基于固定時間穩定與部分狀態反饋的角度約束制導律

許 琛，牛智奇，駱 盛，杜鳳懷，韓 迪，王 洋

(1 西安現代控制技術研究所，陜西 西安 710065；2 西京學院計算機學院，陜西 西安 710123)

0 引言

比例制導律作為一種經典的制導方法已經被廣泛應用于各類導彈的制導系統設計中[1]。但是,傳統比例制導律存在著突防能力較弱、魯棒性不強等問題,這些都對制導算法的性能提出了更高的要求。如果采用終端約束角度的方式來打擊目標,既可以提升突防效果,也能優化毀傷效能,實現這種攻擊方式的制導方法就是角度約束制導律[2]。

為了提升角度約束制導律的性能,許多學者基于先進控制理論開展了相關研究。其中,王洋等[3-4]為了提升角度約束制導律在目標機動、未建模動態等不確定干擾下的魯棒性能,提出了基于滑模控制、自適應控制等方法的角度約束制導律。而近年來,隨著有限時間控制理論的發展,Ding等[5]提出了基于有限時間穩定方法的角度約束制導律。相比于傳統漸進穩定方法,有限時間角度約束制導律可以實現制導誤差的有限時間,保證了收斂的快速性與高精度。Zhang等[6]將有限時間控制與滑模控制結合,設計了有限時間角度約束制導律。為解決傳統有限時間滑模控制的抖振問題,基于有限時間收斂二階滑模控制方法,郭建國等[7]設計了連續無抖振的有限時間收斂的角度約束制導律。目前,有限時間角度約束制導律仍然存在兩方面的問題:1)其收斂時間與系統初值有關,當初值較大時收斂速度可能會受到影響;2)現有方法都是采用全部狀態進行反饋,而實際上,部分導彈狀態可能是難以測量,同時由于體積以及成本等的限制,存在導彈的導引頭無法直接測量視線角速率以及相對距離變化率的情況[8]。

近年來,固定時間控制理論得到了發展[9-10]。基于固定時間控制理論,Cheng等[11]針對固定目標設計了角度約束制導律。Tian等[12-13]針對機動目標設計了固定時間角度約束制導律。另一方面,觀測器技術的發展為開展部分狀態可測的制導律設計提供了基礎[14]。基于高增益狀態觀測器實現了部分狀態可測下的制導系統漸進穩定[8]。王洋等[15]基于線性擴張狀態干擾觀測器實現了部分狀態反饋的高速攔截彈制導控制一體化設計。

文中在視線角速率以及相對距離變化率不可測條件下,提出一種固定時間收斂角度約束制導律。首先,基于一致精確魯棒微分器(URED)算法設計了一種固定時間狀態觀測器來估計不可測的系統狀態。隨后,設計了固定時間收斂的積分滑模面,并提出了固定時間制導律,繼而基于固定時間穩定理論證明了閉環系統的固定時間收斂特性。最后,仿真驗證了所提出方法的有效性。

1 制導模型

如圖1所示,點T表示目標,點M表示導彈。導彈的位置為(xM,yM),目標位置為(xT,yT)。vM表示導彈的飛行速度,vT為目標的速度,?M與?T分別為導彈與目標的彈道傾角,r為彈目相對距離,q為視線角,aM與qT分別為導彈和目標的法向控制加速度。

導彈和目標的相對運動方程為:

(1)

導彈和目標的位置變化為:

(2)

由此建立導彈-目標相對運動方程。

由式(1)可得推出:

(3)

(4)

(5)

(6)

2 模型轉換及相關引理

(7)

其中

(8)

定義1:針對如下的系統

(9)

式中x(t)為系統變量。對于任意初始狀態x(0)∈R,如果當時間t≥tf時系統狀態x(t)=0,同時都存在正常數Tm使得tf≤Tm,則稱上述系統為固定時間收斂的。

引理1(URED算法)[9]:考慮如下的系統:

(10)

(11)

隨后可以得到如下兩個結論:

1)結論1:定義如下的Lyapunov函數:

V1=σTPσσ

(12)

(13)

2)結論2:系統狀態σ0及σ1將在有限時間tf內收斂到0。同時,收斂時間tf上界滿足tf≤Tf,max,其中tf,max為正常數且與初始狀態σ0(0)及σ1(0)無關。

證明:引理1的證明見文獻[9]的附錄A及B。

引理2[10]:考慮如下的系統:

(14)

其中e為系統狀態。如果常數參數滿足Kp>0,Kd>0,Lp>0,Ld>0,0<α1<1,α2=2α1/(α1+1),β1=2α1+1且β2=(2α1+1)/(α1+1),同時系統的初始狀態e(0)是有界的,則系統狀態在固定時間內收斂:

(15)

te≤Te

(16)

這里Te是一個與系統初始狀態無關的正常數。

證明:引理2的證明見文獻[10]的定理3.1。

3 制導律設計

3.1 固定時間狀態觀測器設計

根據引理1,設計如下的固定時間狀態觀測器:

(17)

下面進行觀測器的穩定性分析。

(18)

(19)

綜合式(18)與式(19),可得:

(20)

考慮到(20)滿足引理1的式(10),同時選取參數ρ2>0且ρ1與ρ3滿足如下參數域:

(21)

3.2 制導律設計

基于固定時間狀態觀測器式(17)的估計值,并受引理2啟發,可以設計如下的固定時間收斂滑模面

(22)

式中:a1,a2,b1及b2為正常數,并將在后面的定理1定義它們的取值。對s求取導數并考慮式(17)可得:

(23)

其中

(24)

隨后,可以設計如下的部分狀態反饋固定時間制導律:

(25)

式中TP,a及dSP為正常數,且0

定理1:對于式(7)系統,采用式(25)制導律,如果選取參數kp>0,kd>0,lp>0,ld>0,0

h1=0,h2=0,ift≥thf

(26)

thf≤Thf

(27)

式中Thf是一個與系統初始狀態無關的正常數。

證明:將制導律式(25)代入式(23),可得:

(28)

選取如下Lyapunov函數Vs:

Vs=s2/2

(29)

對Vs求導,同時考慮式(28)可得:

(30)

則可得:

(31)

假設Vs(ts)=0,從t=0到t=ts對式(31)進行積分可得:

(32)

考慮到0≤arctan(2Vs(0))≤π/2,因此從式(32)可知:

ts≤TP

(33)

因此

s=0,ift≥ts

(34)

ts≤TP

(35)

則

(36)

同時考慮式(22)及定理1,式(36)可得:

(37)

(38)

根據引理2,只要選取參數kp>0,kd>0,lp>0,ld>0,0

(39)

(40)

(41)

(42)

4 仿真驗證

基于文獻[4,6],可設計如下的有限時間滑膜面:

(43)

同時設計如下的有限時間制導律:

(44)

其中選取參數k1=0.1,k2=0.24,φ1=0.22,φ2=0.37,k3=0.05,k4=0.05,φ3=0.3,k5=0.001。

所提出的觀測器式(17)的參數選取為ρ1=5,ρ2=1,ρ3=2,滑模面式(22)參數選取為kp=0.1,kd=0.275,lp=1.6,ld=0.85,a1=0.45,所提出的部分狀態反饋固定時間制導律式(25)參數選取為TP=2,a=0.1,dSP=0.001。

同時,為了對比部分狀態反饋與全狀態反饋的效果,在h2可測的情況下,將所提出的制導律改造為如下的全狀態反饋固定時間制導律:

(45)

其中

(46)

(47)

全狀態反饋固定時間制導律的參數kp,kd,lp,ld,TP,a,a1,dSP與前面的部分狀態反饋固定時間制導律參數相同。

(48)

式中參數ξ取80。

為了方便表達,分別標記3種制導律:

1)Guidance law 1,固定時間制導律(部分狀態反饋);

2)Guidance law 2,固定時間制導律(全狀態反饋);

3)Guidance law 3,有限時間制導律。

考慮如下兩個場景:

1)場景1(小初始誤差),考慮期望角度為qd=-83°,即初始角度誤差h1=1.124°。

2)場景2(大初始誤差),考慮期望角度為qd=-83°,即初始角度誤差h1=7.124°,因此,場景2的初始角度誤差是場景1的近6倍。

場景1與2的仿真結果分別見圖2及圖3,同時收斂時間匯總在表1,脫靶量匯總在表2中。

表1 收斂時間Table 1 Convergence time s

表2 脫靶量Table 2 Off target m

圖2 景1仿真結果Fig.2 Simulation results for case 1

圖3 景2仿真結果Fig.3 Simulation results for case 2

從圖2(a)、圖2(b)及表1的數據可知,3種方法都能保證角度誤差h1及視線角速率誤差h2在5 s內收斂到0。從圖2(d)可知所提出的固定時間狀態觀測器可以保證估計誤差在0.1 s內收斂到0。同時,從表1可知,3種方法都能保證導彈脫靶量不高于0.25 m,可以滿足打擊精度要求。因此在場景1下3種制導方法都能取得近似的控制效果。

從圖3(a)、圖3(b)及表1可以看出,當初始角度誤差擴大到7.124°之后,所提出的固定時間制導律仍然可以保證角度誤差h1及視線角速率誤差h2在5 s內收斂到0,而有限時間制導律無法在制導時間段內保證角度誤差h1及視線角速率收斂到0。產生這樣結果的原因是有限時間制導律收斂時間與初始誤差相關,當初始誤差加大時其收斂時間也將隨之加大。而固定時間制導律始終能夠保證收斂時間的上限與初始誤差無關。從表2還能看出,由于制導誤差無法收斂到0,有限時間制導律的脫靶量遠遠大于固定時間制導律。從圖3(d)可知所提出的固定時間狀態觀測器仍然可以保證估計誤差在0.1 s內收斂到0。此外,從圖2、圖3及表2的結果可以看出,對于采用部分狀態反饋的固定時間制導律與采用全狀態反饋的固定時間制導律兩種方法來說,它們的制導誤差收斂效果及脫靶量都基本相同,因此所提出的方法可以在僅使用部分狀態反饋的情況下實現固定時間制導效果。

5 結論

文中提出了一種采用部分狀態反饋的固定時間收斂角度約束制導律。其制導誤差收斂時間的上界不受初始制導誤差影響,可以在各類初始條件下都能保證快速收斂性能,且只需部分狀態進行反饋,可以有效簡化制導系統的硬件組成。

由仿真對比看,在大初值條件下,所提出的制導律相比于有限時間制導律能取得更快的收斂速度與更小的脫靶量;同時,在部分狀態反饋的條件下,所提出的制導律只采用部分狀態反饋就可以取得與全狀態反饋方法基本相同的收斂速度與脫靶量。

文中只針對二維縱向平面場景開展了研究,未來需要將該方法擴展到三維場景中。此外,利用sigmoid函數代替符號函數會犧牲一定的性能,擬開展理論分析,進一步提升制導精度。