問題引領(lǐng)視角下的數(shù)學(xué)公式教學(xué)探索
——以“等差數(shù)列的前n項和公式”為例

邱嘉怡

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣東 廣州 510631)

公式教學(xué)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一,其教學(xué)的好壞直接影響著學(xué)生知識技能的掌握與能力的培養(yǎng).

1 數(shù)學(xué)公式教學(xué)

數(shù)學(xué)公式是用數(shù)學(xué)符號和字母表示各個量之間一定數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)式子[1].在實際的數(shù)學(xué)課堂中,公式教學(xué)的現(xiàn)狀并不樂觀,部分老師重公式結(jié)論、輕公式推導(dǎo),導(dǎo)致學(xué)生會記憶公式,而不理解公式;部分老師將重點放在公式的證明過程而忽略了證明方法的發(fā)現(xiàn)和探究,使課堂教學(xué)再次淪為“滿堂灌”的講授式教學(xué),導(dǎo)致學(xué)生課堂參與度低、學(xué)習(xí)積極性不夠.

2 問題引領(lǐng)式教學(xué)

數(shù)學(xué)家哈爾莫斯曾說過“問題是數(shù)學(xué)的心臟”,數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展源于一個個數(shù)學(xué)問題的發(fā)現(xiàn)與解決過程.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》提出“四能”的教學(xué)目標(biāo),即培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力,也凸顯了問題引領(lǐng)這一教學(xué)策略的重要地位.教師唯有科學(xué)、合理地設(shè)計問題,才能很好地引領(lǐng)學(xué)生圍繞“問題”這一中心,分析問題、探究知識,最終促使學(xué)生在問題引領(lǐng)下完成數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)[2],從而充分發(fā)揮學(xué)生的課堂主體作用.

3 “等差數(shù)列的前n項和公式”教學(xué)設(shè)計案例分析

3.1 情境引入

3.1.1創(chuàng)設(shè)情境

泰姬陵是一座用白色大理石建成的巨大陵墓清真寺,在它的墻面上鑲嵌著來自世界各地的珍稀寶石.相傳,陵墓中有如圖1所示的三角形圖案,它以相同大小的圓寶石鑲嵌而成,第一層有一顆圓寶石,其后每層都比上一層多一顆圓寶石,共100層.那么,這個三角形圖案中一共有多少顆圓寶石呢?

圖1 情境引入

【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)問題情境,激發(fā)學(xué)習(xí)興趣,引入新課內(nèi)容.

3.1.2回顧舊知

師:這是一個實際的問題,如果將問題數(shù)學(xué)化,轉(zhuǎn)化成一道數(shù)學(xué)問題來解決,這個數(shù)學(xué)問題就是計算1+2+…+100的值.而根據(jù)上節(jié)課所學(xué),該式的各項構(gòu)成了一個什么數(shù)列呢?

生:以1為首項,1為公差的等差數(shù)列.

師:因此所轉(zhuǎn)化成的數(shù)學(xué)問題還可以看作是在求以1為首項,1為公差的等差數(shù)列前100項的和.那么,大家還記得“數(shù)學(xué)王子”高斯是怎么計算這個數(shù)學(xué)問題的嗎?

生1:高斯將1與100配對,2與99配對,以此類推,他將100個數(shù)依次兩兩配對,最后得到了50組值均為101的數(shù),從而算出了答案.

3.1.3提煉高斯算法的實質(zhì)

師:對于這樣一個不同數(shù)的求和問題,高斯通過首尾配對的方法將其轉(zhuǎn)化為了相同數(shù)的求和問題,而相同數(shù)的求和實際上就是什么運(yùn)算?

生:乘法運(yùn)算.

師:因此,高斯將復(fù)雜的多步求和問題,轉(zhuǎn)化為了簡單的一步相乘問題,這也體現(xiàn)了一種由繁化簡的化歸思想.

3.2 探究新知

3.2.1求解以1為首項,1為公差的等差數(shù)列前n項和

問題1 如何計算Sn=1+2+…+n?

師:這位同學(xué)剛剛聽課很認(rèn)真,已經(jīng)學(xué)會了高斯算法中首尾配對的思想了.然而老師有個疑問,這n個數(shù)一定能恰好實現(xiàn)首尾配對嗎?

生3:不一定.

師:噢,為什么?

生3:因為當(dāng)n為奇數(shù)時,這n個數(shù)首尾配對會有一個數(shù)剩下.而我們不能確定n是偶數(shù)還是奇數(shù),所以不一定能恰好實現(xiàn)首尾配對.

師:很好!這位同學(xué)發(fā)現(xiàn)了一個關(guān)鍵點,首尾配對是針對偶數(shù)個數(shù)相加.而在這里我們不能確定n是偶數(shù)還是奇數(shù),所以不能直接使用首尾配對的方法.那么當(dāng)問題所給的對象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時,在數(shù)學(xué)上,我們該怎么做?

生:分類討論.

師:很好!分類討論是數(shù)學(xué)中的重要思想之一.

3.2.2倒序相加法的探索

師:分類討論的方法雖然清晰,但有些麻煩,我們還有更好的方法來求解問題1嗎?

學(xué)生一籌莫展.

學(xué)生若有所思.

(教師借助前面的圓寶石鑲嵌而成的三角形圖案給予提示)

師:如圖2,假設(shè)三角形圖案共有n行,其余條件不變.那么這個圖案中的圓寶石顆數(shù)為?

圖3 平行四邊形圖案

生:1+2+…+n,也即Sn.

師:根據(jù)上式,2Sn可以看作有兩個相同的三角形圖案,如果老師再做一個相同的三角形并把它倒置,此時我們得到了一個?

生:平行四邊形.

師(追問):并且這個平行四邊形的第一行有多少顆圓寶石?

生:n+1顆.

師(追問):第二行呢?

生:n+1顆.

師(追問):對,一直到最后一行都有?

生:n+1顆.

師(追問):一共有多少行?

生:n行.

師:因此這個平行四邊形中的圓寶石顆數(shù)就等于?

生:n(n+1).

師:而這就是2Sn=n(n+1)等號的右邊.因此我們知道,想要求Sn,可以先求出2Sn,表面上這是一個不同數(shù)的求和問題,但借助圖形我們發(fā)現(xiàn),2Sn就是平行四邊形圖案的圓寶石顆數(shù).而平行四邊形中的每一行是由原來三角形與倒置三角形的每行配對而成的,從而,借助三角形中行數(shù)的首尾配對,我們實現(xiàn)了將不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和.

問題2 受此啟發(fā),如何用另一種方法計算Sn=1+2+…+n

師:剛剛我們是將三角形倒置,現(xiàn)在可以怎么做?

生:將Sn倒過來寫.

師:很好,將Sn中的每一項倒個順序,則有Sn=n+(n-1)+…+1.

師:剛剛是把兩個三角形拼成一個平行四邊形,那么對應(yīng)到這里呢?

生:將兩式相加.2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+(n+1).

師:我們將這種求得等差數(shù)列前n項和的方法稱為“倒序相加法”.注意到,倒序相加法的本質(zhì)也是將不同數(shù)的求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和,較之分類討論,該法的妙處在于?

生6:通過正序和倒序兩種形式表示同一個Sn,從而在兩式相加時實現(xiàn)將Sn中的每一項依次進(jìn)行首尾配對以得到相同的數(shù).

3.2.3推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式

問題3將倒序相加法由特殊到一般進(jìn)行推廣,試推導(dǎo):首項為a1,公差為d的等差

數(shù)列{an}的前n項和Sn.

(學(xué)生在獨(dú)立思考后與教師共同完成公式的推導(dǎo))

Sn=a1+a2+…+an

Sn=an+an-1+…+a1

將上述兩式相加,可得

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)

師:上式兩兩配對得到的每一項是否相等?

生:相等.利用上節(jié)課學(xué)習(xí)的等差數(shù)列的重要性質(zhì):若p+q=s+t, 則ap+aq=as+at.

師:因此配對得到的每一項均為?有多少項?

生:a1+an,共有n項.

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)

=n(a1+an)

3.2.4等差數(shù)列前n項和公式的剖析與理解

師:等差數(shù)列的兩個前n項和公式中共涉及了等差數(shù)列的幾個基本量?

生:5個,分別是a1,an,d,n,Sn.

3.2.5公式記憶

圖4 梯形ABCD

圖5 梯形ABCD分割圖示

3.3 習(xí)題鞏固

題1根據(jù)下列各題中的條件,求相應(yīng)等差數(shù)列{an}的前n項和Sn.

(1)a1=5,an=95,n=10;(2)a1=3,d=2,n=5.

題2等差數(shù)列-1,-3,-5,…的前多少項的和是-100?

4 結(jié)束語

公式推導(dǎo)是公式教學(xué)的重點,而在問題引領(lǐng)視角下的公式教學(xué)中,學(xué)生在教師的引導(dǎo)下,逐漸探究不同層次的問題,逐步推演與發(fā)現(xiàn)公式,從而享受到創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)的成功與喜悅,為公式的理解與應(yīng)用奠定基礎(chǔ).

實際教學(xué)反饋表明,問題引領(lǐng)式教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生的主觀能動性,促進(jìn)學(xué)生思維水平的攀升,使公式教學(xué)在保持課堂活力的同時實現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的顯著提升.因此,問題引領(lǐng)式教學(xué)具有豐富的教育價值,它為公式教學(xué)的開展提供了有效的實現(xiàn)路徑,有助于打破“滿堂灌”的傳統(tǒng)教學(xué),實現(xiàn)向啟發(fā)式、互動式、探究式教學(xué)的良好轉(zhuǎn)化.