立足課堂教學 聚焦“四能”培育

楊元韡

【摘 要】文章以“復數的幾何意義”的教學設計為例，探討了如何立足課堂教學培育學生的“四能”，并給出了幾點思考：把握學情，找準學生發現與提出問題的最近發展區；創設情境，營造學生發現與提出問題的適切場域；設計關聯，提供學生發現與提出問題的時空機會；評價跟進，激發學生發現與提出問題的積極動機。

【關鍵詞】四能；發現問題；提出問題；復數的幾何意義

一、引言

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“新課標”）提出了高中數學的課程目標：學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗（簡稱“四基”）；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力（“四能”）。［1］其中，“四基”是數學學習的載體，“四能”是發展數學核心素養的抓手。發現與提出問題的能力、分析與解決問題的能力，本質上是運算能力、推理能力、直觀想象能力等多種數學基本能力的綜合體現。

一線教師往往更關注學生如何分析問題與解決問題，因此問題大多數由教師提出，很少讓學生自己去發現、提出，導致“四能”的培育出現了一定程度的不平衡現象。問題的發現在數學教學中應該占有重要的位置。創新始于問題，發現往往是科學探究的基礎。基于此，一些數學家認為在數學中發現結論比證明結論更重要。發現、提出、分析、解決問題的過程是科學探究需經歷的全過程，顯然，在教學中讓學生經歷這樣的過程是很有價值的。［2］數學教育應讓學生經歷數學探究的過程，給他們提供探究、猜想和提出問題的機會。［3］

新課標提出“四能”，也提倡在教學過程中設計更多問題，并為學生提出問題創造情境。依據新課標，新修訂的各版本教材相對于原先的教材而言，增強了趣味性、情境性、實踐性以及與信息技術的結合性。如人教A版普通高中數學教科書的“拓廣探索”欄目［4］和蘇教版普通高中數學教科書的“探究·拓展”欄目［5］等，提供了具有情境性或探究性的素材，讓學生發現并提出問題。教師在用好、用足這些素材的同時，還要深入研究教材，挖掘更多的素材，努力實踐“用教材教”。因此，如何立足課堂教學，全面培育“四能”，尤其是培育發現問題和提出問題的能力，是一個值得探討的問題。本文以“復數的幾何意義”的教學設計為例，談談對此的思考。

二、教學設計片段與說明

教學設計片段1：觀察與發現

實數集中引入新數i后，進一步擴充成復數集，教師給出復數加法、減法、乘法、除法運算法則。

設z1=a+bi，z2=c+di，其中a，b，c，d∈R。

【問題1-1】在復數范圍內進行四則運算，若令兩個復數的虛部都為0時，大家有什么發現？

【預設】學生提出自己的發現：復數集上的四則運算法則限制在實數集上，與實數集上的四則運算法則是一回事。

【設計意圖】研究復數集上的四則運算需要考慮特殊的情形，即實數集上的四則運算，兩個集合上的四則運算不能相互矛盾，要能夠相容。體會到特殊化的過程，才能體會到復數集上的運算法則的合理性。這個特殊化的過程體現了一致性，后面研究復數的相關性質，總是要“回頭看看”特殊情形——實數的相關性質。

【問題1-2】實數m的幾何意義是什么？實數m的絕對值（即[m]）的幾何意義是什么？對于兩個實數m，n，[m-n]的幾何意義是什么？

【預設】學生能夠回答：實數m的幾何意義是數軸上的對應的點，[m]的幾何意義是數軸上的對應點與原點的距離，對于兩個實數m，n，[m-n]的幾何意義是數軸上對應的兩點之間的距離。

【問題1-3】如果我們研究復數的幾何意義，你能不能提出你的猜想？

【預設】學生提出：復數的幾何意義可能也是點，復數的“絕對值”可能是表示復數的點與原點的距離，兩個復數的差的“絕對值”的幾何意義可能也是兩點之間的距離。

【設計意圖】讓學生感受新知識與舊知識之間的緊密聯系，形成正向的遷移，即研究復數的相關性質可以從研究實數的相關性質入手。學生在感受復數集上的四則運算法則與實數集上的四則運算法則之間的關系的基礎上，提出自己的發現，教師加以點評。以此為先例，教師以實數的相關問題切入，讓學生自主提出與之“平行”的復數相關問題。

教學設計片段2：復數的幾何意義的探索

【問題2-1】實數的幾何意義是數軸上的點，復數包括實數與虛數，復數的幾何意義是什么樣的點？我們只需要研究什么問題？

【預設】學生提出：虛數的幾何意義是什么？

【問題2-2】你覺得虛數單位i用什么樣的點表示？1+i用什么樣的點表示？更一般地，a+bi（a，b∈R）用什么樣的點表示？

【預設】學生發現：數軸上的點“不夠用”，提出引入坐標平面，用坐標平面上的相關的點表示。

【問題2-3】復數z=a+bi（a，b∈R）與點（a，b）一一對應，這個對應合理嗎？我們還要考慮什么問題？

【預設】引導學生提出：復數z=a+bi（a，b∈R）與點（a，b）一一對應，特別地，當b=0時，實數a與點（a，0）對應，也與原先的實數與數軸上的點一一對應一致。

【問題2-4】還有哪些數學對象也與點對應，也用坐標表示？如果有，它們之間是不是一一對應的？

【預設】學生聯想到平面向量，從而建立三者之間的關系，進一步完善復數的幾何意義。

【設計意圖】 通過感受數軸上的點與實數是一一對應的，發現數軸上的點“不足以”表示復數。復數本質上是二元數，即復數z=a+bi（a，b∈R）由實部和虛部兩者同時確定。通過考慮復數的“二元性”與實數的“一元性”的差別，學生聯想到可以把數軸“擴充”成坐標平面來破解“數軸上的點不夠用”的困境，同時將復數與坐標平面內的點（a，b）對應。此時，實數a對應復平面內的點（a，0），該點在實軸上，保持“數軸上的點與實數一一對應”這一屬性始終沒有變化。這個教學片段中，在感受復數與實數差異（“二元性”與“一元性”差異）的基礎上，學生能自然地聯想并發現平面上的點也具有“二元性”，提出解決問題的方案便成為水到渠成的事情；在教師的引導下，學生能聯想到平面向量也具有“二元性”，從而發現復數、復平面內的點、平面向量之間的一一對應關系，得出復數的多重幾何意義。通過教師的引導，學生能得出以下結論：（1）需要建立坐標平面才能表示復數（教師順勢給出相關概念）；（2）建立復數幾何意義的關系圖（如圖1所示）。

教學設計片段3：復數的模的幾何意義的探索

【問題3-1】結合實數的絕對值以及圖1所示關系圖，如何規定復數z的“絕對值”？

【預設】用兩點間距離或對應的平面向量的模來定義，期望學生能夠體會其合理性，即表達出復數的模的幾何意義，理解其與實數的絕對值本質上是一致的。

【問題3-2】實數集內有[z]2=z2，你能提出怎樣的問題？

【預設】學生提出：[z]2=z2在復數集內還成立嗎？為什么？如果成立，請證明；如果不成立請舉出反例。教師組織學生思考與討論，得出“不一定成立”的結論。

【問題3-3】能不能修改[z]2=z2，使之在復數范圍內也成立？

【預設】讓學生經歷發現的過程：等式左邊為實數，而右邊未必是實數。一個復數與其共軛復數的積為實數，可以將右邊改為z·z，再嘗試去驗證[z]2=z·z。

【問題3-4】實數集內有[z1z2]=[z1][z2]，據此你還可以提出怎樣的問題？

【預設】學生提出：復數集內是否有同樣的結論[z1z2]=[z1][z2]？如果成立，請證明；如果不成立，請舉出反例。教師組織學生驗證其成立。

【問題3-5】若復數z滿足z（2+i）=3+4i，則[z]=? ? 。

【預設】直接計算，或利用[z1z2]=[z1][z2]計算。

【問題3-6】結合前面的一些問題，你還能猜想出復數的模可能滿足的其他性質嗎？

【設計意圖】學生感受實數的四則運算法則、幾何意義分別與復數的四則運算法則、幾何意義都是特殊與一般的關系，教師以此為先例，讓學生聯想實數的絕對值與復數的哪些概念相對應，結合實數的絕對值的幾何意義聯想復數模的幾何意義是什么。這樣，學生能自然地發現并提出相關問題及給出解決方案，如學生在感受實數絕對值的性質時，通過教師引導能自然聯想到復數模的性質有哪些，然后提出自己的猜想，并證明或證偽（舉反例說明）。學生經歷真正的探究過程，自身的思辨能力也得以提升。特別是實數范圍內性質[z]2=z2如何推廣到復數范圍內性質[z]2=z·z，學生經歷了舉反例、不斷修正的完整的探索過程，能進一步積累研究問題的活動經驗。這個教學片段引導學生用聯系的觀點看待新知與舊知之間的關聯，在舊的知識結構上繼續建立并完善新的知識結構。

教學設計片段4：復數加減法、復數差的模的幾何意義的探索

【預設】學生能正確回答前面的問題，期望學生能提出：z1-z2對應的向量是什么？z1·z2對應的向量是什么？（因為高中階段學生只學習了向量的數量積，但其結果不為向量，因此我們暫不研究這個問題。）

【預設】學生能正確回答問題，期望學生能夠體會其合理性，即表達出復數的差的模的幾何意義與實數的差的絕對值的幾何意義一致。

【設計意圖】通過具體問題，從向量的角度，建立復數的和、差、差的模的幾何意義。

三、教學思考

提高學生分析或解決問題的能力是大多數數學教師關注的，那么，如何在課堂教學中聚焦發現與提出問題能力的培育？筆者認為教師應堅持以學生的發展為本，從培養創新性人才的基本要求出發，有意識地把培育學生發現與提出問題的能力落實到課堂教學的具體環節中。結合前面的教學設計，筆者認為可以從以下方面加以嘗試。

1.把握學情，找準學生發現與提出問題的最近發展區

2. 創設情境，營造發現與提出問題的適切場域

3.設計關聯，提供發現與提出問題的機會

課堂教學中，教師圍繞課堂教學目標可以設計適切情境、問題（問題鏈）以及學生活動，讓學生循著“理解情境（或問題）—參與活動—發現關聯—提煉規律（結論）”的路徑進階，提高發現與提出問題的能力。如果教師能精心設計情境的各要素之間的關聯性，設計問題鏈中各問題間的關聯性，設計學生活動各環節之間的關聯性，適當留白，就有可能為學生從中發現問題、提出問題提供時間或空間機會。例如，本案例中實數與復數的相關幾何意義就是特殊與一般的關聯，引導學生一次次經歷從實數的相關幾何意義猜想并給出復數的相關幾何意義，再將復數的幾何意義與實數的幾何意義進行對比，說明合理性，形成多個思維的閉環，不斷使相關知識與方法結構化。再如，“在實數集內有[z1z2]=[z1][z2]，在復數集內，這個等式還成立嗎？”與“若復數z滿足z（2+i）=3+4i，則[z]=? ? ”之間也有密切的關聯，前者的解決為后者的解決提供了一種簡潔的思路，但其中的關聯要讓學生自己去發現并運用。一旦得到[z1z2]=[z1][z2]在復數集內成立，則提出與之關聯緊密的問題“你還能猜想復數的模可能滿足的其他性質嗎？”也是順其自然的，學生依托實數的絕對值的性質聯想復數的模的可能的性質。

4.評價跟進，激發學生發現與提出問題的積極動機

積極動機作為非智力因素，可以喚醒學生的學習動力。學生積極動機的形成從內部來講，往往源于對某個學習對象的興趣，而從外部來講，常常源于教師或同伴對其學習態度，或學習過程，或學習成果的充分肯定。教師對學生發現與提出的問題做出積極肯定的評價，或者在學生自我發現錯誤后做出激勵性的評價，都可以激發并維持學生發現與提出問題的積極動機，也能激發學生強烈的好奇心與求知欲。實踐表明，及時跟進對發現與提出問題的評價，能激發學生想進一步了解數學對象的迫切期望。這種條件下，學生對問題的思考與探究也將更為深入。例如，本案例中“若復數z滿足z（2+i）=3+4i，則[z]=? ?”，學生用按部就班的方法求解后，筆者提問還有沒有其他的好辦法，學生若能結合前面的結論，就會發現利用兩邊取模的方法更為簡潔。學生給出其他方法后，教師給予肯定的評價，學生的積極性會更為高漲。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020：8.

［2］黃翔，童莉，李明振，等. 從“四基”“四能”到“三會”：一條培養學生數學核心素養的主線［J］. 數學教育學報，2019（5）：37-40.

［3］蔡金法，姚一玲. 數學“問題提出”教學的理論基礎和實踐研究［J］. 數學教育學報，2019（4）：42-47.

［4］李海東，郭玉峰. 普通高中教科書·數學：必修第一冊［M］. 北京：人民教育出版社，2019：230.

［5］單墫，李善良. 普通高中教科書·數學：必修第一冊［M］. 南京：江蘇鳳凰教育出版社，2020：213.