關(guān)于高斯定理和面電荷處電場(chǎng)的探討*

楊春艷

(玉溪師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 云南 玉溪 653100)

一般電磁學(xué)教材[1-4]在高斯定理的應(yīng)用部分都有求均勻帶電球面(薄球殼)、均勻帶電圓柱面(薄圓筒)等典型的面帶電體激發(fā)的靜電場(chǎng)的例題或習(xí)題,但相關(guān)題目的分析和計(jì)算中鮮有提及面電荷處的電場(chǎng)強(qiáng)度,極個(gè)別教材[3]中偶有提及,卻存在分析不妥、易產(chǎn)生歧義的問題.比如,場(chǎng)強(qiáng)空間不完整.因?yàn)槿臻g除包含面內(nèi)(rR)區(qū)域外,還應(yīng)包含面上(r=R).再如,對(duì)面電荷處(r=R)場(chǎng)強(qiáng)“仁者見仁智者見智”,一般有4種觀點(diǎn):

(1)E=0;

(4)因面電荷處場(chǎng)強(qiáng)存在突變,故該處的場(chǎng)強(qiáng)無定義(沒有值)[3].

可見,面電荷處電場(chǎng)強(qiáng)度的計(jì)算必須受到關(guān)注.

1 高斯定理的推廣

文獻(xiàn)[5]通過證明閉曲面對(duì)位于其上的任一點(diǎn)的立體角為2π,推證出點(diǎn)電荷q在高斯面上時(shí)的高斯定理為[5]

并將其推廣到均勻帶電球面的情形.

基于文獻(xiàn)[5]的工作,筆者認(rèn)為可將現(xiàn)行電磁學(xué)教材、大學(xué)物理教材中的高斯定理推廣為

(1)

2 均勻帶電球面球面處的電場(chǎng)強(qiáng)度

設(shè)電荷Q均勻分布在半徑為R的球面上.

2.1 用庫侖定律的計(jì)算

視均勻帶電球面由無窮個(gè)共軸且半徑連續(xù)變化的細(xì)環(huán)帶組成.如圖1所示,P為球面上任一點(diǎn),其與球心O的連線為細(xì)環(huán)帶的軸線.任取一細(xì)環(huán)帶,其對(duì)球心O點(diǎn)的位置矢量與軸線的夾角為θ,寬度為Rdθ,帶電荷

圖1 把球面分成細(xì)環(huán)帶

dQ=2πσR2sinθdθ

其中

為球面上電荷面密度.類比均勻帶電圓環(huán)在其軸線上激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng),易得該細(xì)環(huán)帶上電荷在P點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為

(2)

式中er是球心指向場(chǎng)點(diǎn)P方向的單位矢量.

因所有環(huán)帶共軸,故每個(gè)環(huán)帶上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的元場(chǎng)強(qiáng)同向,即球面上電荷在P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)沿球心與P的連線,故對(duì)上式直接積分即得球面上電荷在P點(diǎn)產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度.

(3)

2.2 用推廣的高斯定理的計(jì)算

故球面處的電場(chǎng)強(qiáng)度

(4)

顯然,由式(4)可知,該計(jì)算結(jié)果與用庫侖定律的計(jì)算結(jié)果、功能原理的計(jì)算結(jié)果[5]、以及用近似法計(jì)算的結(jié)果[6]一致.故均勻帶電球面激發(fā)的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分布為

(5)

3 無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面柱面處的電場(chǎng)強(qiáng)度

設(shè)電荷均勻分布在半徑為R的無限長(zhǎng)圓柱面上,電荷面密度為σ.

3.1 用庫侖定律的計(jì)算

視圓柱面由許多條弧長(zhǎng)為Rdφ的無限長(zhǎng)平行細(xì)條組成,其中dφ為細(xì)條的圓心角.圖2所示為圓柱面的任一橫截面,P為其上任一點(diǎn),O為截面中心.

圖2 細(xì)條上電荷在圓柱面上激發(fā)的元場(chǎng)強(qiáng)

類比無限長(zhǎng)均勻帶電直線激發(fā)的電場(chǎng),易得圓柱面上任意細(xì)條上電荷在P點(diǎn)激發(fā)的場(chǎng)強(qiáng)為

(6)

式(6)中

為P點(diǎn)到細(xì)條的距離,er為細(xì)條與橫截面的交界指向P方向的單位矢量.

因圓柱面無限長(zhǎng)且均勻帶電,由對(duì)稱性可知P點(diǎn)的總電場(chǎng)強(qiáng)度必定在O、P連線方向上,即在圓柱面的半徑方向上.因此,P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度值等于dE在OP方向上投影的積分,即

從而得圓柱面上電場(chǎng)強(qiáng)度為

式中en為圓柱面外法線方向單位矢量.

3.2 用推廣的高斯定理的計(jì)算

以帶電圓柱面為高斯面,因電荷只分布在圓柱面上,故

由式(1)有

式中h為高斯面的高.故無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面激發(fā)的靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分布為

4 結(jié)果與分析

觀察兩種面電荷處電場(chǎng)的計(jì)算方法,從結(jié)果看,計(jì)算結(jié)果是相同的;從過程看,用推廣的高斯定理的計(jì)算過程顯然比用庫侖定律的計(jì)算簡(jiǎn)單快捷.推廣的高斯定理因“重視”高斯面上的電荷,從而“保全”了空間的完整性;同時(shí),澄清了盡管面電荷處場(chǎng)強(qiáng)存在突變,但其強(qiáng)度值卻是唯一的.