基于GeoGebra曲線的圖案設計及其應用

朱永慧,劉冬云,張 毅

(江南大學 設計學院,江蘇 無錫 214122)

隨著計算機科學技術的發展,越來越多的圖案以數字化的形式展現。數字化圖案準確、高效的生成特點為藝術設計者帶來了全新的思維方式和設計途徑。數字藝術圖形可分為數學曲線、分形圖形、動力系統圖形、弱混沌圖形等。目前國內外對于數字化的圖案研究大多集中于分形理論、混沌理論等領域[1]。Neves等[2]從20世紀90年代開始研究分形圖案的生成方法、應用的可能性與前景。張聿等[3-4]探討了弱混沌與準規則斑圖在織物中的設計方法。羅戎蕾等[1]對數學方法生成幾何圖案的設計進行了研究。丁玲聰等[5]對廣義牛頓迭代圖形在紋樣中的應用進行了探討。

藝術和幾何學在表達的過程中促進了藝術創作和幾何思維的發展[6]。數學和藝術是相通相融的,利用參數化方式生成圖形在提供高效性、便捷性的同時,也為設計師進行設計因子生成和圖案二次設計提供了新的思路。Geogebra是由International GeoGebra Institute(IGI)開發的用于繪圖、構造、創建、拖動、分享的圖形生成軟件。GeoGebra相關主題的文獻發表呈逐年增長態勢,但研究方向側重學科教學,研究應用傾向數學模型、物理模型的構建,鮮有將數學曲線應用于設計領域的研究。本文運用參數化、動態化的方法生成曲線圖形,提取并重構圖形因子,運用形狀文法方式完成設計因子庫的構建和圖形的二次設計,以期在提高圖案設計效率的同時,為設計者提供更廣的設計思路。

1 GeoGebra軟件生成圖形

運用GeoGebra軟件生成的曲線稱為GeoGebra曲線。數學曲線是變化無窮的,通過調節GeoGebra中數學模型的參數值,查看曲線的動態變化,從無限變換的GeoGebra曲線中篩選出符合圖案設計原則、形式美法則的曲線圖形,快速、清晰地提取圖形并應用到后續設計因子庫搭建、因子重構、圖案再設計中。調節數學模型中的參數值可將GeoGebra曲線進行無限種變換,其變化無窮性可為圖案設計者帶來更多設計思路和設計多樣性。

1.1 圖形生成原理

輸入曲線表達式生成GeoGebra曲線,通過改變曲線表達式中的可變參數值改變圖形的形狀,判斷該圖形是否滿足“形式美法則”這一判定條件,如為“是”則建立原始圖形因子庫,如為“否”則繼續改變參數值進行篩選,生成設計因子的程序流程圖見圖1。

圖1 生成設計因子的程序流程圖

通過表達式生成大量曲線圖形,篩選出符合形式美法則的圖形進行因子庫構建,生成圖形以幾何形式表現。幾何圖形是由直線、曲線、圓形、三角形、方形、菱形等不同數學線形組成的規則或不規則的幾何形體形成的有裝飾作用的圖案[7]。幾何圖形多以折線、曲線、圓、n邊形等為構成要素,是起源最早的圖案類別之一。在圖形因子庫中,可將幾何圖形具象化為自然圖形,如樹形、花形、葉形、漩渦形等,可拓寬圖形來源,豐富圖形表現形式。

1.2 圖形的動態生成實驗

運用GeoGebra軟件進行圖形實驗,具體的動態生成實驗過程以追逐曲線為案例進行說明。

假設正n邊形的n個動點分別位于n個頂點上,每個動點從頂點出發開始追逐相鄰動點,每個動點的追逐過程可連成一條45°等角螺線,這一過程產生的曲線稱為追逐曲線。3點追逐曲線圖形變化過程見圖2,L(line)為動態變化中曲線線段長度,通過改變迭代次數N(number)和迭代比例R(ratio),影響迭代后曲線的長度L′,導致圖形中線的形狀和排列方式發生變化,得到不同形態特征的曲線圖形。當圖形編號取1#、4#、5#時,生成的圖形較為硬朗,通過折線將圖形內部切割為塊狀,后續可通過色塊的漸變和對比來進行圖案設計;當圖形編號取2#、3#、6#時,所生成的圖形較為柔軟,以彎曲的漩渦狀線條為其主要特點,用二維的線條表達出了三維的效果,后續可通過化平面為立體的方式來進行圖案設計。

圖2 3點追逐曲線圖形的變化過程

1.3 生成圖形特征

1.3.1 均衡性

運用GeoGebra軟件生成的圖形具有均衡性,以4種著名的數學曲線加以說明。費馬螺線的曲線由中心向四周不斷環繞、內圈與外圈的距離由疏轉密,可聯想到太極圖、水中漣漪等,給人以平衡、動感、飽滿之感(見圖3(a));斐波那契螺線和費馬螺線具有一定相似性,斐波那契螺線按一定比例由中心向四周旋繞,可聯想到自然界蝸牛殼、水波紋,給人以自由、活潑、動態之感(見圖3(b));希爾伯特曲線由折線沿相互垂直的方向連續不斷地延伸,形成類似迷宮的“工”字紋,給人以力量、均衡、規律之感(見圖3(c));圓周n等分曲線是圓周上等分點連線形成的多變曲線,通過改變線段密度和圖形形狀來生成不同的曲線圖形,給人以自然、充盈、變化之感(見圖3(d))。

圖3 4種均衡的曲線圖形

1.3.2 對稱性

運用GeoGebra軟件生成的圖形具有對稱性。對稱性是數學曲線的一個顯著特征,其對稱性可進一步分為上下對稱、左右對稱和中心對稱(在坐標系中分別表現為圖形關于x軸、y軸和原點對稱)。數學圖形與藝術圖案具有共通性,對稱性同樣存在于形式美法則中。以4種著名的數學曲線加以說明,圖4(a)(b)(d)的數學曲線均為上下左右對稱圖形,圖4(c)為左右對稱圖形。從象形角度來講,圖4(a)(b)形似花朵,給人以清新自然之感;圖4(c)為典型的畢達哥拉斯樹,是由畢達哥拉斯根據勾股定理畫出來的一個可以無限重復的圖形[8],樹葉部分由可以無限延伸的正方形構成,延伸方式是以正方形邊長為鏤空等腰三角形的斜邊長度,以鏤空等腰三角形的直角邊長度來確定下一個正方形的邊長長度,其延伸方向由已生成正方形控制,如此不斷重復作圖,重復數次后形似一棵幾何形樹;圖4(d)形似層層延伸的樓梯,給人以立體、深邃、動態之感。

圖4 4種對稱的曲線圖形

1.3.3 多樣性

運用GeoGebra軟件生成的圖形具有多樣性。圖形形狀包括曲線狀、螺紋狀、漩渦狀、折線狀等,排列方式以圖形組合、逐層漸變、無限循環為主。圖5所示圖例1～10分別取自斐波那契螺線、費馬螺線、希爾伯特曲線、三點追逐曲線、六點追逐曲線、玫瑰曲線、萬花尺曲線、畢達哥拉斯勾股樹、圓的n等分曲線。通過改變GeoGebra曲線的參數值可改變曲線圖形,因參數值的無限性,故調節參數值可得到無限種圖形。生成的圖形可形象地看作漩渦狀、樹葉狀、花朵狀、樹狀、海星狀等自然界圖形,自然界圖形的豐富性與生成圖形的無窮性特點相同,共同構成了圖形種類的多樣性。

圖5 軟件生成的曲線圖形

2 GeoGebra圖形因子的提取與重構

對具備設計美學的生成圖形進行設計因子提取與重構,將抽象的數學理論運用到實際設計應用中[9],進一步探究數學曲線應用于圖案設計的創新性和可能性。

2.1 圖形因子的提取

GeoGebra曲線的原始圖形并非因子提取的最小單元,可按圖形的構成方式劃分為更小的提取單元。先通過觀察法將GeoGebra曲線構成原始圖形的整體與局部進行劃分,以原始圖形的子集分類、圖形的形式美法則和圖形的對稱性、均衡性、閉合性作為提取標準進行因子提取,提取過程見表1,根據數學集合的子集性質可知,右側因子A1、A2、A3均來自原始圖A,圖形因子的提取方式具有多樣性。提取因子用于后續因子重構和構建設計因子庫。

表1 圖形因子的提取過程

從象形角度來看,A2形似花朵,B1形似愛心,B2形似月亮,C3形似銀杏葉,這種因子的象形化表現銜接了曲線和圖案之間由抽象到具象的轉變,可為后續因子的重構提供不同的思路。

提取的設計因子形態各異、風格多變,但又有相似性,例如許多因子是對稱的,絕大多數因子給人以均衡感。提取的圖形因子來源于原始圖例,卻與原始圖例的風格不盡相同,這一包含關系和變化方式說明單一或復雜的圖形經過不同的藝術處理,可以形成千變萬化的圖案[10],這種千變萬化的特點與數學圖形變化的無窮性具有相似性,設計師可通過聯想法將抽象的因子具象化,為圖案帶來更多創新性和可能性。

2.2 圖形因子的重構

從原始圖形庫中提取圖形因子,將形狀文法的推演方式引入本文實驗,對圖形因子進行重構。形狀文法[11-12]由George Stiny和James Gips提出,起初將其應用于繪畫和雕塑創作中,后拓展到品牌設計和圖形創新設計等領域。形狀文法的基礎推演規則包括置換、增減、縮放、鏡像、復制、旋轉、平移、微調[13]。先運用觀察法,將因子的形態特征進行對比、歸納、梳理,從這些特征出發,運用形狀文法的設計方法對不同特征的因子分別進行推演,通過簡化、重復、化曲為直、化直為曲的方法對設計因子進行多種方式的重構。將抽象的因子具體化,完成圖案的重構過程。圖形因子的重構過程見表2。

表2 圖形因子的重構過程

2.2.1 旋轉漸變

單獨圖案是圖案構成的基本單元,具有獨立性和完整性,通過旋轉漸變的方式實現單獨圖案的重構。B3經過旋轉漸變得到B4,E2經過旋轉漸變得到E4,B3和E2在形態上具有圓潤飽滿的特征,得到的重構圖案形似由內向外、由中心向四周層層環繞的幾何形花朵,與以往花朵圖案不同之處在于,該重構圖案由許多看似不相關的數學曲線閉合構成,在增強圖案層次感、流動感、現代感的同時,也傳達了數字化曲線之美。

2.2.2 鏡像對稱

通過鏡像對稱的方式實現連續圖案的二方連續紋樣重構。B2經過鏡像對稱得到B5,C3經過鏡像對稱得到C4。B2形態靈動,上下對稱的構成方式給人以均衡感,重構圖案B5有團團圓圓、豐腴飽滿之態;C3形態秀麗,一端尖銳、一端圓潤的構成方式給人以動態韻律感,重構圖案C4為形似樹葉狀邊飾,有簡約自然、清新淡雅之態。同時,通過控制和調節對稱方向、鏡像對稱軸,可將同一設計因子以同一種重構方式生成不同的二方連續紋樣。多種重構圖案的生成方式,將設計因子連續不斷地向上下或左右進行延伸,得到形態各異、變化豐富的二方連續紋樣。

2.2.3 旋轉組合

通過旋轉組合的方式實現連續圖案的四方連續紋樣重構。C1經過旋轉組合得到C5,C2經過旋轉組合得到C6,E1經過旋轉組合得到E5。C1形態飄逸,通過重構形成閉合對稱的類六棱星造型,將其無限延伸生成四方連續紋樣。C2形態似旋轉的樓梯,通過重構形成立體感強、形似相互穿梭流動的針織纖維狀圖案,可為設計立體化圖案和面料改造提供思路。組合重構的方式可拓寬因子重構的思路。E1形態生動,在對E1進行旋轉組合的同時將設計因子庫中其他因子加入重構過程中,進行多因子組合重構,以此增加E5的豐富性、層次性、生動性。

將圖形因子進行重構實驗,可以生成單獨圖案和連續圖案,如單獨紋樣、適合紋樣、二方連續紋樣、四方連續紋樣。重構方法基于形狀文法將抽象的因子具象化、將單一的因子整體化、將因子的某一特征放大化。在保留因子原有特色的基礎上進行提取和重構,創建出新式紋樣[14]。重構圖案可以作為新的設計因子一并加入設計因子庫中,即能直接作為設計的基本元素[15],也可以應用于后續的圖案設計中,以完成圖案設計的應用實踐。

3 圖案設計實踐

重構圖案作為設計因子,其構圖完整,可直接應用于設計實踐,也可進行多因子組合再設計。通過設計圖案與實踐造型的高度適配性來演繹重構圖案在應用場景中的現代美感。

3.1 通勤配件設計

3.1.1 通勤配件方案設計

運用設計因子庫中的C5進行圖案設計實踐,方案設計的靈感來源于上班族日常通勤場景。從女式通勤配件的角度出發,針對消費者日常通勤、工作、午休等場景中對于通勤配件的便捷性、舒適性等需求,將設計圖案應用在系列通勤配件組合中,通過配件群組內產品的高關聯性來豐富圖案的應用場景和表現形式,達到消費者成套購買的設計目的。該系列產品的消費人群定位為有通勤配件需求的職場女性,年齡范圍為25～45歲,該目標人群的典型特點是在箱包容量上有一定需求,同時需通過配件組合提升工作場景的舒適性。

通勤配件設計方案如圖6所示,箱包在廓形上選擇托特包的包體結構,該包體容量較大;將圖案以四方連續的方式排列在箱包主體部分,增加韻律感和層次感,包帶和包蓋部分用純色表現,增加整體的流暢感和和諧感。在其余通勤配件的表現上,通過調節印花圖案大小來提升系列產品的整體性和變化性,豐富同一圖案的不同表現力。

圖6 通勤配件設計方案

3.1.2 通勤配件配色設計

在配色方案上,選取純色系和彩色系2種配色方案,分別適用于不同的消費人群。純色系適用于年齡稍長、穿搭較為簡約沉穩的消費者;彩色系適用于年齡稍小、穿搭較為豐富多樣的消費者。純色系圖案和系列產品設計效果圖見圖6(a);彩色系圖案和系列產品設計效果圖見圖6(b)。根據配色原理的不同,純色系配色使圖案的應用更具整體性,通過不同位置顏色明度和純度的變化以增加立體感;彩色系配色使圖案的應用更具變化性,通過不同位置顏色搭配和冷暖的變化以增加明快感。

3.2 系列服裝設計

3.2.1 系列服裝方案設計

系列服裝設計靈感來源于唐代團花紋樣,運用設計因子進行團花紋樣模擬造型,分析和對比唐代團花紋樣與因子庫中圖形的相似性。圖7為團花紋樣的骨骼結構圖,從結構上來看,團花紋樣按照“米”字形的骨骼進行排列,以中心點向四周進行放射狀構圖,整體外觀為圓形[16]。圖8為設計因子按照團花紋樣的骨骼結構進行圖案主花型模擬設計。圖9的圖案模擬過程具體選取E4、B3、C3、A3、D2設計因子作為基本構成要素,通過增減、縮放、旋轉、鏡像、復制、平移等推演,進行要素重組,豐富曲線元素藝術表現形式[17]。圖10為系列服裝設計方案,將圖案以印花的形式表現在現代服飾中,寓意“唐意新穿,團意呈祥”。

圖7 團花紋樣骨骼結構

圖8 設計因子模擬的團花紋樣

圖9 圖案模擬四方連續

圖10 系列服裝設計方案

3.2.2 系列服裝配色設計

系列服裝的配色選用唐代藻井紋樣中具有代表性的黃、橘、綠、青,將顏色融入圖案設計和服裝設計中,豐富其表現形式。如圖10所示,系列服裝分別通過暖色黃、橘、紅與冷色綠、青、藍形成視覺對比和沖擊,并且降低顏色飽和度來提高整體和諧度,使設計圖案在系列服裝的配色中得以體現又十分適配。

4 結束語

利用GeoGebra軟件進行數學曲線的動態生成,提取和重構曲線圖形,并將其應用于圖案設計領域以證明GeoGebra曲線的藝術性。從圖案設計原則和形式美法則2個方面,將計算機高效、動態生成的曲線圖形進行圖形分類和圖形因子提取;基于形狀文法對圖形因子進行重構,構建設計因子庫;實驗證明重構圖案可用于構建設計因子庫,也可直接應用于圖案設計實踐。以數學曲線圖形作為設計因子,設計出的圖案符合人們的現代審美,具有一定的實用價值和經濟價值。未來將進一步通過改變GeoGebra參數值,運用生成的數學曲線圖形進行不同類別圖案的模擬設計,研究更高效和多樣的圖案生成方法。