問題引領視角下的數學公式教學探索
——以“等差數列的前n項和公式”為例

邱嘉怡

(華南師范大學數學科學學院,廣東 廣州 510631)

公式教學是中學數學教學的重要內容之一,其教學的好壞直接影響著學生知識技能的掌握與能力的培養.

1 數學公式教學

數學公式是用數學符號和字母表示各個量之間一定數量關系的數學式子[1].在實際的數學課堂中,公式教學的現狀并不樂觀,部分老師重公式結論、輕公式推導,導致學生會記憶公式,而不理解公式;部分老師將重點放在公式的證明過程而忽略了證明方法的發現和探究,使課堂教學再次淪為“滿堂灌”的講授式教學,導致學生課堂參與度低、學習積極性不夠.

2 問題引領式教學

數學家哈爾莫斯曾說過“問題是數學的心臟”,數學的產生與發展源于一個個數學問題的發現與解決過程.《義務教育數學課程標準(2022年版)》提出“四能”的教學目標,即培養學生發現、提出、分析、解決問題的能力,也凸顯了問題引領這一教學策略的重要地位.教師唯有科學、合理地設計問題,才能很好地引領學生圍繞“問題”這一中心,分析問題、探究知識,最終促使學生在問題引領下完成數學知識的建構[2],從而充分發揮學生的課堂主體作用.

3 “等差數列的前n項和公式”教學設計案例分析

3.1 情境引入

3.1.1創設情境

泰姬陵是一座用白色大理石建成的巨大陵墓清真寺,在它的墻面上鑲嵌著來自世界各地的珍稀寶石.相傳,陵墓中有如圖1所示的三角形圖案,它以相同大小的圓寶石鑲嵌而成,第一層有一顆圓寶石,其后每層都比上一層多一顆圓寶石,共100層.那么,這個三角形圖案中一共有多少顆圓寶石呢?

圖1 情境引入

【設計意圖】創設問題情境,激發學習興趣,引入新課內容.

3.1.2回顧舊知

師:這是一個實際的問題,如果將問題數學化,轉化成一道數學問題來解決,這個數學問題就是計算1+2+…+100的值.而根據上節課所學,該式的各項構成了一個什么數列呢?

生:以1為首項,1為公差的等差數列.

師:因此所轉化成的數學問題還可以看作是在求以1為首項,1為公差的等差數列前100項的和.那么,大家還記得“數學王子”高斯是怎么計算這個數學問題的嗎?

生1:高斯將1與100配對,2與99配對,以此類推,他將100個數依次兩兩配對,最后得到了50組值均為101的數,從而算出了答案.

3.1.3提煉高斯算法的實質

師:對于這樣一個不同數的求和問題,高斯通過首尾配對的方法將其轉化為了相同數的求和問題,而相同數的求和實際上就是什么運算?

生:乘法運算.

師:因此,高斯將復雜的多步求和問題,轉化為了簡單的一步相乘問題,這也體現了一種由繁化簡的化歸思想.

3.2 探究新知

3.2.1求解以1為首項,1為公差的等差數列前n項和

問題1 如何計算Sn=1+2+…+n?

師:這位同學剛剛聽課很認真,已經學會了高斯算法中首尾配對的思想了.然而老師有個疑問,這n個數一定能恰好實現首尾配對嗎?

生3:不一定.

師:噢,為什么?

生3:因為當n為奇數時,這n個數首尾配對會有一個數剩下.而我們不能確定n是偶數還是奇數,所以不一定能恰好實現首尾配對.

師:很好!這位同學發現了一個關鍵點,首尾配對是針對偶數個數相加.而在這里我們不能確定n是偶數還是奇數,所以不能直接使用首尾配對的方法.那么當問題所給的對象不能進行統一研究時,在數學上,我們該怎么做?

生:分類討論.

師:很好!分類討論是數學中的重要思想之一.

3.2.2倒序相加法的探索

師:分類討論的方法雖然清晰,但有些麻煩,我們還有更好的方法來求解問題1嗎?

學生一籌莫展.

學生若有所思.

(教師借助前面的圓寶石鑲嵌而成的三角形圖案給予提示)

師:如圖2,假設三角形圖案共有n行,其余條件不變.那么這個圖案中的圓寶石顆數為?

圖3 平行四邊形圖案

生:1+2+…+n,也即Sn.

師:根據上式,2Sn可以看作有兩個相同的三角形圖案,如果老師再做一個相同的三角形并把它倒置,此時我們得到了一個?

生:平行四邊形.

師(追問):并且這個平行四邊形的第一行有多少顆圓寶石?

生:n+1顆.

師(追問):第二行呢?

生:n+1顆.

師(追問):對,一直到最后一行都有?

生:n+1顆.

師(追問):一共有多少行?

生:n行.

師:因此這個平行四邊形中的圓寶石顆數就等于?

生:n(n+1).

師:而這就是2Sn=n(n+1)等號的右邊.因此我們知道,想要求Sn,可以先求出2Sn,表面上這是一個不同數的求和問題,但借助圖形我們發現,2Sn就是平行四邊形圖案的圓寶石顆數.而平行四邊形中的每一行是由原來三角形與倒置三角形的每行配對而成的,從而,借助三角形中行數的首尾配對,我們實現了將不同數的求和轉化為相同數的求和.

問題2 受此啟發,如何用另一種方法計算Sn=1+2+…+n

師:剛剛我們是將三角形倒置,現在可以怎么做?

生:將Sn倒過來寫.

師:很好,將Sn中的每一項倒個順序,則有Sn=n+(n-1)+…+1.

師:剛剛是把兩個三角形拼成一個平行四邊形,那么對應到這里呢?

生:將兩式相加.2Sn=(1+n)+[2+(n-1)]+…+(n+1).

師:我們將這種求得等差數列前n項和的方法稱為“倒序相加法”.注意到,倒序相加法的本質也是將不同數的求和轉化為相同數的求和,較之分類討論,該法的妙處在于?

生6:通過正序和倒序兩種形式表示同一個Sn,從而在兩式相加時實現將Sn中的每一項依次進行首尾配對以得到相同的數.

3.2.3推導等差數列的前n項和公式

問題3將倒序相加法由特殊到一般進行推廣,試推導:首項為a1,公差為d的等差

數列{an}的前n項和Sn.

(學生在獨立思考后與教師共同完成公式的推導)

Sn=a1+a2+…+an

Sn=an+an-1+…+a1

將上述兩式相加,可得

2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+…+(an+a1)

師:上式兩兩配對得到的每一項是否相等?

生:相等.利用上節課學習的等差數列的重要性質:若p+q=s+t, 則ap+aq=as+at.

師:因此配對得到的每一項均為?有多少項?

生:a1+an,共有n項.

2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)

=n(a1+an)

3.2.4等差數列前n項和公式的剖析與理解

師:等差數列的兩個前n項和公式中共涉及了等差數列的幾個基本量?

生:5個,分別是a1,an,d,n,Sn.

3.2.5公式記憶

圖4 梯形ABCD

圖5 梯形ABCD分割圖示

3.3 習題鞏固

題1根據下列各題中的條件,求相應等差數列{an}的前n項和Sn.

(1)a1=5,an=95,n=10;(2)a1=3,d=2,n=5.

題2等差數列-1,-3,-5,…的前多少項的和是-100?

4 結束語

公式推導是公式教學的重點,而在問題引領視角下的公式教學中,學生在教師的引導下,逐漸探究不同層次的問題,逐步推演與發現公式,從而享受到創造發現的成功與喜悅,為公式的理解與應用奠定基礎.

實際教學反饋表明,問題引領式教學能夠激發學生的主觀能動性,促進學生思維水平的攀升,使公式教學在保持課堂活力的同時實現教學質量的顯著提升.因此,問題引領式教學具有豐富的教育價值,它為公式教學的開展提供了有效的實現路徑,有助于打破“滿堂灌”的傳統教學,實現向啟發式、互動式、探究式教學的良好轉化.