基于概念再認知的高中數學解題教學

【摘 要】數學解題的本質是對數學概念的靈活運用，數學解題教學也并不僅僅滿足于獲得正確的答案，而是重在培養學生對數學概念的理解和應用能力。數學概念的復雜性和發展性決定了概念需要經歷認知、再認知的過程。再認知是一種深層學習的過程，它不僅可以提高學生對概念的理解和掌握，而且可以使數學解題教學轉化為數學探究活動，從而從根本上提升學生數學解題的能力。文章分析當前高中數學解題教學的現狀，并提出基于概念再認知的數學解題教學的有效策略，以幫助教師有效化解傳統數學解題教學面臨的困境。

【關鍵詞】再認知；數學概念；解題教學

解題是數學學習過程中不可或缺的環節，解題教學也是數學教學不可分割的部分。波利亞曾說過，數學的本質在于解決問題。李政道也認為，數學解題的過程就是一種發現、探究和創造的過程，通過解題能夠培養學生的思維能力和創新能力，并且有助于培養樂觀、自信的心態。尤其到了高三數學復習階段，解題教學往往變成了課堂教學的常態。但對于數學解題教學，學術界一直存在爭議。比如，關于數學解題教學是否應該遵循一定的標準化要求，或者應該因材施教、因人而異，很多學者持不同觀點，有的認為數學解題教學需要適應每個學生的能力和需求，而有的則認為必須嚴格規范。又比如，傳統觀點認為，解題依賴于教師的技巧傳授，學生就是解題技巧的接收者和傳承者，而現代的數學解題教學則鼓勵學生通過自主學習來發展自己的技能。不僅如此，在教學實踐層面，廣大一線教師對于數學解題教學也存在諸多困惑。比如，為什么采用同樣的教學方法，最后的效果卻大相徑庭？為什么幾天不解題，學生的解題水平就會退化，解題教學的效果持續時間為什么這么短？面對這些爭議與困惑，筆者通過本文重新審視當前高中數學解題教學的現狀，以期從中找到改進教學的突破口。

一、當前解題教學面臨的困境

就題論題與以題論法是當前數學解題教學最常用的兩種模式。就題論題所奉行的是“熟能生巧”的觀點，即通過做大量的題目使學生熟練掌握解題“套路”，并期望學生能夠把這些解題“套路”套用到相關題目中去。這種教學模式注重讓學生理解和掌握每一道題目的解法，并且重點講解每道題目的考點和解題技巧，強化學生對已學內容的記憶。就題論題在短時間內雖然可以有效提高學生的應試能力和解題速度，但容易使學生陷入“題海”，并且這種教學模式在培養學生的創新思維和創新能力上效果較差，容易使學生變成“機械式應試者”。

以題論法是以題目為載體進行解題思想方法傳授的一種教學模式。在這種教學模式下，學生需要將課堂中學到的解題思路和方法與具體題目相結合，嘗試應用這些方法來解決更為復雜的問題。同時，教師也會在解題中有意識地培養學生發現問題、解決問題的能力，這對于學生創新思維和數學應用能力的發展具有積極的意義。因此，相比就題論題教學模式的局限性，以題論法的教學模式則更受廣大一線教師的認可。但在實際操作中，以題論法也面臨解題方法泛濫、片面追求解題技巧等問題。比如，很多教師很喜歡一題多解，一道題目少則給出三四種方法，多則十幾種方法，卻很少考慮這些方法之間的聯系與適用條件，以及到底有多少方法能被學生真正掌握。又比如，一些教師將以題論法異化為解題技巧的表演，各種“偏題”“怪題”一齊上陣，將大量二級結論與高等數學的觀點直接下放，無形中增加了學生的學習負擔。

事實上，不論是就題論題，還是以題論法，大家所關注和研究的對象都是“題”，都是圍繞著講題、做題來展開，本質上兩者區別不大，無非是一個在“題海”中徘徊，另一個試圖跳出“題海”上升到思想方法的層面，但又容易掉入“法海”的陷阱。因此，這種“以題為中心”的教學觀容易使數學解題教學偏離正常的教學軌道。

二、概念是數學解題教學的根基

數學解題的本質是對數學概念的靈活運用，數學解題教學也并不僅僅滿足于獲得正確的答案，而是重在培養學生對數學概念的理解和應用能力。因此，概念才是數學的核心，是整個數學知識體系的構成要素。如果學生對概念的認識不夠充分，那么數學學習就會陷入困境，解題充其量只是概念的衍生與應用。若沒有概念作為基礎，解題與解題教學就是無源之水，無本之木。李邦河院士就曾指出，數學根本上是玩概念，不是玩技巧，技巧不足道也。概念是數學知識的基本單元，是用以描述和解釋數學現象和關系的抽象實體。認識數學概念需要學生從各個角度理解概念的內涵與外延，把握概念之間的聯系，從而構建完整的數學知識體系，在此基礎上，學生才能在解題中靈活應用各種解題方法與技巧。

不僅如此，《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》也指出：引導教學更加關注育人目的，更加注重培養學生核心素養，更加強調提高學生綜合應用數學知識解決實際問題的能力，把握教學的深度和廣度，為階段性評價、學業水平測試和升學考試命題提供重要依據。2020年１月，教育部考試中心（現為教育部教育考試院）也發布了由“一核”“四層”“四翼”［1］組成的《中國高考評價體系》，高考的命題開始由“知識立意、能力立意評價”向“價值引領、素養導向、能力為重、知識為基”的綜合評價轉變［2］。2021年２月，教育部在《關于做好2021年普通高校招生工作的通知》文件中指出：“要優化情境設計，增強試題開放性、靈活性，充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用，引導減少死記硬背和‘機械刷題現象。”這就意味著“以題為中心”的解題教學可能不再適應新高考的要求，發展學生的數學關鍵能力才是數學解題教學的根本任務，而數學關鍵能力的根基其實也在于概念。例如，2022年高考數學全國Ⅰ卷的很多題目表面上是在考查學生的能力，而實際上還是要求學生對于概念的深入理解。

A.a＜b＜c B.c＜b＜a C.c＜a＜b D.a＜c＜b

例2 （2022年新高考Ⅰ卷第20題）一醫療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當地居民的衛生習慣（衛生習慣分為良好和不夠良好兩類）的關系，在已患該疾病的病例中隨機調查了100例（稱為病例組），同時在未患該疾病的人群中隨機調查了100人（稱為對照組），得到如下數據：

（1）能否有99%的把握認為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛生習慣有差異？

本題雖然考查的是學生數學運算能力，但據了解，學生的得分率普遍比較低，究其原因主要是平時只顧著做題，而忽視了對條件概率、全概率公式、貝葉斯公式、隨機事件的相互關系等概念的進一步理解。

因此，數學解題教學的定位不能只局限于解題，還應該關注對于數學概念的理解，只有對概念理解透徹才能對數學問題做出快速而準確的判斷，并在洞悉問題本質的基礎上提出解決問題的方案。

三、數學概念再認知的內涵

數學概念的發展本質上反映了人類認識數學的歷程。在人類歷史上，數學的發展不僅是求得一種能幫助人類認識自然、解決實際問題的工具，更重要的是，它反映了人類對于事物本質的認識和思考方式的改變。這種認識和思考方式的變化，也反映在數學概念的演變和發展中。比如，從古代初級的算術學習，到如今的復雜抽象的數論、代數、微積分、拓撲等學科，數學概念和理論的發展也伴隨著人類認識水平的不斷提高和升華。數學概念的發展實際上反映了人類的認識歷程，它不僅是人類認識過程的一個外在表現，更是接納、反思和推動人類認識和思考的一個重要途徑和手段。正是基于這一歷史相似性原理，學生對數學概念的認識也要遵循循序漸進，螺旋上升的規律。例如，初中從“變量的依賴關系”的角度讓學生認識函數，到了高中，又從“對應關系”的角度再次讓學生認識函數。又比如，在小學和初中把“在一定條件下，可能發生也可能不發生的事件稱為隨機事件”，而在高中隨機事件的定義為“樣本空間中滿足某些條件的樣本點構成的子集”。

數學概念的復雜性和發展性決定了概念需要經歷認知、再認知的過程。再認知是一種深層學習的過程，它可以提高對概念的理解和掌握，進而推動數學學習的深入，具體包括以下三個方面。

第一，通過對概念的深入理解，進一步發掘和挖掘概念的內涵和外延。比如，在理解了任意角三角函數的定義后，可以進一步探究三角函數的單調性、周期性、對稱性等性質，甚至把三角函數的這些性質遷移到一般的函數中，從而更深入地理解函數性質的本質。

第二，通過概念的擴展和推廣，進一步應用和推動概念的發展。比如，在知道三角函數是刻畫周期現象的重要模型后，可以將三角函數應用于生產生活等領域，例如，揭示潮汐現象與三角函數的關系等，從而實現以數學應用來推動三角函數概念的發展。

第三，通過概念的比較和聯系，進一步深化對概念的理解。比如，在學習數列概念時，可以與函數概念進行比較，明確數列是一類特殊的函數，進而知道數列的通項公式相當于函數的解析式，用遞推公式來表示數列相當于用抽象函數來表示函數，從而能夠用函數的視角來認識數列。

再認知學習能讓學生更深刻地領會數學概念的內涵和特點，使學生能夠更好地應用數學知識解決實際問題，并且有助于提高學生數學思維能力和創新能力。

四、基于概念再認知的數學解題教學

1.選出有價值的性質與結論，確定教學主題

有價值的公式、性質與結論具有以下特點：一是與數學概念緊密相關；二是不同難度和類型的問題形式，能夠幫助學生深入理解和掌握數學概念；三是與實際問題聯系，幫助學生將數學概念與實際問題結合起來。這些性質與結論是開展數學概念再認知的有效載體。

2.創設真實的情境，再現概念的來龍去脈

隨著教育研究的發展，教育要使學生學會“解決真實情境中的問題”已成共識。數學概念的高度抽象性決定了其只有置于一定的真實情境中，學生才有可能把握其所表征的事實細節，進而通過推理而形成深層理解［4］，從而更好地把握數學應用的實際意義，為后續的數學解題奠定理論基礎。

3.合理選擇研究視角，組織數學探究活動

在某種程度上，數學探究可以視為數學解題的高級形式之一，把“解題—講題—練題”轉化為數學探究活動也是基于概念再認知數學解題教學的基本訴求。數學探究所具備的挑戰性可以驅動學生主動探索數學本質，主動發現問題并提出解決問題的方案。當然，數學探究的視角有很多，要根據教學要求與學生的真實水平進行合理選擇。

4.在應用遷移中提升解題水平

當然，應用是解題教學中不可或缺的環節，有了概念再認知的鋪墊，解題教學回歸數學結論、性質的應用就更自然，即把所學的知識遷移到新的環境和挑戰中，學生的表現也會更加得心應手。

如果學生對于切線不等式沒有深入的認識，就很難把結論與要解決的問題聯系起來，也就無法體會到數學中化歸思想的魅力。

盡管從形式上看，考試可能只考解題，不會直接考概念，但毫無疑問掌握概念是解題的基礎。盡管熟練的解題需要運用到大量的數學思想方法，但概念學習是孕育數學思想方法的沃土。因此，把對概念再認知作為解題教學的前提與重要組成部分，不僅是對傳統的解題教學的補充和提升，更是在核心素養育人目標導向下賦予解題教學新的意蘊。

參考文獻：

［1］安學保. 評價體系新實踐 高考命題新突破：新高考Ⅰ卷數學試題評析［J］. 數學通報，2020（9）：52-55，63.

［2］史寧中，呂世虎，李淑文. 改革開放四十年來中國中學數學課程發展的歷程及特點分析［J］. 數學教育學報，2021（1）：1-11.

［3］呂增鋒. 數學解題教學不只是“解題”：由一次縣優質課評比引發的思考［J］. 數學通訊，2021（12）：16-18.

［4］趙楠.大概念課程如何落地？：以加拿大不列顛哥倫比亞省的課程改革為例［J］. 現代教育技術，2020（11）：40-46.