多次彈性正碰的全過(guò)程中速度交換的分析

肖星星 郭安良 陳 楊

(重慶市第八中學(xué)校 重慶 400030)

學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)科育人的價(jià)值體現(xiàn),是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀、必備品格和關(guān)鍵能力.物理學(xué)科核心素養(yǎng)中的科學(xué)思維主要包括模型的構(gòu)建、科學(xué)推理、科學(xué)論證、質(zhì)疑創(chuàng)新等要素[1].在物理學(xué)中兩粒子或物體經(jīng)過(guò)極短時(shí)間的相互作用,導(dǎo)致碰撞前后參與物的速度、動(dòng)量或者能量發(fā)生變化,按碰撞過(guò)程中機(jī)械能是否守恒分為彈性碰撞和非彈性碰撞兩種,如果碰撞過(guò)程中沒(méi)有機(jī)械能的損失稱為彈性碰撞,有機(jī)械能的損耗稱為非彈性碰撞,本文重點(diǎn)討論彈性碰撞過(guò)程中速度交換問(wèn)題.

1 彈性碰撞

1.1 雙守恒方程

兩物體P和Q質(zhì)量分別為m1、m2,碰前兩物體的速度分別為v10、v20,碰后的速度為v1、v2,由彈性碰撞動(dòng)量、機(jī)械能守恒得

m1v10+m2v20=m1v1+m2v2

(1)

(2)

由式(1)得

m1(v10-v1)=m2(v2-v20)

(3)

由式(2)得

m1(v10+v1)(v10-v1)=
m2(v2+v20)(v2-v20)

(4)

由式(4)除以式(3)得

v10+v1=v2+v20

(5)

式(4)、(5)聯(lián)立解得

1.2 恢復(fù)系數(shù)

將兩物體碰撞后的分離速度(v2-v1)與碰撞前兩物體的接近速度(v10-v20)比值叫恢復(fù)系數(shù),用公式表示為

e由兩物體的材料性質(zhì)決定,與兩物體的質(zhì)量無(wú)關(guān).對(duì)于彈性碰撞e=1[上面的式(5)],完全非彈性碰撞e=0,一般碰撞0

2 速度交換

2.1 一次彈性碰撞過(guò)程中的速率交換

由上面的推導(dǎo)可以看出,如果m2=m1,則v1=v20,v2=v10,即碰后兩物體速度交換.

2.2 多次彈性碰撞過(guò)程中的速度交換

2.2.1 模型的建立

如圖1所示,在粗糙的水平地面左邊有一固定彈性擋板(彈性擋板也可以換成固定光滑斜面或凹槽),地面上有P、Q兩個(gè)物體,質(zhì)量分別為m、M,且m

圖1 多次彈性碰撞的物體

2.2.2 模型分析

由于彈性碰撞,滿足雙守恒方程,設(shè)第一次碰撞后P、Q的速度大小分別為v11和v21,由上面的推導(dǎo)可得

Q以v21的速度向前滑行直到速度減為零,P碰后速度反向,與彈性擋板碰撞后原速反彈,又以v11速率去碰靜止的Q物體,依次循環(huán).相當(dāng)于P物體以碰后的速度在彈性擋板的作用下不停地朝著同一方向撞擊Q物體,彈性擋板的作用相當(dāng)于控制P、Q兩物體在兩次碰撞過(guò)程中的時(shí)間差.由于每次碰后P物體速度大小會(huì)減小,最終兩物體都會(huì)停止運(yùn)動(dòng).由上面的分析可得第二次碰后的速度大小為

第三次碰后的速度大小為

第n次碰后的速度大小為

2.2.3 模型結(jié)論

P物體在多次彈性碰撞過(guò)程中減小的速度等于Q物體在整個(gè)碰撞過(guò)程中增加的速度,即速度交換.為了證明此模型結(jié)論的正確性,從兩個(gè)角度進(jìn)行證明.

(1)直接求解

根據(jù)每次碰撞后的情況直接算出Q物體最終獲得的速度總和v2

即P物體在與彈性擋板和Q物體的多次彈性碰撞過(guò)程中,最終將速度全部傳給了Q物體,速度交換,結(jié)論成立.

(2)利用恢復(fù)系數(shù)

由于碰前Q物體停止運(yùn)動(dòng)

則

v2n=v1n-1-v1n

即在每次的碰撞過(guò)程中,P物體的速度減小量等于Q物體的速度增加量,其中v1(n-1)為P物體第n次碰撞前的速度大小,v1n、v2n為P、Q兩物體n次碰撞后的速度大小.

第一次碰撞后P、Q的速度大小分別為v11和v21,可得

v21=v10-v11

同理可求得第二次碰后的速度大小關(guān)系為

v22=v11-v12

第三次碰后的速度大小關(guān)系為

v23=v12-v13

第n次碰后的速度大小關(guān)系為

v2n=v1(n-1)-v1n

最終解物體Q獲得的速度總和

v2=v21+v22+…+v2n=(v10-v11)+

(v11-v12)+…+[v1(n-1)-v1n]=v10

結(jié)果發(fā)現(xiàn),每次P物體與靜止的Q物體發(fā)生彈性碰撞,P物體的速度減小量等于Q物體的速度增加量,即-Δv1=Δv2.多次碰撞后,P、Q兩物體最終都停止運(yùn)動(dòng),那么P物體總的速度減小量等于Q物體總的速度增加量,結(jié)論成立.

3 模型的局限性

多次彈性碰撞過(guò)程中速度交換模型的條件:

(1)每次碰撞都是彈性碰撞,且都是小物體去碰靜止的大物體.

(2)由于彈性擋板(斜面或凹槽)的作用,每次碰前小物體的速度大小都是上一次碰后的速度大小.

4 模型的適應(yīng)性

由于模型條件的限制,主要有兩個(gè)考查方向.

4.1 求時(shí)間

4.2 求位移

在圖1的情景中,將地面換成U型光滑金屬導(dǎo)軌,垂直于導(dǎo)軌方向有勻強(qiáng)磁場(chǎng),將P、Q物體換成金屬桿和絕緣桿,相當(dāng)于將Q物體所受的摩擦阻力換成電磁阻力,就變成了2023年重慶高三二診物理第15題.

4.2.1 原題呈現(xiàn)

圖2 原題題圖

4.2.2 例題分析

試題有3問(wèn),這里去掉了(1)、(2)問(wèn),重點(diǎn)分析第(3)問(wèn).仔細(xì)研讀題目,發(fā)現(xiàn)M桿第一次運(yùn)動(dòng)停止后的運(yùn)動(dòng)情況與這里討論的速度交換模型一模一樣.因此,由模型可知:M桿在碰撞過(guò)程中獲得的速度之和為N桿第一次碰后的速度v,相當(dāng)于M桿僅在安培力作用下由速度v減為零,對(duì)于M桿,由動(dòng)量定理列方程

其中x=vΔt,然后全過(guò)程累加有

求得

由題目分析可知

代入,得

再加上M桿第一次碰后運(yùn)動(dòng)到停止的位移

就求出了M桿的總位移

題目也就很快得到解決.

5 結(jié)束語(yǔ)

動(dòng)量、能量在物理學(xué)中的地位非常重要,也是物理學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn),兩者經(jīng)常結(jié)合在一起考查,思維難度特別大,對(duì)物理的學(xué)科素養(yǎng)要求比較高.通過(guò)對(duì)彈性碰撞進(jìn)行深度解讀,建立一個(gè)多次彈性碰撞過(guò)程中的速度交換模型,并對(duì)該模型進(jìn)行有效性論證、局限性討論和適用范圍進(jìn)行解讀,最后通過(guò)2023年重慶高三二診物理15題驗(yàn)證了此模型的正確性.