一類軸向均勻變化磁場中感生電場問題研究*

姜付錦

(武漢市黃陂區第一中學試題研究中心 湖北 武漢 430300)

韓 燦

(武漢市黃陂區第三中學 湖北 武漢 430300)

1 感生電場強度

(1)

式(1)是對邊界內、外的區域都成立.

2 矩形邊界

【題目】如圖2所示,用均勻導線做成的正方形線框邊長為0.2m,正方形的一半放在垂直于紙面向里的勻強磁場中.當磁場以10T/s的變化率增強時,線框a、b兩點間的電勢差是( )

圖2 題目附圖

A.Uab=0.1V

B.Uab=-0.1V

C.Uab=0.2V

D.Uab=-0.2V

2.1 文獻1中的分析

對左半邊電路(acb段)使用“含源支路歐姆定律”,有

(2)

其中Eacb代表acb段的感生電動勢(絕對值),I、R分別代表線框電流(絕對值)和電阻.由已知條件得線框面積S=0.04m2,故全線框感生電動勢(絕對值)

(3)

由全電路歐姆定律E=IR,則式(2)變為

(4)

注意到Eacb是全線框感生電動勢E的一部分,暫令Eacb=βE(其中0<β≤1),代入式(4)得

(5)

本題只能做到這一步,關鍵是出題人并未給出β值,而且從圖2無法知道感生電場在線框內如何分布,從而無法得知β值,故原題沒有答案正確[1].

2.2 對參考文獻[1]分析的反思

(6)

β值到底是多少呢?

設矩形區域-a≤x≤a,-b≤y≤b,a=0.05m,b=0.1m,k=10T/s,則式(1)積分變為

Ey(x,y)=

(7)

則acb邊產生電動勢占總電動勢比值為

β比值大約為0.676 1,代入式(6)得

(8)

故原題沒有選項正確.

2.3 a、b兩點間的電勢差另一種算法

對右半邊電路(ab段)使用“含源支路歐姆定律”,有

(9)

其中Eba代表ab段的感生電動勢(絕對值),I、R分別代表線框電流(絕對值)和電阻.由已知條件得線框面積S=0.04m2,故全線框感生電動勢(絕對值)

(10)

由全電路歐姆定律E=IR,則式(10)變為

(11)

注意到Eba是全線框感生電動勢E的一部分,暫令Eba=αE(其中0<α≤1),代入式(4)得

(12)

由式(7)可得ab邊電動勢的占比

α比值大約為0.323 9,代入式(12)得

(13)

對比式(8)、(13)發現α+β=1,這與理論分析相吻合,因此以上分析方法與思想沒有問題.但在非靜電場(保守場)中,電場沿回路的積分與積分路徑有關,所謂的電勢(差)是沒有物理意義的[2].因此在高中階段應盡量避免計算感生電場中電勢差的問題.

3 無窮大邊界感生電場

3.1 由圓柱形邊界推導

(14)

圖3 扇形電路

右邊圓弧上感應電動勢為

(15)

(16)

由式(14)～(16)可得回路中總感應電動勢為

(17)

若圓柱半徑趨近于無窮大,圖4中扇形閉合回路趨近正方形,式(14)、(15)均會趨近于無窮大,式(17)會趨近于

(18)

圖4 參考文獻[3]中的分析

兩個扇形邊所在位置感生電場強度分別為

(19)

當圓柱半徑趨近于無窮大時,矩形左右兩邊感生電場強度和總感生電場強度都趨近于無窮大,但它們差值有限.之所以會出現這種情況主要是因為感生電場強度嚴格依賴磁場邊界.若磁場邊界有限,則空間感生電場強度有限.若磁場邊界趨近無窮大,則空間感生電場強度趨近無窮大.

3.2 參考文獻[3]分析

如圖4所示,建立坐標系xOy,取水平向左為x軸正方向,y軸為半無窮大邊界,則通過理論分析得空間感生電場分布如下[2]

(20)

其中

式(20)表明:

當x>0時,感生電場為Ex=0,Ey=-kx,感生電場沿y軸方向.

當x<0時,E=0,即在磁場邊界及外部空間沒有感生電場,感生電場只分布在邊界內部.

邊界內部感生電場強度方向與y軸平行,大小與x成正比,在x軸上感生電場強度為零.這與參考文獻[4]中理論——“越接近邊界感生電場越強”和“在邊界外也有感生電場”矛盾,也與式(19)矛盾,故參考文獻[3]中關于無限大邊界感生電場問題的分析有待商榷.

3.3 無窮大感生電場的另一種理解

無窮大邊界的磁場區域實際上是不能實現的,但可以逼近.舉個例子,一個很小的螞蟻靠近一個均勻帶有電荷的平板,螞蟻距離平板越近,它看到的平板就越大,感受到的就是無窮大帶電平板所產生的電場.所以,考慮一個有限大小正方形的磁場區域,要討論感生電場趨向邊界處的近似漸近行為,分從里面逼近和從外面逼近.解析公式給不出的話,可以數值計算討論.也可以從最簡單的圓形區域磁場開始討論.

4 結束語

通過以上分析不難發現,感生電場分布圖與變化磁場邊界緊密相關,若磁場邊界確定則感生電場分布就確定,在邊界上某處感生電場強度有最大值,但邊界不一定是電場強度等值線;當邊界趨近無窮大時,邊界處感生電場強度趨近于無窮大,但這在真實物理情境中是不允許的,故在高中階段盡量不要出現無窮大邊界的感生電場問題.