連續分布電荷體系電荷元的自能問題*

付全紅 常 健 鄭建邦

(西北工業大學物理科學與技術學院 陜西 西安 710129)

電荷體系的能量是一個被廣泛討論的問題.當一個電荷體系由若干部分組成時,電荷體系的電場能等于各部分的自能與各部分之間的相互作用能之和.一個連續分布電荷體系,例如連續帶電體、連續帶電曲面等,可分割為無窮多個電荷元,電荷體系的電場能等于電荷元的自能與電荷元之間的相互作用能之和[1-4].文獻一般認為,由于電荷元的電荷量趨于零,故電荷元的自能趨于零,所有電荷元的自能之和也趨于零,因此,電荷體系的電場能就等于電荷元之間的相互作用能[5-10].

上述推理雖然結論正確,但是不夠嚴謹,原因在于雖然電荷元的自能趨于零,但是電荷元的數目趨于無窮大,因此,所有電荷元的自能之和也趨于零需要從數學上嚴格證明.文獻[11-12]以自由體電荷為例對該問題做了一些研究,但是沒有涉及面電荷和極化電荷的情形.

本文系統研究連續分布電荷體系電荷元的自能問題,利用均勻帶電球體和均勻帶電圓面的自能公式和夾逼定理,分兩步嚴格證明連續分布電荷體系電荷元的自能之和為零:第一步,證明自由電荷體系電荷元的自能之和為零;第二步,證明一般電荷體系電荷元的自能之和為零.

1 自由電荷體系電荷元的自能

1.1 自由體電荷的電荷元的自能

考察任意一個自由體電荷,相對介電常數為1,體電荷密度為ρf,體積為V.將自由體電荷分割為N1(N1→∞) 個正方體電荷元,邊長為a1(a1→0).

自由體電荷的電場能為[13]

(1)

式中,Ei和Ej分別表示第i個和第j個正方體電荷元在空間產生的電場強度.

第i個正方體電荷元的自能為

(2)

所有正方體電荷元的自能之和為

(3)

(4)

圖1 正方體電荷元的內切球和外接球

式中,Qf、R、ρf分別表示均勻帶電球體的電荷量、半徑、體電荷密度.

為了方便起見,將正方體電荷元減去內切球剩下的部分,或外接球減去正方體電荷元剩下的部分叫做“邊角料”.對于圖1(a),正方體電荷元的自能等于內切球的自能、“邊角料”的自能、內切球與“邊角料”的相互作用能之和,由于內切球和“邊角料”帶同種電荷,相互作用能大于零,故正方體電荷元的自能大于內切球的自能.同理,對于圖1(b),正方體電荷元的自能小于外接球的自能.因此

W內切球,i

(5)

(6)

根據式 (4),內切球和外接球的自能分別為

(7)

(8)

式中,ρf,i表示第i個正方體電荷元的體電荷密度.

當a1→0時,W內切球,i→0,W外接球,i→0,根據夾逼定理

W正方體,i→0

(9)

即正方體電荷元的自能為零.

下面證明所有正方體電荷元的自能之和也為零.

(10)

(11)

式中,|ρf|min和|ρf|max分別表示體電荷密度絕對值的最小值和最大值.由式(6)、式(10)、式(11)得

(12)

當a1→0時,有

根據夾逼定理

(13)

即所有正方體電荷元的自能之和也為零.

1.2 自由面電荷電荷元的自能

考察任意一個自由面電荷,相對介電常數為1,面電荷密度為σf,面積為S.將自由面電荷分割為N2(N2→∞) 個等邊三角形電荷元,邊長為a2(a2→0).

自由面電荷的電場能為[13]

(14)

式中,Ei和Ej分別表示第i個和第j個等邊三角形電荷元在空間產生的電場強度.

第i個等邊三角形電荷元的自能為

(15)

所有等邊三角形電荷元的自能之和為

(16)

(17)

圖2 等邊三角形電荷元的內切圓和外接圓

式中,γ≈1.7為均勻帶電圓面的自能系數,Qf、R、σf分別表示均勻帶電圓面的電荷量、半徑、面電荷密度.

為了方便起見,將等邊三角形電荷元減去內切圓剩下的部分,或外接圓減去等邊三角形電荷元剩下的部分叫做“邊角料”.對于圖2(a),等邊三角形電荷元的自能等于內切圓的自能、“邊角料”的自能、內切圓與“邊角料”的相互作用能之和,由于內切圓和“邊角料”帶同種電荷,相互作用能大于零,故等邊三角形電荷元的自能大于內切圓的自能.同理,對于圖2(b),等邊三角形電荷元的自能小于外接圓的自能.因此

W內切圓,i

(18)

(19)

根據式(16),內切圓和外接圓的自能分別為

(20)

(21)

式中,σf,i表示第i個等邊三角形電荷元的面電荷密度.

當a2→0時,W內切圓,i→0,W外接圓,i→0,根據夾逼定理

W等邊三角形,i→0

(22)

即等邊三角形電荷元的自能為零.

下面證明所有等邊三角形電荷元的自能之和也為零.

(23)

(24)

式中,|σf|min和|σf|max分別表示面電荷密度絕對值的最小值和最大值.由式(19)、式(23)、式(24)得

(25)

當a2→0時,有

根據夾逼定理

(26)

即所有等邊三角形電荷元的自能之和也為零.

2 一般電荷體系電荷元的自能

第1節研究了自由電荷體系電荷元的自能,本節在此基礎上研究一般電荷體系 (既有自由電荷,也有極化電荷) 的電荷元的自能.考察任意一個一般電荷體系,介電常數為ε,自由體電荷密度為ρf、自由面電荷密度為σf、極化體電荷密度為ρp、極化面電荷密度為σp.將體電荷分割為N1(N1→∞) 個正方體電荷元,邊長為a1(a1→0),面電荷分割為N2(N2→∞) 個等邊三角形電荷元,邊長為a2(a2→0).

一般電荷體系的電場能為[13]

(27)

式中,Ei和Ej分別表示第i個和第j個 (正方體或等邊三角形) 電荷元在空間產生的電場強度.

第i個 (正方體或等邊三角形) 電荷元的自能為

(28)

所有 (正方體或等邊三角形) 電荷元的自能之和為

(29)

先證明一般電荷體系 (正方體或等邊三角形) 電荷元的自能為零.

(30)

(31)

式中,εmin和εmax分別表示介電常數的最小值和最大值.由式(30)和式(31)得

(32)

根據夾逼定理

(33)

即一般電荷體系(正方體或等邊三角形) 電荷元的自能為零.

再證明一般電荷體系所有 (正方體或等邊三角形) 電荷元的自能之和也為零.

(34)

(35)

由式(34)和式(35)得

(36)

根據夾逼定理

(37)

即一般電荷體系所有 (正方體或等邊三角形) 電荷元的自能之和也為零.

3 結論

本文系統研究了連續分布電荷體系電荷元的自能問題,利用均勻帶電球體和均勻帶電圓面的自能公式和夾逼定理,嚴格證明了連續分布電荷體系電荷元的自能之和為零.因此,連續分布電荷體系的電場能就等于電荷元之間的相互作用能.