基于螺旋理論的3 自由度并聯機構運動學分析

葉 秋 ，夏寧明 ，宋代平

（重慶大學機械與運載工程學院，重慶 400030）

0 前言

在汽車制造技術中，利用機器人進行協同甚至自主完成加工、美化工作可以大幅度提升加工制造效率[1-2]。現階段，相關企業主要采用串聯機器人協同工作，但此類機器人存在運動剛度低、機構不穩定、承載能力小等不足，因此，亟需設計一款以并聯機構為主要執行部件的機器人來解決這些難題。并聯機構是將運動平臺與靜平臺通過多個運動支鏈連接，使得運動平臺獲得多自由度的機構，其具備剛度高、結構穩定、承載能力大、精度高、響應速度快等諸多優勢。近年來，少自由度并聯機構研究吸引著許多學者的目光[3-4]，少自由度并聯機構相較于6 自由度并聯機構而言，其運動空間更理想，定位能力優異、運動學求解過程較簡單，在機床加工、零件打磨、手術機器人等使用場景都有參與[5-7]。除此之外，將3 自由度并聯機器人與2 自由度機器人串聯可進一步擴大其運動范圍，提高工作效率，使機構適用于更加繁雜的運動場景。例如，Liu 等[8]以3-SPS-S（S-球副，P-移動副）并聯機構為基礎設計水下機器人，使得機器人的運動響應和運動精度滿足使用要求；Exechon 機器人則以2-UPR-SPR（U-萬向副，R-轉動副）為基礎建立冗余驅動并聯機構[9]，使得機器人獲取優質的運動特性并滿足使用工況要求；Chong 等[10]利用3_PUU并聯機構設計渦輪葉片打磨機器人；Zuo 等[11]利用UPU支鏈構建足弓和腳踝的固定器。

本文以3 自由度并聯機器人為研究對象，重點關注該對接機器人的運動學分析，考慮機構寄生運動[12]，運用螺旋理論推導機構運動學方程，利用運動學仿真軟件對所設計的機器人進行運動學仿真，驗證分析運動學求解的正確性。

1 機器人介紹

本文設計了一款以并聯機構為主要執行部件的機器人，用于協助完成汽車車體加工與表面噴漆工作，其整體外觀設計如圖1 所示。機器人主要由AGV、連接部段、3 自由度并聯機構和作業部件組成，AGV 負載運載整體執行部件在廠區內作業；2 自由度連接模塊用于實現AGV 與執行部件的連接與供電；3自由度并聯機構作為支撐機構，其前端與作業部件串聯，實現車體表面加工的同時增加了執行部件的剛度和承載能力等。

圖1 車身加工機器人

所設計的3-RPS 樣機如圖2（a）所示，并聯機構的3 維模型如圖2（b）所示，其中，O-XYZ為機構靜平臺坐標系即全局坐標系，p-uvw是機構的運動坐標系，參考點p位于機構運動平臺的中心，u、v、w軸的初始方向與X、Y、Z軸一致；Ai-xiyizi(i=1,2,3)是位于每條運動支鏈的坐標系，坐標原點Ai與支鏈中R 副的運動參考點重合。該機構由3條運動副一致的RPS支鏈組成，整個結構繞Z軸旋轉對稱布置。

圖2 3-RPS 樣機模型

以支鏈1 為例，機構中的支鏈運動示意圖如圖3所示，AA′為支鏈轉動副軸線，球鉸運動可以看作是繞3 條互相垂直的軸線轉動，則設定BB′、CC′、DD′分別是運動支鏈中球副的轉動軸線，為方便計算與求解，將三個軸線的運動方向設置為與支鏈的坐標系Ai-xiyizi一致，支鏈1中移動副的運動軸線為EE′。

圖3 支鏈1運動示意圖

2 自由度分析

鑒于常規G-K 公式計算機構自由度只能獲取機構自由度數目卻無法得到機構運動種類和運動方向的特點，故采用螺旋理論對機構運動進行分析[13]。剛體運動和受力運動可以采用Plücker 坐標（六維）表示，螺旋的常規表達為$=(s;so)，當$?$r=0 時，可以判定$r為$的反螺旋，即$、$r互逆。對于機構而言可以得到：以$r為方向的外力加載于剛體的運動$上，此外力不做功，即表示該機構在約束螺旋$r方向的自由度被限制。對于并聯機構而言，機構各支鏈中運動副共同作用形成支鏈約束螺旋$ri(i=1,2,3)，各約束螺旋沿支鏈施加于機構末端運動平臺。

機構各支鏈的約束螺旋$ri(i=1,2,3)集合形成的作用即產生對整體機構運動平臺的約束，進一步對約束螺旋$r集合求反螺旋，得到并聯機構動平臺的運動螺旋，即為機構的運動自由度。機構的運動模型簡圖如圖4 所示，動坐標系p-uvw固連于動平臺，軸線與基坐標系軸線方向一致，p點作為運動參考點，位于動平臺中心，支鏈坐標系Ai-xiyizi的z軸與基坐標系的Z軸同向，x軸由Ai指向O點，y軸根據右手定則確認，r為運動平臺半徑，R為機構靜平臺半徑，Li為AiBi的長度，以Li的變化值作為主動件移動副的運動距離。

圖4 機構運動簡圖

由于機構繞Z軸旋轉對稱布置，故只需要對機構的一條支鏈進行分析，即可獲得普遍性。支鏈1 的機構運動簡圖及運動螺旋如圖5 所示，由此可以獲得支鏈中各個運動副的運動螺旋。

圖5 支鏈1 運動簡圖

式中：αi為支鏈中R 副的轉動角度，i=1,2,3；cα與sα分別為cos與sin運算。

進一步在支鏈運動坐標系Ai-xiyizi下對支鏈的運動螺旋組求反螺旋，以獲取支鏈運動約束：

支鏈局部坐標系Ai-xiyizi(i=1,2,3)與基坐標系O-XYZ存在旋轉變換矩陣為：

上式即為三條支鏈對運動平臺的約束，將移動副驅動設為定長，即L1=L2=L3=L，轉動副R 的轉動角度設定為α1=α2=α3=α，對式（5）中的約束螺旋系求解反螺旋，即可得到機構運動平臺的運動螺旋：

由式（6）求解的運動螺旋得出機構運動平臺具備3 自由度，其中包括沿Z軸的移動自由度和沿X軸、Y軸的轉動自由度。

3 運動學求解

機構運動學求解包含機構逆向運動學求解與機構正向運動學求解，逆運動學研究主要解決給定運動機構參考點運動Xp=[Mz,φ,?]T，通過建立運動學方程求解驅動參數ΔL=[l1,l2,l3]T，（其中，l1,l2,l3分別為機構支鏈中移動副運動量即Li的變化量）；正運動學則剛好相反，給定支鏈中主動件的運動值ΔL=[l1,l2,l3]T求解，即可獲得機構動平臺運動。

3.1 寄生運動分析

由于少自由度并聯機構存在寄生運動，即在機構運行過程中，運動參考點會因機構設定自由度運動產生其他自由度方向上的運動（如當本并聯機構進行繞X軸轉動或繞Y軸轉動時，會伴隨出現X或Y自由度上的移動）。因此在對機構進行運動學分析前需要先求解機構運動參考點的寄生運動[Mx,My,γ]，為求解機構的寄生運動，將機構出現寄生運動的位姿投影于基坐標系的OXY平面，如圖6所示。

圖6 OXY 平面投影

圖中的OAi、OBi分別表示Ai、Bi在OXY平面的投影，由圖可以看出Ai、Bi相交于O點，即：

其中，pRm=Ry(φ)Rx(?)Rz(γ)，為運動參考坐標系相對于基坐標系的變化，p=(Mx,My,Mz)為機構運動平臺參考點的位置向量。球鉸參考點相對于運動坐標系的位置為：

其中，需滿足以下條件：

將所求得的點代入式（8）中，即可獲得共線運算方程：

化簡后可以得到：

同理，可以獲得B2、B3在OXY平面的投影坐標OB2、OB3，代入式（8）求解共線方程：

結合式（15）與式（16），利用消元法獲得機構寄生運動Mx,My與?,φ的關系。

將式（20）中求得的Mx,My的值代入，可以求解得到運動平臺寄生運動γ值與?,φ的關系。

通過以上分析，能夠完整求解出所設計并聯機構的所有寄生運動Mx,My,γ，并可進一步寫出機構動平臺完整的運動位姿Mx,My,Mz,?,φ,γ。

3.2 逆運動學求解

用上一章對于完整寄生運動的求解和機構運動參考點位姿表示，可以建立機構的逆運動學方程，即由參考點位姿獲取移動副的運動軌跡。與許多并聯機構逆運動學求解過程一樣，采用支鏈封閉解的形式建立逆運動學方程，在已知位姿的情況下，支鏈球鉸運動參考點Bi相對于基坐標系的位置向量為：

式中：Ai為Ai相對于O的位置向量，Li為移動副AiBi的向量。

由式（21）可以計算得到主動件運動距離，即用支鏈中AiBi的長度減去移動副初始距離L0i：

3.3 正運動學求解

正運動學方程求解同樣以前文所提的支鏈中的幾何閉環關系作為出發點，利用機構雅可比矩陣構建機構運動學方程。將式（21）中的閉環關系分別對時間求導得到：

由此，則可以利用?X=(vp,ωp)T、?l=(?l1,?l2,?l3)T的形式表示機構動平臺運動和主動件運動，故將式（24）改寫成機構雅可比運算形式，即：

為獲取?X與?l的關系，由式（25）的矩陣運算進行求逆變換，可得Ja-1Jp??X=?l，Ja-1Jp-3×6可進一步得出機構驅動與機構動平臺姿態的速度映射關系。但由于上式中的?X=(vp,ωp)T是六維向量，機構運動自由度為3，則需要將其化簡為線性無關的3維向量?Xp=[?Mz,??,?φ]T。將Mx,My,γ分別對Mz,?,φ求偏導，得到?X和?Xp的關系：

進一步將式（30）代入式（27）中，便得到機構輸入、輸出方程：

其中，J=Ja-1JpJd-3×3，與其他并聯機構正解求解方法相同，利用牛頓迭代法，限制機構運動副范圍與運動件行程，即可獲得機構運動學解。

根據所列方程與機器人工具箱編寫MATLAB 程序，設定機構參數值r=90 mm，R=175 mm，li∈[0，150]，使得機構在不同姿態下運動，如表1 所示，對處于不同運動工況下的機構進行運動學求解。

表1 機構運動工況

本設計采用對稱布置，為便于直觀進行運動分析，在分析過程中均給予運動參考點正弦運動，通過分析可以得到機構在不同運動姿態下主動件的運動軌跡變化，結果如圖7 所示。圖7（a）為運動平臺Z向移動時移動副的運動軌跡，圖7（b）為運動平臺繞X軸轉動時移動副的運動軌跡，圖7（c）為運動平臺繞Y軸轉動時移動副的運動軌跡，圖7（d）為運動平臺繞X、Y軸耦合轉動時移動副的運動軌跡。

圖7 運動分析結果

4 運動仿真

為了進一步驗證本設計中機構分析的合理性，將建立好的三維虛擬樣機導入Admas View 軟件中，設定機構支鏈中的運動副與運動約束，同樣規劃如表1所示的正弦運動軌跡與姿態，Z向移動工況仿真設置如圖8 所示。由于機構具備寄生運動，在設定運動參數時需要釋放寄生運動的3 個自由度給予其自由狀態，對其運動學進行仿真分析獲取運動結果，如圖9所示。圖9（a）、圖9（b）、圖9（c）、圖9（d）分別對應表1 中所設定的不同運動工況的Admas 仿真結果，由仿真分析結果得出：仿真值與分析值的誤差不到3%，在可忽略范圍內，驗證了運動學分析過程與結果的正確性，可以利用此結果進行進一步的機器人運動控制設計與相關研究。

圖8 Z 向移動工況仿真參數設定

圖9 運動仿真結果

5 結論

1）設計了一種采用3-RPS 并聯機構作為執行部件支撐件的汽車車身制造與噴漆機器人，對該機器人和所設計的并聯機構進行了簡要描述，基于螺旋理論分析了機構運動自由度。

2）對機構運動過程中的寄生運動進行了分析，建立了機構寄生運動方程并準確求解出寄生運動表達式，獲取了動平臺運動的完整位姿，利用機構支鏈閉環方程建立了整個機構的運動學方程。

3）利用MATLAB 和Admas View 軟件分別完成了運動學方程求解和運動學仿真，兩者結果誤差在3%以內，證明所建立的設計機構運動學方程有效可行，可以進一步用于機器人的控制設計與路徑規劃。