基于多維擴展的正交時序復用波形框架及其性能分析

王震鐸 譚正鋒 孫溶辰

(哈爾濱工程大學信息與通信工程學院 哈爾濱 150001)

1 引言

B5G和6G無線通信系統未來有望提供各種高精度傳感服務，如機器人導航的室內定位、智能家居的Wi-Fi傳感和自動駕駛汽車的雷達傳感[1]。新一代物理層波形被要求具有高可靠、低延遲、適應高多普勒頻移環境的能力。正交時頻空(Orthogonal Time Frequency Space, OTFS)調制能夠有效地對抗時變信道中的多普勒效應，在解決高遷移率問題方面顯示出巨大的潛力[2-10]。然而，OTFS需要使用辛快速傅里葉變換(Symplectic Finite Fourier Transform, SFFT)進行調制，這極大地增加了OTFS調制的計算復雜度。最近提出的正交時序復用(Orthogonal Time Sequency Multiplexing,OTSM)調制在時延-序列域中復用信息符號，使得在時域中表現出快時變特性的高速移動信道在時延-序列域中表現出了時不變特性，從而獲得與OTFS類似的性能[11]。但由于沃爾什-哈達瑪變換(Walsh-Hadamard Transform, WHT)只需要進行加減法運算，OTSM調制復雜度比OTFS低。目前的研究表明，OTSM在部分均衡中展現出了優異的性能，如最大比合并(Maximum Ratio Combining,MRC)迭代均衡[12]、高斯-賽德爾(Gauss-Seidel,GS)迭代均衡[11,13]。有鑒于此，OTSM具有更強的研究潛力。

基于加權類分數傅里葉變換(Weighted(-type)FRactional Fourier Transform, WFRFT)的混合載波(Hybrid Carrier, HC)設計理念由于其集成了傳統單載波(Single Carrier, SC)和多載波(Multi-Carrier, MC)波形，具有較強的靈活性和復雜環境的適應能力，從而得到了廣泛的關注[14-19]。近些年來，該類一體化波形框架的研究包括了基于WFRFT的HC-Alamouti變電站通信系統[15]、基于WFRFT的無循環前綴的HC系統[16]、雙參數可調的WFRFTOTFS系統[17]、基于離散分數傅里葉變換-OFDM系統上的OTFS系統[18]和基于快速卷積的HC系統[19]等。目前來看，基于WFRFT的HC波形系統的研究較為完善，在面對部分應用場景時具有足夠的適應能力。但該類HC波形僅使用了WFRFT，波形擴展的維度較為單一，難以表征為使用了其他變換的MC波形，特別是使用了WHT的OTSM，因此該類HC波形的靈活性有所欠缺。考慮到B5G和6G無線通信系統的高標準要求，研究其他維度的HC方案勢在必行。

考慮到在高速移動信道環境中OTSM具有和OTFS類似的性能，本文設想存在一種以OTSM為起點的波形方案，這類方案能夠退化為傳統的SC波形。然而，文獻[17]中的WFRFT只能使OTFS波形與SC波形融合，不能使OTSM波形與SC波形統一。為了使OTSM波形能夠與SC波形融合，本文根據WFRFT的原理設計了加權分數沃爾什-哈達瑪變換(Weighted(-type) FRactional Walsh-Hadamard Transform, WFRWHT)。考慮到WFRFT能夠連接S C 和O T F S 的特點，本文以W F R F T 和WFRWHT為基礎，設計了以OTSM波形為起點，融合OTFS, SC, HC等波形的WFRFT-WFRWHTOTSM 2維參數可調的一體化波形框架。在本實驗中使用的均衡為GS迭代均衡，信道模型為擴展車輛信道模型(Extended Vehicular A model, EVA)。仿真結果表明，在不同的高速移動信道環境中，本框架可以通過改變2維階次以適應相應的環境，得到更好的誤碼率(Bit Error Ratio, BER)及峰均功率比(Peak-to-Average Power Ratio, PAPR)性能。

2 WFRFT和WFRWHT的定義與性質

2.1 WFRFT

從定義上看，WFRFT是對同一個信號的時域表達式和頻域表達式進行加權求和。階數為α的4項加權N維WFRFT矩陣可以表示為

其中，IN為N維單位陣，FN為N維離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform, DFT)矩陣。式(1)中加權系數ωl(α)可表示為

當α=0時，WFRFT矩陣變成單位矩陣，當α=1時，WFRFT矩陣變成DFT矩陣。

WFRFT可被看作連接信號的時域形式和頻域形式的曲線，因此在HC系統中應用時成為連接傳統SC波形和OFDM系統的橋梁，這為基于WFRFT的新型多載波的波形擴展提供了理論支撐。

2.2 WFRWHT

根據WFRFT在傳統通信領域的物理意義，本文試圖構建一種全新的變換方法，以實現SC波形和OTSM波形的融合。與WFRFT類似，本文對同一個信號的時域表達式與序列域表達式的加權求和，且不同加權參量的系數同WFRFT相似，定義β階N維WFRWHT表達式為

其中WN是歸一化的N維Walsh-Hadamard矩陣，加權系數ωl(β)可以表示為

當β=0時，WFRWHT矩陣退化為單位陣，當β=1時，WFRWHT矩陣退化為Walsh-Hadamard矩陣。與WFRFT類似，WFRWHT具有階數連續性(β ∈[-1,1] )、邊界性(W0,N=IN,W1,N=WN)、旋轉相加性(Wβ+γ,N=Wβ,NWγ,N=Wγ,N Wβ,N)和對稱性(WTβ,N=Wβ,N)。

與WFRFT類似，WFRWHT可被視作連接信號的時域和分數域的曲線。因此，WFRWHT作為一種預編碼可以對OTSM進行擴展，實現OTSM波形和SC波形的統一。

3 基于WFRFT和WFRWHT多維擴展的OTSM系統框架

將WFRFT作為一種預編碼可以實現OTSM的波形擴展，但這種擴展只能將無預編碼的OTSM波形與基于DFT預編碼的OTSM波形連接，無法實現SC波形與OTSM波形的統一。本文提出一種基于WFRWHT的新型波形擴展方法，用于融合SC與OTSM波形。進一步地，若將WFRFT和WFRWHT作為預編碼方法加在OTSM波形前，即對OTSM波形進行2維擴展，就能得到WFRFT-WFRWHTOTSM波形框架，實現OTSM, OTFS, SC和HC波形的統一，具體系統框架如圖1所示。

圖1 WFRFT-WFRWHT-OTSM系統框架

基于WFRFT和WFRWHT的多維擴展的一體化OTSM框架可通過對2維參數α和β的靈活配置，表征為不同的波形模態，得到更廣泛的適用性和更強的適配能力，能夠適應不同的應用需求和性能需求。WFRFT-WFRWHT-OTSM的參數與表征波形關系如表1所示。具體WFRFT-WFRWHT-OTSM波形融合機理如圖2所示。

表1 WFRFT-WFRWHT-OTSM的參數與表征波形關系

圖2 WFRFT-WFRWHT-OTSM波形融合機理

3.1 發送端

設x,y ∈CNM×1分別表示系統發送和接收的信息符號，WFRFT-WFRWHT-OTSM的每一幀信號的持續時間和帶寬分別為Tf=NT和B=MΔf，其中 Δf= 1/T。在發送端，信息符號x被均勻分割為M個信息向量xm ∈CN×1， 即x=[,,...,x-1]T。最后lmax個xm符號為零填充(Zero Padding, ZP)，這能避免塊間干擾。可將向量xm重新排列成發送端的信息矩陣X= [x0,x1,...,xM-1]T∈CM×N。對信息矩陣X沿行進行N點 -α階WFRFT和N點β-1階WFRWHT，再沿列進行向量化，即可得到發射信號向量sα,β

所得的發射信號向量sα,β是離散的，但實際上在信道中傳輸的是連續信號sα,β(t) 。對信號sn,α,β的每一列進行DFT運算，最后通過Heisenberg變換即可得到連續時域信號sα,β(t)。

3.2 時延-多普勒信道

考慮一個具有P個傳播路徑的基帶等效信道模型，其中hi,τi和υi分別是第i路徑的路徑增益、時延和多普勒頻移。令τmax和υmax分別代表最大時延擴展和最大多普勒頻移，則信道時延擴展長度和多普勒擴展長度分別為τmaxMΔf和υmaxNT。由于P為有限值，故時延-多普勒域的信道脈沖響應h(τ,υ)具有其離散的表現形式

通過SFFT即可得到時延-時間域的連續時變信道沖激響應h(τ,t)

離散時間基帶模型是通過在t=q/MΔf處進行采樣得到的，其中0≤q ≤NM-1。 設L={0,1,...,lmax}是離散延遲抽頭集，它表示采樣周期為 1/MΔf的整數倍的延遲移位。通過接收端的采樣，時延-時間域的連續時變信道沖激響應h(τ,υ)變成了時延-時間域的離散時變信道沖激響應h[l,q]

將式(7)代入式(8)，得到時延-時間域的離散時變信道h[l,q]為

其中 sinc(t)=sin(πt)/(πt)，κi表示歸一化多普勒頻移，?i表示歸一化延遲移位。κi和?i具有如式(10)的關系

假設信道延遲可以近似為 1/MΔf的整數倍，則可將式(10)代入式(9)，得到簡化后的時延-時間域離散時變信道h[l,q]

3.3 接收端

在接收端收到的時域信號rα,β(t)表示發送端發射的連續信號sα,β(t) 經過信道h[l,q]并受高斯白噪聲的影響，即

其中n(t) 表 示方差為σ2的連續的高斯白噪聲。

時域信號rα,β(t)進行Wigner變換，再分成N段，對每段進行IDFT即可得到離散的時域信號rα,β=[α,β,α,β,...,-1,α,β]T∈CNM×1。另一種接收方式則是在接收端對收到的時域信號rα,β(t)在t=q/MΔf處進行采樣，就可以直接得到離散的時域信號rα,β。無論如何，離散的時域信號rα,β都 可以看作對連續的時域信號rα,β(t)在t=q/MΔf處的采樣集，即

將采樣點q劃分為N組數據，每組數據M個，即可表示為

此時n=[,,...,n]T。由于ZP的存在，每個rn,α,β僅與sn,α,β和信道噪聲nn有關，故

令sn,α,β經過的時域信道矩陣為Hn ∈CM×M，則有

由式(15)、式(16)可得rn與sn之間的關系的矩陣表達式

設矩陣H ∈CNM×NM為時域信道矩陣，則有

從接收端收到的時域信號r與發射端處的時域信號s之間的關系表示為

其中n ∈CNM×1表示方差為σ2的高斯白噪聲。

時域信號r沿列向重新排列成信息矩陣,β=[r0,α,β,r1,α,β,...,rN-1,α,β] 。對信息矩陣進行N點1-β階WFRWHT和N點α階WFRFT，即可得到接收信息矩陣Y

對式(20)沿行進行列向量化，就能得到接收信號y

將式(22)進行化簡，可以得到輸入信號x與輸出信號y之間的關系為

由式(5)、式(21)、式(23)-式(25)可以看出，當α=0,β=0時，該一體化波形框架的輸入端、輸出端、輸入輸出關系退化為OTSM波形，具體公式與文獻[9]所提的OTSM框架完全一致；當α=1,β=0時，該一體化波形框架的輸入端、輸出端、輸入輸出關系退化為OTFS波形，具體公式與文獻[19]所提的OTFS框架完全一致；當α=0,β=1時，該一體化波形框架的輸入端、輸出端、輸入輸出關系退化為SC波形。可見，該框架可完全退化為OTSM, OTFS, SC等波形。

4 GS迭代均衡

GS迭代均衡算法由Tharaj Thaj等人提出，它可以作為其他均衡的后續迭代均衡，以得到更高的精度[21]。

GS迭代算法是基于最小二乘估計進行求解的，其核心方程為

其 中，zn=Rnsn+n,Rn=H·Hn,nˉn=·nn。可以得到GS迭代均衡中每次迭代求sn的計算方程為

其中bn和Tn的表達式為

其中，Dn和Ln分別為Rn的對角元素矩陣和下三角元素的矩陣。式(27)中第i次迭代的信息符號可計算為

其中，δ是用于提高64QAM以上的高階調制方案檢測器收斂性的松弛參數。對于4QAM,16QAM等低階調制，GS均衡的收斂性高，故δ設置為1以提高迭代收斂速度；對于64QAM以上的高階調制方案，δ過高會導致無法收斂。g為第i次迭代的矩陣的列向元素組成的向量，其表達式為

其中，D(·) 表示硬判決，為信息迭代矩陣。由如式(32)公式得到

5 性能仿真與分析

本節研究了WFRFT-WFRWHT-OTSM框架在不同參數情況下的性能。仿真中所設置的子載波數M=64 ，每個符號數為N=64，調制方式為4QAM和16QAM，載波頻率為 4×109Hz，子載波間隔為15 kHz，信道類型為EVA模型，每條徑的延遲為[0 30 150 310 370 710 1 090 1 730 2 510] ns，對應功率衰減為[0 -1.5 -1.4 -3.6 -0.6 -9.1 -7.0-12.0 -16.9] dB。接收端采用GS迭代均衡方法，松弛參數設置為1，仿真過程中沒有使用信道編碼。

圖3為OTSM波形在接收端移動速度為120 km/h時不同迭代次數對應的誤碼率性能。在該圖中可以看出，當迭代次數為8次時，GS迭代均衡的性能趨于穩定。因此，為了在得到最優的BER性能的情況下減小計算復雜度，本文將GS迭代均衡的迭代次數設置為10次。

圖3 OTSM波形在不同迭代次數時對應的誤碼率性能

圖4比較了α=0時WFRFT-WFRWHT-OTSM波形在120 km/h及500 km/h速度下的誤碼率性能。當α=0時，WFRFT-WFRWHT-OTSM波形退化成了WFRWHT-OTSM波形。仿真結果表明，對于調制方式為4QAM的情況下，在β=0.1，用戶的移動速度為120 km/h且誤碼率為10-5時，相比于OTSM, WFRFT-OTSM性能增益為1 dB；在β=0.1，用戶的移動速度為500 km/h且誤碼率為10-5時，相比于OTSM, WFRFT-OTSM性能增益為0.5 dB。而對于調制方式為16QAM，用戶移動速度為120 km/h和500 km/h的情況下，在β=0.1，誤碼率為 2×10-6時，相比于OTSM, WFRWHTOTSM的性能增益大于1 dB。

圖4 WFRWHT-OTSM波形在時延-多普勒信道下的誤碼率性能

圖5比較了β=0時WFRFT-WFRWHT-OTSM波形在120 km/h及500 km/h速度下的誤碼率性能。當β=0時，WFRFT-WFRWHT-OTSM波形退化成了WFRFT預編碼的OTSM波形。仿真結果表明，對于調制方式為4QAM的情況下，在α=0.1，用戶的移動速度為120 km/h且誤碼率為10-5時，相比于OTSM, WFRWHT-OTSM性能增益為1 dB；在α=0.1，用戶的移動速度為500 km/h且誤碼率為10-5時，相比于OTSM, WFRWHT-OTSM性能增益為0.7 dB。而對于調制方式為16QAM，用戶移動速度為120 km/h和500 km/h的情況下，在β=0.1 ，誤碼率為 2×10-6時，相比于OTSM,WFRFT-OTSM的性能增益大于1 dB。

圖5 WFRFT-OTSM波形在時延-多普勒信道下的誤碼率性能

圖6給出了速度為500 km/h，調制方式為4QAM，信噪比Eb/N0= 15 dB時，WFRFT-WFRWHTOTSM波形在不同WFRFT、WFRWHT階次下的誤碼率性能。圖6可以看出，BER分布呈現馬鞍形，在OTSM波形，OTFS波形附近，BER性能更好；在SC波形和DFT-OTSM附近，BER性能較差。

圖6 WFRFT-WFRWHT-OTSM在時延-多普勒信道下的誤碼率性能

圖7比較了WFRFT-WFRWHT-OTSM波形在速度為120 km/h及500 km/h時的誤碼率性能。仿真結果表明，在調制方式為4QAM和16QAM的情況下，相比于傳統的OTSM波形，基于WFRFT和WFRWHT多維擴展的OTSM波形在高速移動信道中表現出更優的誤碼率性能，且2維參數具有較強的可選擇性，可根據場景、需求的改變進行靈活調整。

圖7 WFRFT-WFRWHT-OTSM波形的誤碼率曲線

如圖8所示，給出了過采樣倍數為10倍時不同參數條件下一體化WFRFT-WFRWHT-OTSM波形的PAPR性能，并與具有相同總子符號數的OFDM波形進行了比較。該一體化波形的PAPR均優于OFDM波形的PAPR，同時在該一體化波形框架表征為OTSM和OTFS時PAPR性能較差，表征為DFT-OTSM時稍好，表征為SC時較好。當改變α和β時，如果波形越近似于OTFS和OTSM, PAPR性能越差；波形越近似于DFT-OTSM和SC, PAPR性能越好。可以看出，對WFRFT-WFRWHTOTSM的2維參數進行調節可實現對PAPR性能的靈活調控，以適應不同場景以及不同的性能需求。

圖8 WFRFT-WFRWHT-OTSM的PAPR性能

6 結論

本文基于WFRFT提出了WFRWHT，實現了傳統WHT的廣義化，并基于WFRFT和WFRWHT提出了多維擴展的一體化OTSM波形框架，具有2維參數可調的特征。通過對WFRFT和WFRWHT階次的靈活配置，該框架可退化為OTFS, OTSM,HC, SC等波形，具有靈活可調的BER和PAPR性能，可有效適配多樣化的場景和性能需求。仿真結果表明，當接收端采用GS迭代均衡時，WFRFTWFRWHT-OTSM一體化波形在高速移動場景下比OTFS、OTSM波形具有更優的BER和PAPR性能。