基于多維擴(kuò)展的正交時(shí)序復(fù)用波形框架及其性能分析

王震鐸 譚正鋒 孫溶辰

(哈爾濱工程大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 哈爾濱 150001)

1 引言

B5G和6G無(wú)線通信系統(tǒng)未來(lái)有望提供各種高精度傳感服務(wù)，如機(jī)器人導(dǎo)航的室內(nèi)定位、智能家居的Wi-Fi傳感和自動(dòng)駕駛汽車的雷達(dá)傳感[1]。新一代物理層波形被要求具有高可靠、低延遲、適應(yīng)高多普勒頻移環(huán)境的能力。正交時(shí)頻空(Orthogonal Time Frequency Space, OTFS)調(diào)制能夠有效地對(duì)抗時(shí)變信道中的多普勒效應(yīng)，在解決高遷移率問(wèn)題方面顯示出巨大的潛力[2-10]。然而，OTFS需要使用辛快速傅里葉變換(Symplectic Finite Fourier Transform, SFFT)進(jìn)行調(diào)制，這極大地增加了OTFS調(diào)制的計(jì)算復(fù)雜度。最近提出的正交時(shí)序復(fù)用(Orthogonal Time Sequency Multiplexing,OTSM)調(diào)制在時(shí)延-序列域中復(fù)用信息符號(hào)，使得在時(shí)域中表現(xiàn)出快時(shí)變特性的高速移動(dòng)信道在時(shí)延-序列域中表現(xiàn)出了時(shí)不變特性，從而獲得與OTFS類似的性能[11]。但由于沃爾什-哈達(dá)瑪變換(Walsh-Hadamard Transform, WHT)只需要進(jìn)行加減法運(yùn)算，OTSM調(diào)制復(fù)雜度比OTFS低。目前的研究表明，OTSM在部分均衡中展現(xiàn)出了優(yōu)異的性能，如最大比合并(Maximum Ratio Combining,MRC)迭代均衡[12]、高斯-賽德?tīng)?Gauss-Seidel,GS)迭代均衡[11,13]。有鑒于此，OTSM具有更強(qiáng)的研究潛力。

基于加權(quán)類分?jǐn)?shù)傅里葉變換(Weighted(-type)FRactional Fourier Transform, WFRFT)的混合載波(Hybrid Carrier, HC)設(shè)計(jì)理念由于其集成了傳統(tǒng)單載波(Single Carrier, SC)和多載波(Multi-Carrier, MC)波形，具有較強(qiáng)的靈活性和復(fù)雜環(huán)境的適應(yīng)能力，從而得到了廣泛的關(guān)注[14-19]。近些年來(lái)，該類一體化波形框架的研究包括了基于WFRFT的HC-Alamouti變電站通信系統(tǒng)[15]、基于WFRFT的無(wú)循環(huán)前綴的HC系統(tǒng)[16]、雙參數(shù)可調(diào)的WFRFTOTFS系統(tǒng)[17]、基于離散分?jǐn)?shù)傅里葉變換-OFDM系統(tǒng)上的OTFS系統(tǒng)[18]和基于快速卷積的HC系統(tǒng)[19]等。目前來(lái)看，基于WFRFT的HC波形系統(tǒng)的研究較為完善，在面對(duì)部分應(yīng)用場(chǎng)景時(shí)具有足夠的適應(yīng)能力。但該類HC波形僅使用了WFRFT，波形擴(kuò)展的維度較為單一，難以表征為使用了其他變換的MC波形，特別是使用了WHT的OTSM，因此該類HC波形的靈活性有所欠缺。考慮到B5G和6G無(wú)線通信系統(tǒng)的高標(biāo)準(zhǔn)要求，研究其他維度的HC方案勢(shì)在必行。

考慮到在高速移動(dòng)信道環(huán)境中OTSM具有和OTFS類似的性能，本文設(shè)想存在一種以O(shè)TSM為起點(diǎn)的波形方案，這類方案能夠退化為傳統(tǒng)的SC波形。然而，文獻(xiàn)[17]中的WFRFT只能使OTFS波形與SC波形融合，不能使OTSM波形與SC波形統(tǒng)一。為了使OTSM波形能夠與SC波形融合，本文根據(jù)WFRFT的原理設(shè)計(jì)了加權(quán)分?jǐn)?shù)沃爾什-哈達(dá)瑪變換(Weighted(-type) FRactional Walsh-Hadamard Transform, WFRWHT)。考慮到WFRFT能夠連接S C 和O T F S 的特點(diǎn)，本文以W F R F T 和WFRWHT為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了以O(shè)TSM波形為起點(diǎn)，融合OTFS, SC, HC等波形的WFRFT-WFRWHTOTSM 2維參數(shù)可調(diào)的一體化波形框架。在本實(shí)驗(yàn)中使用的均衡為GS迭代均衡，信道模型為擴(kuò)展車輛信道模型(Extended Vehicular A model, EVA)。仿真結(jié)果表明，在不同的高速移動(dòng)信道環(huán)境中，本框架可以通過(guò)改變2維階次以適應(yīng)相應(yīng)的環(huán)境，得到更好的誤碼率(Bit Error Ratio, BER)及峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio, PAPR)性能。

2 WFRFT和WFRWHT的定義與性質(zhì)

2.1 WFRFT

從定義上看，WFRFT是對(duì)同一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式和頻域表達(dá)式進(jìn)行加權(quán)求和。階數(shù)為α的4項(xiàng)加權(quán)N維WFRFT矩陣可以表示為

其中，IN為N維單位陣，F(xiàn)N為N維離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)矩陣。式(1)中加權(quán)系數(shù)ωl(α)可表示為

當(dāng)α=0時(shí)，WFRFT矩陣變成單位矩陣，當(dāng)α=1時(shí)，WFRFT矩陣變成DFT矩陣。

WFRFT可被看作連接信號(hào)的時(shí)域形式和頻域形式的曲線，因此在HC系統(tǒng)中應(yīng)用時(shí)成為連接傳統(tǒng)SC波形和OFDM系統(tǒng)的橋梁，這為基于WFRFT的新型多載波的波形擴(kuò)展提供了理論支撐。

2.2 WFRWHT

根據(jù)WFRFT在傳統(tǒng)通信領(lǐng)域的物理意義，本文試圖構(gòu)建一種全新的變換方法，以實(shí)現(xiàn)SC波形和OTSM波形的融合。與WFRFT類似，本文對(duì)同一個(gè)信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式與序列域表達(dá)式的加權(quán)求和，且不同加權(quán)參量的系數(shù)同WFRFT相似，定義β階N維WFRWHT表達(dá)式為

其中WN是歸一化的N維Walsh-Hadamard矩陣，加權(quán)系數(shù)ωl(β)可以表示為

當(dāng)β=0時(shí)，WFRWHT矩陣退化為單位陣，當(dāng)β=1時(shí)，WFRWHT矩陣退化為Walsh-Hadamard矩陣。與WFRFT類似，WFRWHT具有階數(shù)連續(xù)性(β ∈[-1,1] )、邊界性(W0,N=IN,W1,N=WN)、旋轉(zhuǎn)相加性(Wβ+γ,N=Wβ,NWγ,N=Wγ,N Wβ,N)和對(duì)稱性(WTβ,N=Wβ,N)。

與WFRFT類似，WFRWHT可被視作連接信號(hào)的時(shí)域和分?jǐn)?shù)域的曲線。因此，WFRWHT作為一種預(yù)編碼可以對(duì)OTSM進(jìn)行擴(kuò)展，實(shí)現(xiàn)OTSM波形和SC波形的統(tǒng)一。

3 基于WFRFT和WFRWHT多維擴(kuò)展的OTSM系統(tǒng)框架

將WFRFT作為一種預(yù)編碼可以實(shí)現(xiàn)OTSM的波形擴(kuò)展，但這種擴(kuò)展只能將無(wú)預(yù)編碼的OTSM波形與基于DFT預(yù)編碼的OTSM波形連接，無(wú)法實(shí)現(xiàn)SC波形與OTSM波形的統(tǒng)一。本文提出一種基于WFRWHT的新型波形擴(kuò)展方法，用于融合SC與OTSM波形。進(jìn)一步地，若將WFRFT和WFRWHT作為預(yù)編碼方法加在OTSM波形前，即對(duì)OTSM波形進(jìn)行2維擴(kuò)展，就能得到WFRFT-WFRWHTOTSM波形框架，實(shí)現(xiàn)OTSM, OTFS, SC和HC波形的統(tǒng)一，具體系統(tǒng)框架如圖1所示。

圖1 WFRFT-WFRWHT-OTSM系統(tǒng)框架

基于WFRFT和WFRWHT的多維擴(kuò)展的一體化OTSM框架可通過(guò)對(duì)2維參數(shù)α和β的靈活配置，表征為不同的波形模態(tài)，得到更廣泛的適用性和更強(qiáng)的適配能力，能夠適應(yīng)不同的應(yīng)用需求和性能需求。WFRFT-WFRWHT-OTSM的參數(shù)與表征波形關(guān)系如表1所示。具體WFRFT-WFRWHT-OTSM波形融合機(jī)理如圖2所示。

表1 WFRFT-WFRWHT-OTSM的參數(shù)與表征波形關(guān)系

圖2 WFRFT-WFRWHT-OTSM波形融合機(jī)理

3.1 發(fā)送端

設(shè)x,y ∈CNM×1分別表示系統(tǒng)發(fā)送和接收的信息符號(hào)，WFRFT-WFRWHT-OTSM的每一幀信號(hào)的持續(xù)時(shí)間和帶寬分別為T(mén)f=NT和B=MΔf，其中 Δf= 1/T。在發(fā)送端，信息符號(hào)x被均勻分割為M個(gè)信息向量xm ∈CN×1， 即x=[,,...,x-1]T。最后lmax個(gè)xm符號(hào)為零填充(Zero Padding, ZP)，這能避免塊間干擾。可將向量xm重新排列成發(fā)送端的信息矩陣X= [x0,x1,...,xM-1]T∈CM×N。對(duì)信息矩陣X沿行進(jìn)行N點(diǎn) -α階WFRFT和N點(diǎn)β-1階WFRWHT，再沿列進(jìn)行向量化，即可得到發(fā)射信號(hào)向量sα,β

所得的發(fā)射信號(hào)向量sα,β是離散的，但實(shí)際上在信道中傳輸?shù)氖沁B續(xù)信號(hào)sα,β(t) 。對(duì)信號(hào)sn,α,β的每一列進(jìn)行DFT運(yùn)算，最后通過(guò)Heisenberg變換即可得到連續(xù)時(shí)域信號(hào)sα,β(t)。

3.2 時(shí)延-多普勒信道

考慮一個(gè)具有P個(gè)傳播路徑的基帶等效信道模型，其中hi,τi和υi分別是第i路徑的路徑增益、時(shí)延和多普勒頻移。令τmax和υmax分別代表最大時(shí)延擴(kuò)展和最大多普勒頻移，則信道時(shí)延擴(kuò)展長(zhǎng)度和多普勒擴(kuò)展長(zhǎng)度分別為τmaxMΔf和υmaxNT。由于P為有限值，故時(shí)延-多普勒域的信道脈沖響應(yīng)h(τ,υ)具有其離散的表現(xiàn)形式

通過(guò)SFFT即可得到時(shí)延-時(shí)間域的連續(xù)時(shí)變信道沖激響應(yīng)h(τ,t)

離散時(shí)間基帶模型是通過(guò)在t=q/MΔf處進(jìn)行采樣得到的，其中0≤q ≤NM-1。 設(shè)L={0,1,...,lmax}是離散延遲抽頭集，它表示采樣周期為 1/MΔf的整數(shù)倍的延遲移位。通過(guò)接收端的采樣，時(shí)延-時(shí)間域的連續(xù)時(shí)變信道沖激響應(yīng)h(τ,υ)變成了時(shí)延-時(shí)間域的離散時(shí)變信道沖激響應(yīng)h[l,q]

將式(7)代入式(8)，得到時(shí)延-時(shí)間域的離散時(shí)變信道h[l,q]為

其中 sinc(t)=sin(πt)/(πt)，κi表示歸一化多普勒頻移，?i表示歸一化延遲移位。κi和?i具有如式(10)的關(guān)系

假設(shè)信道延遲可以近似為 1/MΔf的整數(shù)倍，則可將式(10)代入式(9)，得到簡(jiǎn)化后的時(shí)延-時(shí)間域離散時(shí)變信道h[l,q]

3.3 接收端

在接收端收到的時(shí)域信號(hào)rα,β(t)表示發(fā)送端發(fā)射的連續(xù)信號(hào)sα,β(t) 經(jīng)過(guò)信道h[l,q]并受高斯白噪聲的影響，即

其中n(t) 表 示方差為σ2的連續(xù)的高斯白噪聲。

時(shí)域信號(hào)rα,β(t)進(jìn)行Wigner變換，再分成N段，對(duì)每段進(jìn)行IDFT即可得到離散的時(shí)域信號(hào)rα,β=[α,β,α,β,...,-1,α,β]T∈CNM×1。另一種接收方式則是在接收端對(duì)收到的時(shí)域信號(hào)rα,β(t)在t=q/MΔf處進(jìn)行采樣，就可以直接得到離散的時(shí)域信號(hào)rα,β。無(wú)論如何，離散的時(shí)域信號(hào)rα,β都 可以看作對(duì)連續(xù)的時(shí)域信號(hào)rα,β(t)在t=q/MΔf處的采樣集，即

將采樣點(diǎn)q劃分為N組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)M個(gè)，即可表示為

此時(shí)n=[,,...,n]T。由于ZP的存在，每個(gè)rn,α,β僅與sn,α,β和信道噪聲nn有關(guān)，故

令sn,α,β經(jīng)過(guò)的時(shí)域信道矩陣為Hn ∈CM×M，則有

由式(15)、式(16)可得rn與sn之間的關(guān)系的矩陣表達(dá)式

設(shè)矩陣H ∈CNM×NM為時(shí)域信道矩陣，則有

從接收端收到的時(shí)域信號(hào)r與發(fā)射端處的時(shí)域信號(hào)s之間的關(guān)系表示為

其中n ∈CNM×1表示方差為σ2的高斯白噪聲。

時(shí)域信號(hào)r沿列向重新排列成信息矩陣,β=[r0,α,β,r1,α,β,...,rN-1,α,β] 。對(duì)信息矩陣進(jìn)行N點(diǎn)1-β階WFRWHT和N點(diǎn)α階WFRFT，即可得到接收信息矩陣Y

對(duì)式(20)沿行進(jìn)行列向量化，就能得到接收信號(hào)y

將式(22)進(jìn)行化簡(jiǎn)，可以得到輸入信號(hào)x與輸出信號(hào)y之間的關(guān)系為

由式(5)、式(21)、式(23)-式(25)可以看出，當(dāng)α=0,β=0時(shí)，該一體化波形框架的輸入端、輸出端、輸入輸出關(guān)系退化為OTSM波形，具體公式與文獻(xiàn)[9]所提的OTSM框架完全一致；當(dāng)α=1,β=0時(shí)，該一體化波形框架的輸入端、輸出端、輸入輸出關(guān)系退化為OTFS波形，具體公式與文獻(xiàn)[19]所提的OTFS框架完全一致；當(dāng)α=0,β=1時(shí)，該一體化波形框架的輸入端、輸出端、輸入輸出關(guān)系退化為SC波形。可見(jiàn)，該框架可完全退化為OTSM, OTFS, SC等波形。

4 GS迭代均衡

GS迭代均衡算法由Tharaj Thaj等人提出，它可以作為其他均衡的后續(xù)迭代均衡，以得到更高的精度[21]。

GS迭代算法是基于最小二乘估計(jì)進(jìn)行求解的，其核心方程為

其 中，zn=Rnsn+n,Rn=H·Hn,nˉn=·nn。可以得到GS迭代均衡中每次迭代求sn的計(jì)算方程為

其中bn和Tn的表達(dá)式為

其中，Dn和Ln分別為Rn的對(duì)角元素矩陣和下三角元素的矩陣。式(27)中第i次迭代的信息符號(hào)可計(jì)算為

其中，δ是用于提高64QAM以上的高階調(diào)制方案檢測(cè)器收斂性的松弛參數(shù)。對(duì)于4QAM,16QAM等低階調(diào)制，GS均衡的收斂性高，故δ設(shè)置為1以提高迭代收斂速度；對(duì)于64QAM以上的高階調(diào)制方案，δ過(guò)高會(huì)導(dǎo)致無(wú)法收斂。g為第i次迭代的矩陣的列向元素組成的向量，其表達(dá)式為

其中，D(·) 表示硬判決，為信息迭代矩陣。由如式(32)公式得到

5 性能仿真與分析

本節(jié)研究了WFRFT-WFRWHT-OTSM框架在不同參數(shù)情況下的性能。仿真中所設(shè)置的子載波數(shù)M=64 ，每個(gè)符號(hào)數(shù)為N=64，調(diào)制方式為4QAM和16QAM，載波頻率為 4×109Hz，子載波間隔為15 kHz，信道類型為EVA模型，每條徑的延遲為[0 30 150 310 370 710 1 090 1 730 2 510] ns，對(duì)應(yīng)功率衰減為[0 -1.5 -1.4 -3.6 -0.6 -9.1 -7.0-12.0 -16.9] dB。接收端采用GS迭代均衡方法，松弛參數(shù)設(shè)置為1，仿真過(guò)程中沒(méi)有使用信道編碼。

圖3為OTSM波形在接收端移動(dòng)速度為120 km/h時(shí)不同迭代次數(shù)對(duì)應(yīng)的誤碼率性能。在該圖中可以看出，當(dāng)?shù)螖?shù)為8次時(shí)，GS迭代均衡的性能趨于穩(wěn)定。因此，為了在得到最優(yōu)的BER性能的情況下減小計(jì)算復(fù)雜度，本文將GS迭代均衡的迭代次數(shù)設(shè)置為10次。

圖3 OTSM波形在不同迭代次數(shù)時(shí)對(duì)應(yīng)的誤碼率性能

圖4比較了α=0時(shí)WFRFT-WFRWHT-OTSM波形在120 km/h及500 km/h速度下的誤碼率性能。當(dāng)α=0時(shí)，WFRFT-WFRWHT-OTSM波形退化成了WFRWHT-OTSM波形。仿真結(jié)果表明，對(duì)于調(diào)制方式為4QAM的情況下，在β=0.1，用戶的移動(dòng)速度為120 km/h且誤碼率為10-5時(shí)，相比于OTSM, WFRFT-OTSM性能增益為1 dB；在β=0.1，用戶的移動(dòng)速度為500 km/h且誤碼率為10-5時(shí)，相比于OTSM, WFRFT-OTSM性能增益為0.5 dB。而對(duì)于調(diào)制方式為16QAM，用戶移動(dòng)速度為120 km/h和500 km/h的情況下，在β=0.1，誤碼率為 2×10-6時(shí)，相比于OTSM, WFRWHTOTSM的性能增益大于1 dB。

圖4 WFRWHT-OTSM波形在時(shí)延-多普勒信道下的誤碼率性能

圖5比較了β=0時(shí)WFRFT-WFRWHT-OTSM波形在120 km/h及500 km/h速度下的誤碼率性能。當(dāng)β=0時(shí)，WFRFT-WFRWHT-OTSM波形退化成了WFRFT預(yù)編碼的OTSM波形。仿真結(jié)果表明，對(duì)于調(diào)制方式為4QAM的情況下，在α=0.1，用戶的移動(dòng)速度為120 km/h且誤碼率為10-5時(shí)，相比于OTSM, WFRWHT-OTSM性能增益為1 dB；在α=0.1，用戶的移動(dòng)速度為500 km/h且誤碼率為10-5時(shí)，相比于OTSM, WFRWHT-OTSM性能增益為0.7 dB。而對(duì)于調(diào)制方式為16QAM，用戶移動(dòng)速度為120 km/h和500 km/h的情況下，在β=0.1 ，誤碼率為 2×10-6時(shí)，相比于OTSM,WFRFT-OTSM的性能增益大于1 dB。

圖5 WFRFT-OTSM波形在時(shí)延-多普勒信道下的誤碼率性能

圖6給出了速度為500 km/h，調(diào)制方式為4QAM，信噪比Eb/N0= 15 dB時(shí)，WFRFT-WFRWHTOTSM波形在不同WFRFT、WFRWHT階次下的誤碼率性能。圖6可以看出，BER分布呈現(xiàn)馬鞍形，在OTSM波形，OTFS波形附近，BER性能更好；在SC波形和DFT-OTSM附近，BER性能較差。

圖6 WFRFT-WFRWHT-OTSM在時(shí)延-多普勒信道下的誤碼率性能

圖7比較了WFRFT-WFRWHT-OTSM波形在速度為120 km/h及500 km/h時(shí)的誤碼率性能。仿真結(jié)果表明，在調(diào)制方式為4QAM和16QAM的情況下，相比于傳統(tǒng)的OTSM波形，基于WFRFT和WFRWHT多維擴(kuò)展的OTSM波形在高速移動(dòng)信道中表現(xiàn)出更優(yōu)的誤碼率性能，且2維參數(shù)具有較強(qiáng)的可選擇性，可根據(jù)場(chǎng)景、需求的改變進(jìn)行靈活調(diào)整。

圖7 WFRFT-WFRWHT-OTSM波形的誤碼率曲線

如圖8所示，給出了過(guò)采樣倍數(shù)為10倍時(shí)不同參數(shù)條件下一體化WFRFT-WFRWHT-OTSM波形的PAPR性能，并與具有相同總子符號(hào)數(shù)的OFDM波形進(jìn)行了比較。該一體化波形的PAPR均優(yōu)于OFDM波形的PAPR，同時(shí)在該一體化波形框架表征為OTSM和OTFS時(shí)PAPR性能較差，表征為DFT-OTSM時(shí)稍好，表征為SC時(shí)較好。當(dāng)改變?chǔ)梁挺聲r(shí)，如果波形越近似于OTFS和OTSM, PAPR性能越差；波形越近似于DFT-OTSM和SC, PAPR性能越好。可以看出，對(duì)WFRFT-WFRWHTOTSM的2維參數(shù)進(jìn)行調(diào)節(jié)可實(shí)現(xiàn)對(duì)PAPR性能的靈活調(diào)控，以適應(yīng)不同場(chǎng)景以及不同的性能需求。

圖8 WFRFT-WFRWHT-OTSM的PAPR性能

6 結(jié)論

本文基于WFRFT提出了WFRWHT，實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)WHT的廣義化，并基于WFRFT和WFRWHT提出了多維擴(kuò)展的一體化OTSM波形框架，具有2維參數(shù)可調(diào)的特征。通過(guò)對(duì)WFRFT和WFRWHT階次的靈活配置，該框架可退化為OTFS, OTSM,HC, SC等波形，具有靈活可調(diào)的BER和PAPR性能，可有效適配多樣化的場(chǎng)景和性能需求。仿真結(jié)果表明，當(dāng)接收端采用GS迭代均衡時(shí)，WFRFTWFRWHT-OTSM一體化波形在高速移動(dòng)場(chǎng)景下比OTFS、OTSM波形具有更優(yōu)的BER和PAPR性能。