地球旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對X-型內(nèi)孤立波間波-波相互作用的影響?

泮龍翔,袁春鑫

(中國海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東 青島 266100)

海洋內(nèi)波是最大振幅出現(xiàn)在密度穩(wěn)定層化的海洋內(nèi)部的一種波動(dòng),頻率在慣性頻率和浮性頻率之間,其恢復(fù)力在較高頻率時(shí)主要是重力與浮力的合力(稱為約化重力),在接近慣性頻率的較低頻率時(shí)主要是地轉(zhuǎn)科氏力,故內(nèi)波也稱為內(nèi)重力波或內(nèi)慣性-重力波[1]。一個(gè)振幅高達(dá)百米量級的內(nèi)波通常僅僅能在海表面引起厘米量級的海表起伏,所以內(nèi)波通常不易被常規(guī)觀測手段發(fā)現(xiàn)。內(nèi)孤立波是內(nèi)波中較為重要的一類,通常以強(qiáng)非線性為特征,在過去的幾十年里得到了廣泛的關(guān)注和研究[2]。

大量的研究表明,內(nèi)孤立波在幾個(gè)慣性周期內(nèi)長距離傳播時(shí),長時(shí)間施加的地球自轉(zhuǎn)的影響變得十分重要,是研究內(nèi)孤立波不可忽略的一部分。最初的理論研究之一是基于水平方向一維的擴(kuò)展Korteweg-de Vries(KdV)方程,即含旋轉(zhuǎn)項(xiàng)的KdV方程,也被稱為Ostrovsky方程[3],來研究旋轉(zhuǎn)對內(nèi)孤立波的影響。旋轉(zhuǎn)效應(yīng)會(huì)施加一個(gè)全局的頻散作用,打破內(nèi)孤立波的非線性和頻散的平衡,將內(nèi)孤立波分解為非線性較弱的慣性重力波,最終形成一個(gè)非線性波包,這意味著Ostrovsky方程不支持穩(wěn)定的KdV孤立波解[4-5]。Grimshaw[5]通過理論分析和數(shù)值計(jì)算,Grimshaw等[6]通過實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn),Grimshaw等[7]通過SAR圖像進(jìn)一步證實(shí)了該波包的產(chǎn)生,而且一些理論方程的結(jié)果也驗(yàn)證了該波包的存在,例如,Helfrich等[8]使用的完全非線性、弱非靜力近似的界面波MCC方程,Grimshaw等[9]構(gòu)造的高階非線性薛定諤方程,以及Yuan等[10]使用的強(qiáng)迫Ostrovsky方程。有趣的是,當(dāng)一個(gè)波包追趕上另一個(gè)波包時(shí),既可以相互穿過,也可以合并形成一個(gè)更長的波包[8]。既然Ostrovsky方程會(huì)破壞穩(wěn)定的KdV孤立波解,那么Ostrovsky方程是否存在穩(wěn)定的解呢?Gilman等[11]通過一個(gè)近似的漸近過程,構(gòu)造了Ostrovsky方程的近似漸近解,即一個(gè)孤立波在一個(gè)弱背景長波上絕熱運(yùn)行,當(dāng)使用變系數(shù)Ostrovsky方程時(shí),就可以研究地球旋轉(zhuǎn)和可變地形的聯(lián)合效應(yīng)對內(nèi)孤立波的影響,其結(jié)果會(huì)導(dǎo)致內(nèi)孤立波發(fā)生相當(dāng)劇烈的變形,例如,在淺化地形和地球旋轉(zhuǎn)的共同影響下,內(nèi)孤立波會(huì)在通常因水深變淺產(chǎn)生的尾波包后面額外生成一個(gè)非線性波包[12]。

地球旋轉(zhuǎn)對水平二維內(nèi)孤立波影響的研究則較稀少,這其中Kadomtsev-Petviashvili(KP)方程正是描述三維空間中內(nèi)孤立波的典型模型,它最初是由Kadomtsev和Petviashvili[13]推導(dǎo)得到,然后由Grimshaw[14]進(jìn)一步將其推廣使其適用于內(nèi)孤立波的研究,它通常被認(rèn)為是KdV方程的一個(gè)二維情況的推廣,該方程使人們可以更全面多角度地去研究內(nèi)孤立波,例如,蔡樹群[15]使用帶地轉(zhuǎn)效應(yīng)項(xiàng)、高階非線性項(xiàng)、摩擦項(xiàng)和保證波動(dòng)能量能通量守恒項(xiàng)的擴(kuò)展KP方程研究了地轉(zhuǎn)對有無真實(shí)底地形、不同振幅入射波、兩個(gè)不同源地入射波在傳播過程中的影響,發(fā)現(xiàn)由于橫向擴(kuò)散效應(yīng),導(dǎo)致波場的演化更加復(fù)雜;Yuan等[16]通過KP方程研究了二維變化地形對內(nèi)孤立波傳播的影響,通過方程的漸近解解釋了橫向的變化是如何影響內(nèi)孤立波形變的。

由于海洋復(fù)雜的岸線形狀和海底地形,使得不同位置產(chǎn)生的沿不同方向傳播的內(nèi)孤立波很容易以一定的傾角相互碰撞,進(jìn)而發(fā)生斜向的波-波相互作用。同時(shí),當(dāng)內(nèi)孤立波遇到陡峭海底地形時(shí)會(huì)發(fā)生明顯的折射,有時(shí)單個(gè)內(nèi)孤立波還會(huì)被切斷成兩個(gè)內(nèi)孤立波,這樣就會(huì)使得內(nèi)孤立波間發(fā)生波-波相互作用的可能性大大增加。而且,這些復(fù)雜多變的斜向波-波相互作用會(huì)根據(jù)振幅和夾角的不同演變?yōu)槎喾N波形,即使不考慮淺化地形對內(nèi)孤立波振幅的放大效應(yīng),在平坦的形下理論上相互作用區(qū)域振幅最大可以達(dá)到原來的四倍[17],進(jìn)而產(chǎn)生強(qiáng)剪切流,對海洋油氣開采平臺(tái)、輸油管道、水下潛艇等設(shè)施產(chǎn)生嚴(yán)重威脅,并且引起的溫躍層的起伏也會(huì)對水下通訊和軍事活動(dòng)產(chǎn)生顯著影響[18]。因此,研究海洋內(nèi)孤立波的斜向波-波相互作用,不僅能夠加深我們對內(nèi)孤立波動(dòng)力學(xué)的研究,對海洋資源的開發(fā)利用和國防建設(shè)也具有重要的意義。

內(nèi)孤立波間斜向波-波相互作用的研究工作最早是理論研究。Miles[17,19]最先使用KdV方程對孤立波的斜向波-波相互作用進(jìn)行了研究,并發(fā)現(xiàn)了在相互作用區(qū)可能會(huì)出現(xiàn)的馬赫峰。后來,Kodama[20]、Yeh等[21]將Miles理論修改并擴(kuò)展其適用性到較小但有限的入射角。隨著實(shí)驗(yàn)、觀測技術(shù)和計(jì)算機(jī)的發(fā)展,Maxworthy[22]基于實(shí)驗(yàn)室實(shí)驗(yàn),Wang等[23]基于實(shí)測的海洋數(shù)據(jù),Xue等[24-25]基于衛(wèi)星圖像研究了波-波相互作用。而關(guān)于波-波相互作用的數(shù)值模擬,大多集中在KP方程上,例如,Tsuji等[26]使用帶三次非線性項(xiàng)的擴(kuò)展KP方程進(jìn)行了相關(guān)研究。還有一些針對波-波相互作用多發(fā)海域的研究,例如,Chen等[27]研究了中國南海內(nèi)孤立波的斜向波-波相互作用,并解釋了長波峰線內(nèi)孤立波在長距離傳播后不會(huì)衰減的現(xiàn)象。Shimizu等[28]利用高分辨率三維MITgcm模型和擴(kuò)展Miles理論,研究了安達(dá)曼海類孤立波間的斜向相互作用,其中還研究了馬赫峰的發(fā)展及低緯度地區(qū)地球旋轉(zhuǎn)的影響,這里馬赫峰是波-波相互作用的一個(gè)重要結(jié)果,本文也將討論地球旋轉(zhuǎn)對其產(chǎn)生的影響。當(dāng)斜向波-波相互作用發(fā)生時(shí),振幅和夾角之間的關(guān)系非常重要,尤其是變化地形的加入,會(huì)使演化變得更加多樣和復(fù)雜。Yuan等[29]在淺化地形下對此進(jìn)行了深入研究,該研究考慮的初始波形是V-型的,據(jù)其分類,在無旋轉(zhuǎn)無底地形情況下,不同振幅夾角的初始V-型波將演化為6種情形,其中有兩對雖然數(shù)學(xué)表達(dá)不同,但是可以通過一個(gè)簡單坐標(biāo)變換后,發(fā)現(xiàn)是物理上等同的,故本質(zhì)上只有4種情形:第1種在相互作用區(qū)出現(xiàn)了相移,并會(huì)演化成所謂的X-型波;第2種在相互作用區(qū)出現(xiàn)一個(gè)馬赫峰,即X-型波中心將由點(diǎn)變?yōu)榫€段狀;第3種是共振相互作用,會(huì)產(chǎn)生第3個(gè)分支,構(gòu)成了所謂的Y-型波;而第4種結(jié)構(gòu)復(fù)雜少有研究。最近海洋中常見的另外一種X-型內(nèi)孤立波間的波-波相互作用也得到了研究[30]。X-型波則會(huì)演化為4種情形,除去對稱的1種情形,本質(zhì)上只有3種情形:第1種在相互作用區(qū)同樣出現(xiàn)了相移;第2種在相互作用區(qū)出現(xiàn)了一個(gè)等腰梯形結(jié)構(gòu),梯形較短的底邊便是馬赫峰;第3種在相互作用區(qū)出現(xiàn)了更為明顯的相移。在衛(wèi)星圖像上經(jīng)常可以很容易地找到這些形狀的波-波相互作用引起的相應(yīng)形狀的海表面起伏[25,27],這只是我們通過衛(wèi)星能夠觀測到的一部分,可知這些形狀的波-波相互作用在真實(shí)海洋中是經(jīng)常發(fā)生的。

注意到上述研究中鮮有考慮地球旋轉(zhuǎn)的影響,Shimizu等[28]雖然考慮了旋轉(zhuǎn)的影響,但主要是以安達(dá)曼海的MITgcm數(shù)值模擬結(jié)果為主,用KP方程對數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行了解釋,提供了很多新穎的觀點(diǎn)。不同于Shimizu等[28]的“案例研究”,本文更像是動(dòng)力學(xué)機(jī)制探討。首先我們的實(shí)驗(yàn)基于Yuan等[30]用KP方程的解析解發(fā)現(xiàn)的呈X-型的兩個(gè)初始內(nèi)孤立波的除奇異點(diǎn)外的全部4種演變情形,并將較強(qiáng)的地球旋轉(zhuǎn)和無旋轉(zhuǎn)情形進(jìn)行了對比實(shí)驗(yàn),然后考慮了不同強(qiáng)度的地球旋轉(zhuǎn)的影響,即在不同緯度,這也不同于Shimizu等[28]考慮的低緯度安達(dá)曼海。

綜上所述,雖然內(nèi)孤立波間的斜向波-波相互作用以及地球旋轉(zhuǎn)對單個(gè)內(nèi)孤立波的影響已經(jīng)得到了一定程度的關(guān)注,但地球旋轉(zhuǎn)對內(nèi)孤立波間的斜向波-波相互作用的影響仍然不清楚,因此本文使用帶旋轉(zhuǎn)項(xiàng)的KP方程,將X-型波作為初始條件,進(jìn)一步研究地球旋轉(zhuǎn)對其的影響。并簡要描述了KP方程、初始X-型波的表達(dá)式,以及求解KP方程的邊界條件和數(shù)值方法。從已經(jīng)觀測得到的波-波相互作用形態(tài)中,選擇了其中出現(xiàn)頻率較高的3種進(jìn)行研究,并得出演化結(jié)果。最后進(jìn)行總結(jié)和討論。

1 方程

1.1 KP方程

在旋轉(zhuǎn)流體中,考慮到不同的背景環(huán)境,描述波振幅A(x,y,t)的KP方程[14]可以表示為:

(1)

式中x,y,t是水平空間和時(shí)間變量,且下標(biāo)表示對對應(yīng)變量進(jìn)行求導(dǎo)運(yùn)算。線性相速度c(x,y)、線性放大系數(shù)Q(x,y)、非線性系數(shù)α(x,y)、色散系數(shù)β(x,y),γ(x,y)和旋轉(zhuǎn)系數(shù)υ(x,y)都可以從垂直方向z的模態(tài)方程中確定:

{ρ0(c-u0)2φz}z+ρ0N2φ=0,-h

(2)

φ=0,z=0,-h。

(3)

式中:h(x,y)是水深;ρ0(x,y,z)為背景密度分層;u0(x,y,z)為背景剪切流,密度分層通常是由浮頻率N來表征的,定義為ρ0N2=-g?zρ0。該模態(tài)方程確定了無限多個(gè)具有相應(yīng)相速度cn的模態(tài)φn,n=1,2,3…,在這些模態(tài)中,我們關(guān)注模態(tài)-1(n=1)的內(nèi)孤立波。方程系數(shù)的表達(dá)式可以查看文獻(xiàn)[29,31]。

在本文中我們的分層在水平方向上是均勻的,即ρ0=ρ0(z),并且剪切情況不存在u0≡0,這使得γ=c,υ=f2/2c,其中f=2ΩsinΨ,是科氏力頻率,在傳統(tǒng)近似下,只考慮地轉(zhuǎn)科氏力向量的垂向分量,其中Ω=2π/24h≈7.3×10-5s-1,是地轉(zhuǎn)角速度,Ψ是緯度。使用以下變換以便數(shù)值模擬:

(4)

式中x0是x方向的初始位置。然后得到了漸近等價(jià)的形式,更多細(xì)節(jié)見Yuan等[16],

[Uζ+μUUX+UXXX]X+σUyy=κU,

(5)

(6)

式中:λ(y,T)=β/c3;μ即是方程(5)中的非線性系數(shù);σ是色散系數(shù);κ是旋轉(zhuǎn)系數(shù)。

1.2 初始條件

方程(5)中的κ代表了地球旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的影響程度大小,理論上當(dāng)考慮地球旋轉(zhuǎn)效應(yīng)時(shí),穩(wěn)定的孤立波解是不存在的。本文中我們是探索地球旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對內(nèi)孤立波間波-波相互作用的影響,因此構(gòu)造初始的內(nèi)孤立波解時(shí),需要先忽略地球的旋轉(zhuǎn)效應(yīng),即設(shè)置κ=0,而且該種設(shè)置也較為符合物理實(shí)際,因?yàn)樵趯?shí)際海洋中,地球旋轉(zhuǎn)效應(yīng)較為微弱,只有當(dāng)內(nèi)孤立波長時(shí)間傳播時(shí),地球旋轉(zhuǎn)效應(yīng)累積起來,才能對內(nèi)孤立波施加較為明顯的影響,目前的很多研究,例如Grimshaw等[7],Yuan等[10],Grimshaw等[12],也都采用了該種方式設(shè)置初始波形。接下來我們考慮恒定地形和水平均勻背景的情況,從而使KP方程(5)中的μ=μ0,σ=σ0是常數(shù),即:

[Uζ+μ0UUX+UXXX]X+σ0Uyy=0。

(7)

它可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為規(guī)范形式:

[4Λs+6ΛΛξ+Λξξξ]ξ+3ΛYY=0,

(8)

ζ=Rs,X=Lξ,y=MY,U=PΛ。

(9)

式中:R=L3/4;L2=M2=3/σ0;P=2σ0/μ0。Yuan等[29]詳細(xì)描述了由多孤子解理論構(gòu)造初始斜向相互作用波的過程,此處我們簡要敘述要用的初始條件公式:

(10)

式中:Λ0為振幅;C為相速度;波峰線有一個(gè)斜率tanψ,其中角度ψ是從Y軸逆時(shí)針測量所得,這個(gè)解描述了一個(gè)斜的孤立波。由兩個(gè)斜內(nèi)孤立波組成的X-型波被用作KP方程(5)的初始條件:

(11)

式中U1和U2分別為兩分支的振幅。

根據(jù)Yuan等[30]的分類,在無旋轉(zhuǎn)無底地形情況下,不同振幅夾角的初始X-型波將演化為4種情形,而在Yuan等[29]的分類中,初始V-型波將演化為6種情形。如引言中所述,我們選擇其中結(jié)構(gòu)簡單且在真實(shí)海洋中更常被發(fā)現(xiàn)記錄、具有重要的研究價(jià)值的前3種情形展開進(jìn)一步研究。其他情形要么與我們研究的情形對稱,要么結(jié)構(gòu)復(fù)雜在真實(shí)海洋中很少出現(xiàn)且易被復(fù)雜海洋環(huán)境影響,這里暫時(shí)不予考慮。

1.3 邊界條件

由于初始波填充整個(gè)橫向域,本文使用窗口方法[32],將U轉(zhuǎn)換為一個(gè)函數(shù)η,它在內(nèi)部等于U,但在y=±Ly的邊界附近迅速衰減為零,這本質(zhì)上是U的分解:

U=η+(1-W)U。

(12)

可見η=WU,W(y)是窗口函數(shù),定義為

(13)

式中:n=95;a=1.02nln10。假設(shè)在y=±Ly的邊界外,解可以用U0的形式來描述,即初始條件(11),但隨相應(yīng)的相位速度C(10)移動(dòng)。

在計(jì)算中,我們使y方向的橫向長度足夠大,以避免數(shù)值誤差,從而中心相互作用區(qū)域在計(jì)算時(shí)間內(nèi)不受邊值的影響,也保證了相互作用后的波沒有機(jī)會(huì)重新進(jìn)入該域來污染計(jì)算。然后通過轉(zhuǎn)換

U=η+(1-W)U0,

(14)

并代入(5)可得

[ηζ+μηηX+ηXXX]X+σηyy-κη=
G1(X,y,ζ)+G2(X,y,ζ),

(15)

因?yàn)槲覀兗僭O(shè)U0滿足邊界層中κ=0的KP方程(5),所以G1中除了最后含κ的項(xiàng)外均為零,而G2項(xiàng)是有效的。

1.4 數(shù)值方法

由(15)將方程改寫為如下形式:

[ηζ+μηηX+ηXXX]X+σηyy-κη=R。

(16)

式中:R=G2+κ(1-W)U0;μ(y,ζ),σ(y,ζ),κ(y,ζ)定義在式(6)中。用X方向上的偽譜法求解了方程(16)。

為了避免剛性問題,使用積分因子法修改(16),以允許使用相對較大的時(shí)間步長

(17)

由X方向上的傅里葉變換

(18)

式(18)變?yōu)?/p>

(19)

在傅里葉空間中可以描述為

(20)

式中:F是傅里葉變換算子。我們用四階中心有限差分法近似?2y項(xiàng)。為了滿足質(zhì)量守恒定律,需對初始條件強(qiáng)加一個(gè)類似于Yuan等[29]中的基座。在時(shí)域中,使用了四階龍格-庫塔迭代,時(shí)間步長約為1.2 s。我們將KP理論方程進(jìn)行數(shù)學(xué)離散,然后使用MATLAB軟件自行編寫程序,并進(jìn)行計(jì)算。最后,結(jié)果在物理空間(x,y,t)中進(jìn)行說明,從映射空間(X,y,ζ)通過變換(4)而來。

2 X-型波-波相互作用

2.1 模型設(shè)置

我們考慮的研究區(qū)域水平方向大小為x×y=[0:300]×[-400:400] km,對應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)取為1 800×1 200,故而分辨率為1/6 km×2/3 km,垂向深度恒定為500 m。本文的實(shí)驗(yàn)沿用Yuan等[29]使用的3組初始V-型波振幅和夾角的具體數(shù)值,它們對應(yīng)Yuan等[29]的分類中的前3種情形,但我們使用X-型波作為初始條件,這是因?yàn)樵谝环N情形中調(diào)整振幅和夾角所得到的結(jié)果并無明顯差異,其選取的數(shù)值本身就較為典型,能很好代表該情形。繼續(xù)使用相同的振幅和夾角可以控制單一變量(初始波型),使以后的研究更易于進(jìn)行對比,得到的結(jié)果更有價(jià)值。比如,對比兩種不同初始波的實(shí)驗(yàn)1,我們發(fā)現(xiàn),兩者在相互作用區(qū)無論是波型還是波幅基本上是一樣的。接下來我們根據(jù)有無旋轉(zhuǎn)做了3組對比實(shí)驗(yàn),其中考慮的地轉(zhuǎn)科氏力頻率f=1×10-4s-1,此外,在實(shí)驗(yàn)2的基礎(chǔ)上,我們還對比了不同大小的地轉(zhuǎn)科氏力f=1×10-4s-1、7.5×10-5s-1、5×10-5s-1、2.5×10-5s-1(對應(yīng)的緯度Ψ=43.2°N、30.9°N、20°N、9.9°N)對波-波相互作用的影響。具體的實(shí)驗(yàn)配置可見表1。

表1 實(shí)驗(yàn)的配置Table 1 The configurations of experiments

本文使用了Yuan等[29]中使用的原始數(shù)據(jù),即WOA13數(shù)據(jù)集的中國南海的月平均夏季背景溫度和鹽度數(shù)據(jù),來確定我們的密度曲線ρ0(見圖1)。因?yàn)槟B(tài)-1內(nèi)孤立波更常見且重要,所以我們將對其展開研究。這里波-波相互作用發(fā)生時(shí),模態(tài)之間任何可能的能量轉(zhuǎn)移被我們忽略了。圖1所示的KP方程對應(yīng)的模態(tài)函數(shù)φ=1處的深度表明,最初的最大質(zhì)點(diǎn)位移發(fā)生在深度h≈190 m處,我們的初始波是一個(gè)下沉波,并且在演化過程中不會(huì)發(fā)生極性轉(zhuǎn)換,由初始條件公式(10、11),初始波的示意圖見圖2(a1)。

圖1 從左到右依次為方程(2)和(3)中的溫度、鹽度、密度(ρ0)、浮力頻率(N)和相應(yīng)的模態(tài)-1函數(shù)(φ)的垂直分布Fig.1 From left to right is the vertical distribution of temperature,salinity,density ρ0,buoyancy frequency N,and the corresponding mode-1 function φ in equations (2) and (3)

(振幅由右側(cè)colorbar表示,圖中的箭頭及對應(yīng)數(shù)字為所指位置的振幅,單位均為m。The amplitudes are represented by the right colorbar; The arrows and corresponding numbers in the figure represent the amplitude at the indicated position,Unit: m)圖2 實(shí)驗(yàn)1中(a1—a3)分別為t=0、16.6、33.2 h波形的演化,(b1—b3)分別為與a1—a3相同時(shí)間但帶有旋轉(zhuǎn)的情況(f=1×10-4 s-1)Fig.2 (a1—a3) are the evolution of wave patterns at t=0,16.6,and 33.2 h respectively,(b1—b3) are for the case with rotation (f=1×10-4 s-1) at the same time as a1-a3 respectively in experiment 1

2.2 實(shí)驗(yàn)1

在實(shí)驗(yàn)1中,初始X-型波兩個(gè)分支的振幅均為A1=A2=-15 m,角度為ψ0=16°。在h=500 m的恒定深度下,隨著初始X-型波沿x軸傳播,除了中心點(diǎn)的振幅逐漸增大外,波形沒有任何變化,在前導(dǎo)波后是由于質(zhì)量守恒定律而產(chǎn)生的極性相反的尾波列,由于其振幅過小,在圖2(a2、a3)中并不明顯,但從圖3(a2、a3)的剖面圖中可以明顯地看出。

圖3 圖(a1,b1)分別為f=0和f=1×10-4s-1情況下時(shí)間t= 33.2 h的振幅填色圖;圖(a2,a3)分別為f=0情況下沿著如(a1)圖中所示虛線y=40 km和y=0 km的截面圖; 圖(b2,b3)分別為f=1×10-4s-1情況下沿著如(a1)圖中所示虛線y=40 km和y=0 km的截面圖Fig.3 Panels (a1,b1) exhibit the wave amplitudes at time t= 33.2 h under the respective rotational parameters f=0 and f=1×10-4s-1,panels (a2,a3) are the wave amplitude along the respective lines y=40 km和y=0 km as shown in panel (a1) for the case with f=0 and panels (b2,b3) are similar as panels (a2,a3),but for the case with f=1×10-4s-1

當(dāng)考慮地球旋轉(zhuǎn)的影響時(shí),一個(gè)最顯著的變化是初始X-型波的振幅在旋轉(zhuǎn)項(xiàng)的色散作用下逐漸衰減,同時(shí)緊隨下凹X-型波產(chǎn)生一個(gè)極性相反的上凸X-型波(見圖2(b2、b3)),兩個(gè)極性相反的X-型波交叉使重合處的振幅為0,見圖3(b1)下凹X-型波左上和左下分支在y=0附近的白色部分,這兩個(gè)分支顯然被截?cái)嗔?這導(dǎo)致了完整的下凹X-型波被破壞。在上凸X-型波后是一個(gè)振幅明顯減小并逐漸趨于0的類慣性重力波尾波列(見圖2(b3))。相互作用的中點(diǎn)的振幅由于波-波相互作用,本應(yīng)快速變大到-44.1 m,但同時(shí)由于旋轉(zhuǎn)效應(yīng)而緩慢衰減,最終表現(xiàn)為由前者主導(dǎo)的先變大轉(zhuǎn)為由后者主導(dǎo)的再變小,直到圖中所示的-14.8 m(若是繼續(xù)傳播,還會(huì)減小,最終逐漸趨于零)。上凸X-型波振幅的最大值也在相互作用的中點(diǎn)處,為9.4 m(見圖2(b3))。

由圖3(b1)中X-型波左右兩側(cè)標(biāo)記的振幅數(shù)值可以看出,無論是上凸部分還是下凹部分,以中心交點(diǎn)為界,后側(cè)振幅(5.8 m、-7.5 m)都比對應(yīng)的前側(cè)振幅(4.8 m、-6.7 m)大,這是因?yàn)?如果忽略上凸和下凹X-型波交叉造成波幅抵消的影響,后側(cè)波是中心大振幅部分的連續(xù)衰減,而前側(cè)波不是,圖3(b2)也能看出這種后側(cè)振幅比前側(cè)大的差異。而在無旋轉(zhuǎn)情況下,前導(dǎo)波的后面由于質(zhì)量守恒產(chǎn)生的極性相反的尾波列,由于相比于旋轉(zhuǎn)引起的上下震蕩的尾波太小而被吞沒在上下起伏之中,雖然被破壞,但在沿y軸的剖面中依然可以辨別出(見圖3(b2))在x=190 km或圖3(b3)在x=195 km附近的不平滑小震蕩。

2.3 實(shí)驗(yàn)2

接下來,初始波兩個(gè)分支的振幅和夾角分別被設(shè)置為A1=A2=-20 m,ψ0=8°。與實(shí)驗(yàn)1情形相同的是演化出了極性相反的小尾波列,但是明顯且本質(zhì)的區(qū)別是在初始波交點(diǎn)中間產(chǎn)生了一個(gè)等腰梯形結(jié)構(gòu),見圖4(a2、a3),對于該結(jié)構(gòu)的詳細(xì)分析可見文獻(xiàn)[30]。

圖4 實(shí)驗(yàn)2中(a1—a3)分別為t=0、16.6、33.2 h波形的演化,(b1—b3)分別為與a1—a3相同時(shí)間但帶有旋轉(zhuǎn)的情況(f=1×10-4 s-1)Fig.4 ((a1)-(a3)) are the evolution of wave patterns at t=0,16.6,and 33.2 h respectively,((b1)—(b3)) are for the case with rotation (f=1×10-4 s-1) at the same time as a1-a3 respectively in experiment 2

當(dāng)考慮旋轉(zhuǎn)的影響時(shí),一個(gè)顯著的變化是旋轉(zhuǎn)的加入影響了馬赫峰(即梯形結(jié)構(gòu)右側(cè)較短的波峰線,見圖5(a1、a2)中小方框圈中的位置)的變長變高。具體來說,馬赫峰的產(chǎn)生是下凹X-型波右上分支和左上分支之間以及右下分支和左下分支之間共振的結(jié)果,而旋轉(zhuǎn)影響下生成的緊隨下凹X-型波并與其交叉的上凸X-型波破壞了其結(jié)構(gòu),導(dǎo)致共振作用受到影響,從而減緩了馬赫峰沿y方向變長,即馬赫峰還會(huì)變長,但相對于無旋轉(zhuǎn)情況下要短,而且旋轉(zhuǎn)也抑制了馬赫峰的變高,馬赫峰振幅的變化與實(shí)驗(yàn)1相互作用中心點(diǎn)振幅的變化相同,先變大后變小。此外,等腰梯形結(jié)構(gòu)也被上凸X-型波所破壞,具體來說,梯形結(jié)構(gòu)的兩個(gè)腰直接被截?cái)嗔?上凸X-型波中心類似五邊形的凸起將原本的梯形結(jié)構(gòu)左側(cè)較長的波峰線擠壓成了三段(見圖5(b1)),不過最左側(cè)與y軸平行的一段,其振幅由于受到旋轉(zhuǎn)下凹性質(zhì)的調(diào)制而變大,從圖5(a2、b3)中兩條曲線的次極小值可以明顯看出。其他細(xì)微的變化類似于實(shí)驗(yàn)1。

圖5 圖(a1,b1)分別為f=0和f=1×10-4s-1情況下時(shí)間t= 33.2 h的振幅填色圖;圖(a2,a3)分別為f=0情況下沿著如(a1)圖中所示虛線y=50 km和y=0 km的截面圖; 圖(b2,b3)分別為f=1×10-4s-1情況下沿著如(a1)圖中所示虛線y=50 km和y=0 km的截面圖Fig.5 Panels (a1,b1) exhibit the wave amplitudes at time t= 33.2 h under the respective rotational parameters f=0 and f=1×10-4s-1,panels (a2,a3) are the wave amplitude along the respective lines y=50 km和y=0 km as shown in panel (a1) for the case with f=0 and panels (b2,b3) are similar as panels (a2—a3),but for the case with f=1×10-4s-1

此外,我們還對比了不同大小的地轉(zhuǎn)科氏力f=1×10-4、7.5×10-5、5×10-5、2.5×10-5s-1對波-波相互作用的影響。我們利用奧斯特羅夫斯基數(shù)Os,即非線性系數(shù)與旋轉(zhuǎn)系數(shù)的比值,來分析不同大小的地轉(zhuǎn)科氏力對波演化的影響程度,根據(jù)Farmer等[33]的定義:

(21)

式中:L為具有代表性的水平尺度,對上述不同的地轉(zhuǎn)科壓力f;Os依次為0.074、0.13、0.30、1.2,對于Os<1,地轉(zhuǎn)效應(yīng)占主導(dǎo)不可忽略,反之非線性項(xiàng)占主導(dǎo),即f=2.5×10-5s-1時(shí)的地轉(zhuǎn)效應(yīng)較弱可忽略。

從圖6中可以看出,當(dāng)f逐漸變大時(shí),在相同時(shí)刻,旋轉(zhuǎn)對波的調(diào)制越明顯,即對波幅的改變越大,表現(xiàn)為前導(dǎo)下凹X-型波振幅的減少量越大,和尾隨的上凸X-型波振幅越大以及波尾的起伏越大。當(dāng)f=2.5×10-5s-1很小時(shí),旋轉(zhuǎn)只是稍微抬起了前導(dǎo)X-型波的后部,與無旋轉(zhuǎn)情況下差別很小。

(地轉(zhuǎn)科氏力f從(a1)—(d1)分別為:10、7.5、5、2.5×10-5 s-1。The Coriolis forces f from (a1) to (d1) are 10,7.5,5,2.5×10-5 s-1 respectively.)圖6 實(shí)驗(yàn)2中不同旋轉(zhuǎn)參數(shù)的對比結(jié)果Fig.6 Comparison results of different rotation parameters in experiment 2

2.4 實(shí)驗(yàn)3

在這里,選擇初始條件A1=-25 m,A2=-10 m和角度ψ0=3.67°。兩個(gè)分支具有相同的傾斜角度,但初始振幅不同。在這種情況下,由圖7及其中標(biāo)記的振幅可以看出,交點(diǎn)沿y軸向下移動(dòng),而最大振幅卻轉(zhuǎn)移到了較大振幅分支上并向上移動(dòng),這也意味著交點(diǎn)不再是振幅最大的地方。從圖8(a1)可以看出,X-型波交點(diǎn)左右兩側(cè)的V-型波有一個(gè)較為明顯的錯(cuò)位,即交點(diǎn)處沿x軸變寬了,表現(xiàn)為較大振幅分支的右上部分和左下部分在交點(diǎn)處被截?cái)嗔艘粯?這意味著此處振幅如同峽谷般小于兩側(cè)被截?cái)嗖糠值恼穹?/p>

圖7 實(shí)驗(yàn)3中,(a1—a3)分別為t=0、16.6、33.2 h波形的演化;(b1—b3)分別為與(a1—a3)相同時(shí)間但帶有旋轉(zhuǎn)的情況(f=1×10-4 s-1)Fig.7 (a1—a3) are the evolution of wave patterns at t=0,16.6,and 33.2 h respectively,(b1—b3) are for the case with rotation (f=1×10-4 s-1) at the same time as (a1—a3) respectively in experiment 3

圖8 圖(a1,b1)分別為f=0和f=1×10-4s-1情況下時(shí)間t= 33.2 h的振幅填色圖;圖(a2,a3)分別為f=0情況下沿著如(a1)圖中所示虛線y=0 km和y=-60 km的截面圖; 圖(b2,b3)分別為f=1×10-4s-1情況下沿著如(a1)圖中所示虛線y=0 km和y=-60 km的截面圖Fig.8 Panels (a1,b1) exhibit the wave amplitudes at time t= 33.2 h under the respective rotational parameters f=0 and f=1×10-4s-1,panels (a2,a3) are the wave amplitude along the respective lines y=0 km和y=-60 km as shown in panel (a1) for the case with f=0 and panels (b2,b3) are similar as panels (a2,a3),but for the case with f=1×10-4s-1

此外,由圖7(a2、a3)可以看出,交點(diǎn)上方的波峰線出現(xiàn)了明顯的彎曲,這是因?yàn)閮蓚€(gè)初始波分支振幅不同,交點(diǎn)沿y軸向下移動(dòng),而最大振幅卻轉(zhuǎn)移到了較大振幅分支上并向上移動(dòng),這導(dǎo)致振幅沿斜向的分支變化巨大,同時(shí),由于質(zhì)量守恒定律,導(dǎo)致X方向產(chǎn)生復(fù)雜的調(diào)制,進(jìn)一步為了響應(yīng)X方向的變化,y方向也產(chǎn)生復(fù)雜的調(diào)制,因?yàn)椴ǖ淖饔猛勘仨毷睾恪Ｒ虼嗽趫D7(a2、a3)中,交點(diǎn)上方的波峰線出現(xiàn)了明顯的彎曲,Yuan等[29]實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生的馬赫峰也有一個(gè)非常特殊的彎曲結(jié)構(gòu),可參看其中的分析。

當(dāng)考慮到旋轉(zhuǎn)的影響時(shí),產(chǎn)生的變化類似于實(shí)驗(yàn)1。上凸X-型波最大振幅與前導(dǎo)下凹X-型波的交點(diǎn)在同一y截面上,不過,由于下凹波最大振幅的上移,下凹波最大振幅與上凸波最大振幅不在同一y截面上(見圖7(b2、b3))。整體來看,由旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的上凸X-型波對初始的下凹X-型波造成了十分嚴(yán)重的破壞,也使得波形變得十分復(fù)雜。從圖7(b3)可知,初始下凹X-型波左上側(cè)分支直接被截?cái)嗔?無旋轉(zhuǎn)情況下交點(diǎn)處產(chǎn)生的錯(cuò)位則被向兩側(cè)擠壓進(jìn)一步變大,并且該處的振幅也被影響而變成了零(上凸X-型波右上和右下分支中間白色部分)。

旋轉(zhuǎn)還會(huì)通過影響X-型波的振幅來影響交點(diǎn)的下移,由于旋轉(zhuǎn)使初始的下凹X-型波產(chǎn)生了嚴(yán)重的變形,我們以X-型波交點(diǎn)右側(cè)V-型波的振幅來說明,旋轉(zhuǎn)效應(yīng)使前導(dǎo)下凹X-型的兩個(gè)分支之間振幅差變小,從圖8標(biāo)記的兩條虛線我們可以得到相應(yīng)分支的振幅。由圖8(a2、a3)中兩條曲線右側(cè)第一個(gè)波峰可得振幅差為的17 m,同理在圖8(b2、b3)中為11 m,根據(jù)文獻(xiàn)[29],交點(diǎn)位移與振幅差成正比,可知交點(diǎn)下移距離減小,在圖8(a1)中明顯可以看出下分支比上分支短,而(a2)中則相反,這也意味著交點(diǎn)延y軸的位移在(a2)中較小。

3 總結(jié)和討論

當(dāng)斜向波-波相互作用發(fā)生時(shí),振幅和夾角之間不同的關(guān)系會(huì)使相互作用波演化為多種復(fù)雜的情形[29-30]。在已有的無旋轉(zhuǎn)情形下波-波相互作用的基礎(chǔ)上,我們進(jìn)一步考慮了地球旋轉(zhuǎn)的影響,使用帶旋轉(zhuǎn)項(xiàng)的KP方程來研究旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對X-型內(nèi)孤立波間波-波相互作用帶來的影響。較強(qiáng)的旋轉(zhuǎn)效應(yīng)帶來的一個(gè)顯著影響是削弱前導(dǎo)波振幅,同時(shí)緊隨前導(dǎo)波生成一個(gè)極性相反、大體仍呈X-型的尾波,后面跟著一個(gè)振幅明顯減小并逐漸趨于零的類慣性重力波尾。旋轉(zhuǎn)效應(yīng)帶來的另一個(gè)顯著影響是其對馬赫峰的長度和強(qiáng)度的影響,其他人的研究也證實(shí)了這一點(diǎn),例如,Shimizu等[28]利用MTIgcm模式研究了安達(dá)曼海中的馬赫峰的發(fā)展和低緯度旋轉(zhuǎn)的影響,表明低緯度(≈9°N)條件下,地球自轉(zhuǎn)對內(nèi)孤立波的傳播影響很小,但確實(shí)減緩了馬赫峰的生長,與我們的結(jié)果一致。究其原因,就是旋轉(zhuǎn)影響下生成的緊隨下凹X-型波并與其交叉的上凸X-型波將其截?cái)?破壞了前導(dǎo)X-型波的完整性,從而影響了共振相互作用下馬赫峰的發(fā)展。此外,旋轉(zhuǎn)還會(huì)影響波-波相互作用中心點(diǎn)處的位置,而且在無旋轉(zhuǎn)情況下,前導(dǎo)波的后面由于質(zhì)量守恒產(chǎn)生的極性相反的上凸尾波列,由于相比于旋轉(zhuǎn)引起的上下震蕩的尾波太小而被吞沒在上下起伏之中,雖然被破壞,但依然可以辨別出。同時(shí),我們還對比了不同大小科氏力頻率f帶來的影響,當(dāng)科氏力頻率f逐漸變大時(shí),在相同時(shí)刻,旋轉(zhuǎn)對波的調(diào)制越明顯,對波幅的改變越大,表現(xiàn)為前導(dǎo)下凹X-型波振幅的減少量越大,和尾隨的上凸X-型波振幅越大以及尾波的起伏越大。當(dāng)旋轉(zhuǎn)較弱時(shí),帶來的影響只是稍微抬起了前導(dǎo)X-型波的后部,與無旋轉(zhuǎn)情況下差別很小。

本文的X-型波-波相互作用是發(fā)生在平坦海底地形之上的,然而事實(shí)上,海底地形是復(fù)雜多變的,尤其是在陸坡陸架、海底峽谷和山脊等位置,如果將變化地形這一要素也考慮進(jìn)來,波-波相互作用也會(huì)變得更加復(fù)雜。同時(shí),研究結(jié)果表明,背景剪切流對于內(nèi)孤立波的演化過程有很重要地影響(例如Zhang等[35]和Min等[36]),本文中也沒有對這一要素進(jìn)行考慮。除此之外,該研究忽略了波-波相互作用過程中可能產(chǎn)生的模態(tài)轉(zhuǎn)換現(xiàn)象,尤其是不同模態(tài)的內(nèi)孤立波間的波-波相互作用是一個(gè)值得探索的科學(xué)問題,我們已經(jīng)注意到了Stastna等[34]開展的相關(guān)研究。這些因素對內(nèi)孤立波間波-波相互作用的影響是值得進(jìn)一步研究的。