Einstein-Bumblebee 引力理論中的Kerr-Sen-like黑洞玻色子隧穿輻射*

譚霞 楊樹政

1) (齊魯師范學院物理與電子工程學院,濟南 250200)

2) (西華師范大學物理與天文學院,南充 637002)

Lorentz-breaking 理論不僅對彎曲時空背景有影響,而且對于在彎曲時空中的玻色子和費米子的動力學方程都有一定的修正.因此,我們需要在不同的黑洞時空中對玻色子和費米子的量子隧穿輻射進行適當的修正.從而得到經過Lorentz-breaking 理論修正后的黑洞Hawking 溫度等物理量的新表達式及其物理意義.本文根據Einstein-Bumblebee 引力理論中得到的Kerr-Sen-like (KSL)黑洞時空度規,在標量場作用量中引入aetherlike 場矢量修正項和彎曲時空中的d’Alembert 算符并應用彎曲時空中的變分原理,研究了此時空度規中的Lorentz-breaking 修正項及KSL 時空中自旋為零的含有Lorentz-breaking 修正項的玻色子動力學方程的新形式.通過正確選擇與KSL 時空度規相對應的aether-like 場矢量,求解修正的玻色子動力學方程,得到了修正的量子隧穿率,并在此基礎上研究了含有Lorentz-breaking 修正項的此黑洞的Hawking 溫度和Bekenstein-Hawking 熵.此外,還研究了Lorentz-breaking 效應對玻色子正、負能級分布及其能級交錯的最大值的影響,從而得出此黑洞時空中的量子非熱輻射的條件.最后對所得到的一系列結果的物理意義進行了深入的討論.

1 引言

在場論和量子引力理論的研究過程中,研究者們發現在高能領域的Lorentz 不變性需要進行Planck 尺度量級的修正.因此,在彎曲時空中考慮Lorentz-breaking 的影響是值得深入研究的課題.Lorentz 色散關系是現代物理學的基本關系,廣義相對論和量子場論都是建立在這個基本關系基礎之上的理論.對標量場和旋量場理論模型的Lorentz-breaking 修正的相關課題研究已引起廣泛關注.最先知道的Lorentz-breaking 項是Carroll-Field-Jackiw (CFJ)項[1–3],在隨后的研究過程中,aether-like 修正項和Chiral 修正項也已被研究.研究者們在平直時空和彎曲時空彎曲時空中的標量場方程和旋量場方程加入了Lorentz-breaking 項的修正.在這些場方程修正的基礎上,還對標量粒子和旋量粒子的動力學方程進行了正確的修正,得到了一系列有意義的研究結果[4–23].這些Lorentzbreaking 修正效應已在經典和量子兩個方面得到一系列有意義的研究[24–30].在彎曲時空中研究Lorentz-breaking 的影響應該考慮到兩個方面內容,其一是Lorentz-breaking 理論對彎曲時空背景的影響,其二是Lorentz-breaking 理論對彎曲時空中的標量場和旋量場方程的影響.在彎曲時空背景不變的情況下,對標量場和旋量場的方程分別進行修正,并在此基礎之上,對靜態、穩態和動態黑洞的量子隧穿輻射進行修正,從而對黑洞Hawking溫度和Bekenstein-Hawking 熵進行修正,這一方面的研究工作已有報道[15–30].考慮到Lorentzbreaking 理論對彎曲時空背景的影響并且考慮到玻色子或費米子在此時空背景下的動力學方程的修正是一項有意義的研究工作,所以相關工作還需要繼續深入開展.

本文主要是根據Einstein-Bumblebee 引力理論和一個被修正的KSL 黑洞的時空度規,對標量場方程進行正確修正,并研究此黑洞的修正的Hawking 溫度和Bekenstein-Hawking 熵及量子隧穿率的物理意義.為了深入探討,還研究了KSL 黑洞的量子非熱效應.第2 節介紹Lorentz-breaking對穩態彎曲時空背景的影響,同時介紹在彎曲時空背景中標量場及玻色子動力學方程的修正形式及其物理意義.第3 節研究KSL 黑洞的量子隧穿輻射特征和量子非熱輻射特征,第4 節是對文中所用研究方法及所得結果的深入討論.

2 Lorentz-breaking 理論和KSL 黑洞時空中的玻色子動力學方程

Einstein 建立的廣義相對論引力理論是一個不可重整化的引力理論,這就導致引力論和量子論結合的量子引力理論以及物理學中的大統一理論至今無法被構建起來.因此,自從1915 年Einstein發表廣義相對論至今,物理學和天文學的相關研究人員持續地研究修正的引力理論.對廣義相對論進行修正的思路主要有兩種: 其一是對Einstein 方程等式左邊進行修正,也就是對場方程的幾何部分進行修正,其二是對Einstein 引力理論的物質場方程部分進行修正.修正的引力理論有多種形式,例如超對稱理論、圈量子引力理論、標量張量引力理論、Horava-Lifshitz 引力理論、Einstein-aether 引力理論等.其中Einstein-aether 引力理論是一種Lorentz-breaking 的理論,該理論通過在廣義相對論中引入aether-like 矢量場進行修正,要求aetherlike 矢量uμ滿足uμuμ=const.這里uμ不再是常矢量,但是要uμuμ縮并的結果為常數.在這些修正的引力理論中,Einstein-aether-like 理論是一個不通過后牛頓近似與廣義相對論相區別的引力理論.Bumblebee 引力理論是一個有效的引力場理論,可以稱之為Einstein-Bumblebee 理論.由于Lorentz-breaking,此引力場的作用量修正為[31]

其中,GN是牛頓引力常數;σ 是一個實的耦合常數,其實際意義是一個非最小耦合常數,且是Einstein 引力場與Bumblebee 矢量場Bμ之間的非最小耦合常數;V表示勢并且V=V(Bμ),考慮到Lorentz-breaking,V=V(BμBμ±b2) .根據文獻[31]的研究結果,在Einstein-Bumblebee 引力中的KSL 黑洞時空線元用Boyer-Lindquist 坐標表述為

這里,M是此黑洞的質量,a=J/M是黑洞的單位質量的角動量,J是此黑洞的角動量.?是由于Lorentz-breaking 引起的對時空背景的修正項,b為荷電參數,且b=Q2/M.根據(2)式—(5)式,可以計算出與(2)式對應的度規行列式和非零的逆變度規張量的分量分別為

對于(2)式描述的KSL 黑洞是一個旋轉的穩態黑洞,此黑洞的事件視界面滿足曲面方程F(xμ)=0,可知其法矢量nμ=,法矢量的長度定義為

我們可以定義此黑洞的零超曲面方程為

由方程(8)可確定此黑洞的事件視界rH所滿足的方程.把(7)式代入(8)式中,得到

由此可見,由于Lorentz-breaking 引起的時空背景的改變,導致此黑洞的事件視界位置rH發生變化.由方程(10)可知,此黑洞的外視界和內視界分別表述為

根據時空度規(2)式,文獻[31]研究了此黑洞的影子,文獻[32]研究了通過磁重聯提取此黑洞的能量.以下內容將是對此黑洞熵修正的相關研究,這是還未深入研究的課題.為了研究黑洞熵,以下考慮Lorentz-breaking 理論對標量場方程的修正.

對平直時空而言,aether-like 場矢量uα是一個常矢量,自然滿足uαuα=const .由于Lorentzbreaking,平直時空中標量場作用量為

由變分原理可知,由δSf=0 可以確定標量場方程.注意到變分與積分可交換秩序,由(13)式和變分原理可以得到平直時空中的修正的標量場方程如下:

其中,四維Minkowski 時空中的d’Alembert 算符為

坐標x1=x,x2=y,x3=z,x4=ict=ix0.

在此四維Minkowski時空中的線元ds2=-(dx0)2+(dx1)2+(dx2)2+(dx3)2,顯然,此時空度規的號差為 +2 .□ 的含義是標量場的梯度的散度運算符號.如(2)式所示,在四維彎曲時空中,考慮到Lorentz-breaking 理論的修正意義,標量場的作用量被修正為

其中uα是aether-like 場矢量,λ 是耦合常數,是彎曲時空中的d’Alembert 算符,在彎曲時空中,的含義是標量場的梯度的散度運算符號.根據(15)式和變分原理:

對此變分運算而言,我們需要對彎曲時空中的協變微商進行詳細說明.在彎曲時空中,一個標量場的協變微商等于其普通微商,即?;μφ=?,μφ=?μφ.注意到縮并指標在廣義相對論中的規范寫法.方程(17)的第2 項應該寫成λuα?αφuβ?βφ,這仍然是一個標量,因此變分計算如下:

則(20)式可表達為

(20)式是修正后的標量場方程,實際上這是自旋為零的標量場方程,是一個修正后的Klein-Gordon方程.此方程可以用于研究自旋為零,質量為m的標量粒子的動力學行為.以此方程為依據,可以研究不同彎曲時空中的量子隧穿輻射特征并對修正后的Hawking 溫度等重要的物理量進行研究.以下針對KSL 黑洞,研究此黑洞的修正的Hawking溫度,Bekenstein-Hawking 熵和粒子正負能級分布特征.

3 對KSL 黑洞量子隧穿輻射的修正

為了在KSL 黑洞時空中求解方程(22),選擇aether-like 矢量的分量:

顯然uμ滿足:

根據WKB 理論和黑洞的量子隧穿輻射理論,方程(22)中的φ是標量場波函數,微觀粒子的作用量用S表示.則波函數與作用量S的聯系表示為

把(25)式代入(22)式中,可得

這是質量為m,自旋為零的標量粒子的動力學方程,這個標量場方程是Lorentz-breaking 理論修正后的方程.如果考慮荷電為q的自旋為零的標量粒子,那么(26)式將改寫為

其中Aμ是電磁勢.(27)式是質量為m,荷電為q,自旋為零的標量粒子的動力學方程,這個標量場方程也是Lorentz-breaking 理論修正后的方程.

在KSL 時空背景中求解方程(26),就可以研究量子隧穿輻射特征,并對修正后的量子隧穿率Γ,Hawking 溫度等重要的物理量進行研究.根據黑洞的量子隧穿輻射理論,黑洞事件視界處的量子隧穿率為Γexp(-2ImS±) .為了求解方程(26),對修正項進行如下說明:

注意到:

所以考慮到方程(28)和(30),當r →rH時,方程(26)可以簡化為

這是穩態軸對稱KSL 黑洞時空中的自旋為零的玻色子動力學方程的Lorentz-breaking 修正形式.此彎曲時空中存在Killing 矢量,因此=n(const.) .方程(31)中的S可以分離變量,即

把方程(32)代入方程(31)中可得

此方程兩邊同時乘以ρ2[r(r+b)+(1+?)a2-(1+?)a2sin2θ]2,并對此方程進行變量分離.設分離變量出現的常數為C′,那么由方程(33)可得

因此,由方程(34)得到

由此方程可知:

由此,可以得到兩個結論,一是方程(36)左邊是正實數,必然要求右邊也是正實數,因此可得

由方程(37)可以確定粒子能級分布.由方程(36)得到的第2 個結論是:

其中,

根據WKB 近似理論和黑洞量子隧穿輻射理論,KSL 黑洞的量子隧穿率的表達式為

由方程(41)和方程(42)可見,由于Lorentzbreaking 效應,時空背景的修正和粒子動力學方程的修正都對粒子隧穿率Γ和此黑洞事件視界rH處的Hawking 溫度有修正.Γ和TH與?,b,λ,和有關.前面定義的uμ=(ut,ur,uθ,u?),在Γ和TH的表達 式中只有Ct和Cr,這就說明uμ的time-like 分量和space-like 分量對粒子量子隧穿率和黑洞溫度有修正的意義.由于黑洞表面引力與Hawking 溫度存在確定的關系,因此把(42)式改寫為

其中,κ 就是KSL 黑洞事件視界處的表面引力,即

方程(41)—(44)就是Lorentz-breaking 對KSL 黑洞時空中自旋為零的玻色子隧穿輻射修正的結果.

此外黑洞物理中的熱力學演化的重要物理量之一是黑洞熵.根據黑洞熱力學第一定律,KSL 黑洞的Bekenstein-Hawking熵SBH由以下方程確定,即

Sbh是未作修正之前的Bekenstein-Hawking熵,在線元表達式(2)式中,令dt=0,dr=0,通過計算此黑洞的事件視界的面積可以得到:

顯然,SBH與?,ct,和cr有關.

黑洞還有一種輻射是非熱輻射.靜態黑洞沒有非熱輻射,穩態黑洞和動態黑洞都有非熱輻射.穩態軸對稱KSL 黑洞除了以上所述的熱輻射還有非熱輻射.研究此黑洞的非熱輻射仍然要從方程(25)開始去研究粒子能級ω±的分布和正能級與負能級交錯的最大值[33].KSL 黑洞的非熱輻射還未被研究.根據方程(37),取等號就可得到如下ω所滿足的方程

由此方程可以解出正能級ω+和負能級ω-分別為

由方程(37)和方程(49)可得粒子能級分布為

禁區寬度為

當r →rH時,由于=0,因此由(49)式可以得到,即

(53)式與(39)式完全一致.(39)式中,ω0的物理意義是熱輻射中的化學勢,這里ω0是ω+與ω-交錯能級的最大值,這是在非熱輻射中的ω0.這就說明在KSL 黑洞事件視界rH處,Dirac 真空的禁區寬度縮小到零.正負能級交錯的最大值是ω0,這必將導致非熱輻射的發生.當r →∞時,ω± →±m.在Dirac 真空概念中負能態是充滿粒子的態,而正能態是空著的態.處于負能態的負能粒子能量是ω,當ω滿足如下條件時,負能粒子會通過量子隧道效應穿越禁區成為輻射的正能粒子而離開此黑洞.此非熱輻射條件為

非熱輻射粒子將帶走此黑洞的能量和角動量.實際上,這就是Starobinsky-Unruh 過程 (自發輻射)[34,35].黑洞的自發輻射與超輻射都屬于非熱輻射,這一輻射與黑洞溫度無關.KSL 黑洞非熱輻射將使此黑洞退化為Schwarzschild-like 黑洞.

4 討論

研究結果表明,考慮到Lorentz-breaking 理論對彎曲時空中的玻色子動力學方程的修正形式如方程(26)和方程(27)所示.將方程(26)應用于KSL 黑洞時空中進行研究得到了KSL 黑洞量子隧穿率、Bekenstein-Hawking 熵、Hawking 溫度、量子非熱輻射能量范圍表達式的新形式.這一系列的結果對于研究黑洞的量子隧穿輻射是有參考意義的內容.

靜態、穩態和動態黑洞都有熱輻射,即Hawking量子隧穿輻射.而只有穩態和動態黑洞才有量子非熱輻射.我們可以用量子隧穿輻射的觀點來解釋Hawking 熱輻射,即在黑洞視界內部有大量虛粒子,這些粒子通過量子隧道效應穿越視界并實化成實粒子,形成Hawking 熱輻射.利用量子隧穿理論,Kraus 和Wilczek [36,37]提出用量子隧穿輻射理論來計算黑洞的Hawking 溫度和熵.這是對Hawking純熱輻射的修正.由于Lorentz-breaking 理論的修正,對彎曲時空背景和彎曲時空中的玻色子和費米子的動力學行為都會產生一定的影響.以上研究表明,KSL 黑洞的量子隧穿率,黑洞表面引力,黑洞Hawking 溫度都有新的表達式.與黑洞溫度相關的是黑洞的Bekenstein-Hawking 熵.如果用?SBH表示此黑洞的熵變,那么,此黑洞的量子隧穿率可以表示為Γ=exp(?SBH) .還可以根據修正后的Hawking 溫度TH的表達式和黑洞熱力學第一定律得到修正后的Bekenstein-Hawking 熵的表達式.根據黑洞熱力學第二定律,黑洞熵在順時方向永不減少,即 dSBH>0 .這是唯一能顯示時間箭頭的物理定律.在當今物理學的研究中,除了熵之外,人們還想不出有什么物理量具有時間的單向性.除了量子熱效應的修正之外,以上對此黑洞的量子非熱效應的研究表明,Lorentz-breaking 理論對時空背景和標量場方程的修正對粒子能級及其正、負能級交錯最大值都有一定的影響.需要說明的是,以上的研究方法對于玻色子在不同彎曲時空中的動力學特征的研究有參考意義.但是,對于不同自旋的費米子而言,需要用另外的方法去研究.需要進一步說明的是,以上的研究結果是在WKB 理論和半經典情況之下得到的結果,如果要考慮Planck 不同冪次的影響,則需要利用以上所用研究方法和所得到的相關結果采用超越半經典理論進行進一步的修正研究.