tài)信息越充足,越有益于飛機(jī)做出預(yù)先判斷,Np過大時(shí),飛機(jī)當(dāng)前位置較近處的跟蹤偏差會(huì)增大;Np過小時(shí),無法及時(shí)控制,會(huì)出現(xiàn)失控情況。Nc的設(shè)置與Np的取值聯(lián)系緊密,Nc過小時(shí),在每個(gè)采樣時(shí)刻難以緊密跟蹤參考航跡;Nc過大時(shí),控制動(dòng)作頻繁,計(jì)算復(fù)雜度提高。Np,Nc取值對(duì)地形跟隨飛行中航跡跟蹤的影響示意圖如圖5所示。

圖5 時(shí)域參數(shù)對(duì)航跡跟蹤影響示意圖Fig.5 Schematic diagram of influence of time domain parameters on trajectory tracking

地形跟隨飛行時(shí)山峰可能連續(xù)出現(xiàn),地形頻率變化迅速。由于利用三次樣條函數(shù)航跡規(guī)劃得到的參考航跡曲率平滑連續(xù),較小的曲率下航跡跟蹤相較曲率更大時(shí)的航跡跟蹤更為容易。結(jié)合文獻(xiàn)[29]的先驗(yàn)研究,在穩(wěn)定速度方案下,設(shè)計(jì)適合航跡跟蹤的隨地形曲率自適應(yīng)調(diào)整時(shí)域的方案,考慮地形跟隨中的兩種場(chǎng)景:

情景 1違反地形曲率約束,調(diào)節(jié)產(chǎn)生的控制飽和,設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

(27)

式中:k為地形曲率;L1=(kM/kmax)8×(2/kmax),round為取整函數(shù);N1為基礎(chǔ)時(shí)域參數(shù);kM為每一航跡段最大曲率;kmax為飛行器機(jī)動(dòng)能力所能滿足的曲率約束最大值。

情景 2滿足地形曲率約束,隨曲率輪廓自適應(yīng)調(diào)整預(yù)測(cè)時(shí)域以提高跟蹤精度,設(shè)計(jì)自適應(yīng)律為

(28)

式中:L2為曲率增益系數(shù);N2為基礎(chǔ)時(shí)域參數(shù)。

情景1和情景2的應(yīng)用差別在于如果在飛行中違反曲率約束,情景1通過適當(dāng)增加預(yù)測(cè)時(shí)域減小產(chǎn)生的控制飽和影響。如果滿足曲率約束設(shè)置,情景2的設(shè)置就用于提高跟蹤控制器阻尼,在航跡變化快速時(shí),減少飛行器跟蹤響應(yīng)的超調(diào),提升航跡跟蹤精確度。由于預(yù)先規(guī)劃考慮了地形曲率約束,后續(xù)主要進(jìn)行針對(duì)情景2的研究討論。

4 仿真驗(yàn)證與結(jié)果分析

4.1 地形數(shù)據(jù)和仿真參數(shù)設(shè)置

使用的地形數(shù)據(jù)來自于地理數(shù)據(jù)云平臺(tái),飛行區(qū)域在沿飛行方向的一個(gè)縱向剖面內(nèi),考慮飛機(jī)下方為一個(gè)二維地形曲線,選取能夠反映地表特征的地形剖面曲線進(jìn)行仿真,地形全程60 km,地形標(biāo)準(zhǔn)差為184.97 m,地形坡度與曲率信息如圖6所示,曲率最大值為0.001 4 m-1。

圖6 坡度、曲率數(shù)據(jù)Fig.6 Slope and curvature data

在真實(shí)地形背景下,固定時(shí)域參數(shù)選取需要能保證控制器的實(shí)時(shí)性,滿足自動(dòng)地形跟隨飛行的要求,且不發(fā)生飛行失控和航跡跟蹤失敗的情況。結(jié)合第3.2節(jié)的討論,通過局部遍歷MPC設(shè)計(jì)關(guān)鍵控制參數(shù),預(yù)測(cè)時(shí)域Np區(qū)間范圍選擇為20≤Np≤30,控制時(shí)域Nc=6。

設(shè)置MPC控制器采樣周期Ts=0.1 s,參考飛行速度V=200 m/s,初始飛行高度h=80 m。曲率增益系數(shù)L2=2 500,基礎(chǔ)時(shí)域參數(shù)N2=25,軟約束Q=diag[0.05,0.003],R=diag[2 000,25],權(quán)重系數(shù)ρ=1 000。式(26)中綜合評(píng)價(jià)函數(shù)權(quán)重系數(shù)W1=10,W2=10,W3=100,W4=1,W5=1。離地安全高度為50 m,油門開度約束為[0,1],油門開度控制增量約束為[-0.2,0.2]。以一階慣性環(huán)節(jié)表示升降舵動(dòng)態(tài)變化,偏轉(zhuǎn)幅度約束為[-25°,25°],升降舵控制增量約束為[-6°,6°]。

4.2 固定時(shí)域方案與自適應(yīng)時(shí)域方案對(duì)比實(shí)驗(yàn)

本節(jié)進(jìn)行固定時(shí)域MPC方案與第3.2節(jié)所設(shè)計(jì)的自適應(yīng)時(shí)域MPC方案在地形跟隨航跡跟蹤控制中的仿真研究,為能在較大范圍內(nèi)了解時(shí)域參數(shù)選取對(duì)系統(tǒng)性能的影響,選擇固定時(shí)域Np=20,25,30,自適應(yīng)調(diào)整預(yù)測(cè)時(shí)域結(jié)果如圖7所示。

圖7 預(yù)測(cè)時(shí)域自適應(yīng)調(diào)整Fig.7 Adaptive adjustment for predictive horizon

航跡角控制是實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確航跡跟蹤的必要前提,圖8展示了不同時(shí)域參數(shù)設(shè)置下航跡角跟蹤的整體效果。局部放大圖顯示,自適應(yīng)方案相比于固定時(shí)域方案角度跟蹤精度更高,航跡角誤差更小。

圖8 不同參數(shù)選擇下航跡角跟蹤效果Fig.8 Flight-path angle tracking effect with different parameter selection

圖9展示了速度控制效果,整體來看,飛行速度均穩(wěn)定在參考速度200 m/s附近,在飛越山峰和長(zhǎng)低谷時(shí)有輕微變化。在Np=20和Np=25設(shè)置下局部速度振蕩明顯,對(duì)應(yīng)參數(shù)下的空速穩(wěn)定能力略顯不足。

圖9 不同參數(shù)選擇下速度控制效果Fig.9 Speed control effect with different parameter selection

圖10給出了不同時(shí)域參數(shù)設(shè)置下控制增量變化的結(jié)果,控制增量、油門開度、升降舵偏轉(zhuǎn)角的變化結(jié)果如圖11和圖12所示,控制增量與控制量動(dòng)態(tài)變化均在預(yù)設(shè)約束范圍內(nèi)。本研究主要通過油門開度控制飛行速度,通過升降舵控制飛行高度。由于采用了穩(wěn)定速度控制的策略,在地形跟隨飛行中出現(xiàn)航跡跟蹤誤差與速度控制偏差后,控制器按需調(diào)整油門開度和升降舵偏轉(zhuǎn)角,縮小誤差的動(dòng)作產(chǎn)生了局部較大的控制量。在飛行時(shí)間[150,170]內(nèi)出現(xiàn)了油門開度滿約束的情況,結(jié)合速度控制的結(jié)果可以看到,對(duì)應(yīng)的航路段附近速度控制偏差較大,此時(shí)飛機(jī)下方的地形連續(xù)變化,飛行爬升高坡時(shí)間較久,但油門開度能夠在較短的時(shí)間內(nèi)脫離飽和狀態(tài),對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)等關(guān)鍵部件影響較小。同時(shí)可以看到,相同時(shí)間段內(nèi)升降舵局部偏轉(zhuǎn)劇烈,對(duì)應(yīng)于出現(xiàn)的地形跟隨飛行顛簸和速度控制精度不足的情況。

圖10 控制增量變化結(jié)果Fig.10 Results of control incremental changes

圖11 不同參數(shù)選擇下的油門開度Fig.11 Throttle opening with different parameters selection

圖12 不同參數(shù)選擇下的升降舵偏轉(zhuǎn)Fig.12 Elevator deflection with different parameters selection

圖13展示了不同時(shí)域參數(shù)設(shè)置下地形跟隨飛行的整體效果, 圖14展示了不同時(shí)域參數(shù)下的航跡跟蹤誤差統(tǒng)計(jì)情況,誤差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列在表1中。由于進(jìn)行了預(yù)先航跡規(guī)劃,如果控制飛機(jī)跟蹤上參考航跡就能保證不發(fā)生飛行撞地的情況。

表1 誤差統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)Table 1 Error statistic data

圖13 不同參數(shù)選擇下的地形跟隨飛行效果Fig.13 Terrain following flight effect with different parameters selection

圖14 慣性系及機(jī)體系下的跟蹤誤差Fig.14 Tracking error in inertial and body systems

根據(jù)慣性系和機(jī)體系跟蹤誤差統(tǒng)計(jì)結(jié)果分析,跟蹤誤差主要出現(xiàn)在連續(xù)飛越山峰階段。地形曲率較小時(shí),跟蹤平滑流暢;地形曲率較大且飛行連續(xù)做出機(jī)動(dòng)動(dòng)作時(shí),較小的時(shí)域參數(shù)Np=20,Np=25設(shè)置出現(xiàn)了局部姿態(tài)振蕩、難以較快收斂誤差等現(xiàn)象,影響了整體跟蹤精度。Np=30相較較小的參數(shù)設(shè)置,跟蹤滯后改善明顯,誤差標(biāo)準(zhǔn)差更小,數(shù)據(jù)波動(dòng)小,但沒能整體兼顧對(duì)跟蹤超調(diào)的效果提升。

參考MIL-F-9490D對(duì)地形跟隨飛行航跡跟蹤誤差的規(guī)范要求[30],跟蹤超調(diào)不應(yīng)超過15 m(安全高度的30%),跟蹤滯后不應(yīng)超過10 m(安全高度的20%)。結(jié)合表1中的數(shù)據(jù)可以看出:在穩(wěn)定速度方案下,在預(yù)測(cè)時(shí)域參數(shù)Np=20設(shè)置下,由于系統(tǒng)獲取的前視預(yù)測(cè)信息不足,跟蹤超調(diào)與滯后處于較大的誤差水平上,跟蹤滯后不滿足規(guī)范要求。預(yù)測(cè)時(shí)域設(shè)置需要充分考慮未來輸出變化對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)影響,較大的預(yù)測(cè)時(shí)域雖然能夠增大控制器阻尼,但是會(huì)減弱對(duì)當(dāng)前位置附近的控制能力。在整體滿足跟蹤誤差規(guī)范要求的前提下,Np=25與Np=30相比,edm,edmax數(shù)值更小,但針對(duì)跟蹤滯后的改善,Np=25設(shè)置不如Np=30設(shè)置,所以單一調(diào)整固定時(shí)域參數(shù)較難整體把握對(duì)不同地形地段的跟蹤要求。

在預(yù)設(shè)的5項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)內(nèi),自適應(yīng)時(shí)域方案相較固定預(yù)測(cè)時(shí)域設(shè)置能夠理想地滿足誤差規(guī)范要求,跟蹤精度更高。慣性系下跟蹤誤差評(píng)價(jià)顯示:跟蹤超調(diào)edmax至少減少了24.5%,跟蹤滯后edmin至少減小了15.8%,綜合評(píng)價(jià)函數(shù)明顯改善。機(jī)體系下的跟蹤評(píng)價(jià)指標(biāo)表現(xiàn)了飛行過程中出現(xiàn)的較小的姿態(tài)振蕩和飛行顛簸,與固定時(shí)域設(shè)置相比,edm至少減小了39.2%,跟蹤超調(diào)edmax至少減小了29.5%,兼顧飛行穩(wěn)定性和跟蹤精確性的綜合評(píng)價(jià)函數(shù)也得到了有效改善。

盡管受飛機(jī)運(yùn)動(dòng)的約束限制,自適應(yīng)時(shí)域方案對(duì)于海拔高度快速變化的地形展現(xiàn)出更精確的跟蹤能力,兼顧飛行穩(wěn)定性和跟蹤精度的調(diào)整,反應(yīng)更加靈敏,這得益于該方案能夠有效結(jié)合未來的信息做出動(dòng)作。但受限于局部線性化的近似誤差、飛行器動(dòng)態(tài)與控制器響應(yīng)偏差,只能盡可能提升跟蹤精度。

3組固定預(yù)測(cè)時(shí)域參數(shù)與自適應(yīng)時(shí)域參數(shù)的平均求解時(shí)間Tmean(單位:ms)與最大求解時(shí)間Tmax(單位:ms)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)列于表2,每一MPC步驟優(yōu)化求解時(shí)間如圖15所示。從表2和圖15可以看出:隨著預(yù)測(cè)時(shí)域的增加,優(yōu)化求解時(shí)間總體呈現(xiàn)出增加的趨勢(shì),自適應(yīng)方案的優(yōu)化求解過程依然能夠良好地滿足系統(tǒng)實(shí)時(shí)性的要求。

表2 優(yōu)化求解時(shí)間Table 2 Optimized solution time

圖15 不同時(shí)域參數(shù)下的優(yōu)化求解時(shí)間Fig.15 Optimized solution time with different parameters selection

4.3 速度與時(shí)域參數(shù)關(guān)系驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)

考慮到地形跟隨時(shí)飛機(jī)可能飛行在不同速度,第3.2節(jié)所討論的穩(wěn)定速度的方案簡(jiǎn)化了對(duì)用于反應(yīng)控制自由度和能力的控制時(shí)域的討論。作為對(duì)上述討論的自適應(yīng)策略的拓展和補(bǔ)充,在速度[120,280]m/s內(nèi),以步長(zhǎng)20 m/s通過式(26)不同指標(biāo)評(píng)價(jià),遍歷調(diào)整獲得9組速度對(duì)應(yīng)的較優(yōu)的預(yù)測(cè)、控制時(shí)域。時(shí)域參數(shù)與飛行速度的曲線擬合關(guān)系如圖16和圖17所示。

圖16 預(yù)測(cè)時(shí)域與飛行速度的擬合關(guān)系Fig.16 Fitting relationship between predictive horizon and flight velocity

圖17 控制時(shí)域與飛行速度的擬合關(guān)系Fig.17 Fitting relationship between control horizon and flight velocity

經(jīng)最小二乘擬合得到上述速度區(qū)間內(nèi)時(shí)域參數(shù)與速度的關(guān)系為

(29)

其中,V∈[120,280]m/s。速度區(qū)間涵蓋完整飛行速度包線,飛行速度在(200,280]m/s時(shí),較小的預(yù)測(cè)時(shí)域不能滿足對(duì)飛行穩(wěn)定性和跟蹤精度的要求,且此時(shí)較小的控制時(shí)域不能提供足夠的控制靈敏度。飛行速度在[120,200)m/s時(shí),較小預(yù)測(cè)時(shí)域和控制時(shí)域能有效保障對(duì)飛行轉(zhuǎn)向和跟蹤參考的要求。在高速飛行時(shí)增大時(shí)域參數(shù)能夠滿足飛行器對(duì)充足前視信息的要求,有益于做出預(yù)先反應(yīng)。相比之下,在飛行速度較低時(shí),對(duì)未來狀態(tài)信息要求減少,在兼顧飛行穩(wěn)定性和跟蹤精度的同時(shí),較小的時(shí)域參數(shù)設(shè)置便能較好地滿足要求。

5 結(jié) 論

本文針對(duì)地形跟隨飛行中航跡跟蹤控制問題,設(shè)計(jì)了用于跟蹤參考航跡的MPC控制器,并選取優(yōu)化求解的目標(biāo)函數(shù)作為證明系統(tǒng)穩(wěn)定性的Lyapunov函數(shù),證明了系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。考慮到地形跟隨飛行是復(fù)雜、快速的動(dòng)態(tài)過程,固定時(shí)域參數(shù)設(shè)置對(duì)于不同地形段適應(yīng)力不足、跟蹤整體效果不理想,以地形曲率變化為自適應(yīng)切換時(shí)域的依據(jù),設(shè)計(jì)了自適應(yīng)調(diào)整時(shí)域的優(yōu)化方案。同時(shí),結(jié)合MPC前視預(yù)測(cè)能力,進(jìn)行了慣性系和機(jī)體系航跡跟蹤及誤差評(píng)價(jià)方法設(shè)計(jì)。仿真驗(yàn)證結(jié)果表明,自適應(yīng)方案相比于固定時(shí)域方案在地形跟隨飛行時(shí)跟蹤精度更高、綜合效果改善明顯,預(yù)設(shè)的性能指標(biāo)能夠?qū)︼w行全局效果進(jìn)行有效評(píng)價(jià)。最后,作為對(duì)自適應(yīng)時(shí)域切換方法的補(bǔ)充討論,結(jié)合最小二乘擬合結(jié)果,分析了速度包線內(nèi)速度與時(shí)域參數(shù)的調(diào)整關(guān)系。