彎管內流體受到合外力公式的推導及應用

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

當流體通過彎管時,運動方向發生了改變,則動量發生了改變,因此流體對彎管會產生作用力.只要推出彎管內的流體受到合外力的公式,通過分析合外力,即可得到流體受到彎管作用力的關系式,那么根據牛頓第三定律可知流體對彎管的作用力關系式.下面首先推導彎管內的流體受到合外力矢量的公式,然后用來解答兩道有關彎管內的流體對彎管產生作用力的問題.

1 公式推導

如圖1(a)所示,液體在彎管內穩定流動,可視為理想流體.取橫截面a1和a2之間的液體作為研究對象,經過很短時間Δt后,液體運動到橫截面b1和b2之間,如圖1(b)所示.

圖1 流體通過彎管時初、末狀態對比圖

在Δt時間內研究對象的動量增量等于b1b2段的總動量減去a1a2段的總動量.然而,對于穩定流動,在橫截面b1和a2之間的液體各點的流速不隨時間而改變,即b1a2段液體的總動量保持不變,因此,研究對象在時間Δt內動量的增量等于出口處a2b2段的總動量與入口處a1b1段的總動量之差.這兩段液柱的長度都很短,因此可視為圓柱體,并且認為每段內部各點的流速相同,那么在Δt時間內研究對象動量的增量為

Δp=ρΔS2Δl2v2-ρΔS1Δl1v1

該研究對象可視為由液體微元組成的質點組,若忽略研究對象受到的重力,則其受到的外力有3個,即兩端受到其他部分液體的壓力以及背部受到管壁的壓力,如圖2所示.

圖2 對彎管內整個流體受力分析

設在Δt內外力的矢量和關于時間的平均值為F,根據質點組的動量定理有FΔt=Δp,可知

當Δt→0時

而且平均力為瞬時值,則合外力的瞬時值為

F=ρΔS2v2v2-ρΔS1v1v1

根據不可壓縮流體的連續性,則流量為

Q=ΔS2v2=ΔS1v1

聯立方程可得

F=ρQ(v2-v1)

(1)

式(1)即為彎管內的流體受到合外力矢量的公式.

合外力等于各外力的矢量和,即

F=F1+F2+F3

流體的質量流率為

由此可知,若忽略彎管內流體受到的重力以及兩端受到的壓力,則流體受到彎管的作用力矢量為

F3=ρQ(v2-v1)

若彎管粗細均勻,則流量為

可得

F3=ρSv(v2-v1)

根據牛頓第三定律可知,流體對彎管的作用力矢量為

F′3=-ρSv(v2-v1)

在上述推導過程中,關鍵是分析很短一段時間內整體的動量變化量.由于時間很短,則從入口流入的質量與從出口流出的質量都很小,這樣才能分別視為小圓柱體做勻速運動,而且在它們之間的液體的動量不隨時間而改變,因此,整體動量的變化量等于很短時間內流出液體的動量與流入液體的動量之差.把這種推導方法稱為流管法,是解決流體力學問題常用的方法[1].此外,在推導過程中,通過對時間取極限,可把平均值轉化為瞬時值.

2 公式應用

對于流體對彎管產生作用力的大小和方向,既可直接利用式(1)來求解,也可利用式(1)的推導方法即流管法來求解.

【例1】(武漢市2019屆高中畢業生二月調研測試題第18題)運動員在水池上方做飛行表演,他操控的噴射式懸浮飛行器將軟水帶豎直送上來的水流反轉180°后從噴嘴豎直向下噴出,令自己懸浮在空中.已知運動員和裝備的總質量為90 kg,兩個噴嘴的直徑均為10 cm,重力加速度g=10 m/s2,水的密度ρ=1×103kg/m3,則噴嘴處噴水的速度大約為( )

A.2.7 m/s B.5.4 m/s

C.7.6 m/s D.10.8 m/s

解析:為了使水流方向改變180°,每個噴嘴都連接一段彎管,而且彎管兩端開口豎直向下,那么水流在彎管兩端的速度方向相反,如圖3所示.

圖3 彎管改變水流方向

當水流通過彎管時,由于動量方向發生了改變,因此對彎管產生豎直向上的彈力F.若裝備懸浮在空中,則受力平衡,可知2F=mg.

設水流的速度大小為v,以彎管內的整個水柱為研究對象,可視為由液體微元組成的質點組,在很短時間Δt內水柱一端發生的位移Δx=vΔt,從總體效果來看,彎管內整個水柱動量的變化量等于出口處剛流出一小段水柱的動量與入口處剛流入一小段水柱的動量之差,而小水柱的質量m0=ρSvΔt,以豎直向下為正方向,則彎管內整個水柱的動量變化量為

Δp=m0v2-(-m0v1)

對彎管內整個水柱由動量定理有

F′Δt=Δp

可得水柱受到管壁的作用力為

F=2ρSv2

聯立方程可得

代入數據得

v2≈30 m2/s2

由此知v≈5.4 m/s.選項B正確.

點評：解題關鍵是理解水流對噴射式懸浮飛行器產生作用力的原理,即水流通過彎管時對彎管產生作用力.需利用題中的信息“將軟水帶豎直送上來的水反轉180°后從噴嘴豎直向下噴出”來判斷水流方向的改變.此外,在推導動量變化量時利用了流管法,即選擇彎管內整個水柱為研究對象,在很短時間內,動量的變化量只與這段時間內在彎管出口處噴出的一段小水柱和入口處進入的一段小水柱的動量有關,相當于一小段水柱從彎管的入口處遷移到出口處,運動方向發生改變,則動量發生改變,對彎管產生作用力.

【例2】如圖4所示,用一個水平放置的90°彎管輸送水流,已知彎管兩端管徑分別為d1=150 mm,d2=75 mm,左端管口處的壓強p1=2.06×105Pa,流量Q=0.02 m3/s.求:水流對彎管的作用力大小和方向.

圖4 例2題圖

解析:水流在彎管入口與出口處的速率分別為

設彎管出口處的壓強為p2,取同一流線上在入口處與出口處的兩點,根據伯努利方程可知

由此得

設彎管內的水流受到彎管的作用力大小為F,利用式(1)分別在x軸與y軸方向列方程為

p1S1-Fx=ρQ(0-v1)

Fy-p2S1=ρQ(v2-0)

聯立方程可得水流受到彎管作用力的分力為

Fx=3 665 NFy=958 N

由勾股定理可知水流受到的彎管的作用力大小為F=3 786 N,起點在坐標原點的矢量位于第二象限,與x軸反方向的夾角為

由牛頓第三定律可知,水流對彎管的作用力大小F′=3 786 N,起點在坐標原點的矢量位于第四象限,與x軸正方向的夾角θ=14.66°.

點評:該題具有很強的綜合性,不僅利用流量公式推導流速,而且應用伯努利方程推導壓強.在對彎管內的流體應用動量定理列方程時,直接利用流體受到彎管的作用力矢量公式,但由于3個力的方向不在同一直線上,因此需利用正交分解法列方程,這樣便于計算彎管對水流產生作用力的大小和方向.

3 總結

綜上所述,解答有關液體通過彎管的動力學問題可有兩種方法,即流管法與公式法.對彎管內整個液體受到合外力矢量公式的推導方法非常巧妙,這種方法的特點是整體法中含有微元法,即選擇管道內的流體整體作為研究對象,但運動過程是一小段時間,流體整體動量的變化量與整體無關,只與很短時間內從管道兩端流入與流出的小段流體的動量有關;同理,管道內流體整體動能的變化量與整體無關,只與很短時間內從管道兩端流入與流出的小段流體的動能有關,這為解答有關流體動力學問題提供了巧妙的思路和方法.